基于多項式響應面MDOE的低速風洞試驗方法研究

摘 要：現有的基于各類統計模型的現代試驗設計（MDOE）方法存在計算量大、建模較復雜導致整體風洞試驗效率下降的不足。針對這一問題，本文提出一種將多項式響應面模型與現代試驗設計相結合的優化設計方法。采用中心復合設計在自變量區間中劃分試驗點并進行風洞試驗獲取氣動力，利用最小二乘法確定多項式待定系數，構建響應面模型，并進行方差分析及顯著性檢驗，最后選取了5個傳統單變量（OFAT）方法試驗點檢驗響應面模型的擬合精度。結果表明，與傳統單變量風洞試驗方法相比，本文提出的基于多項式響應面MDOE的低速風洞試驗方法具有建模容易、計算量較小、預測校準的優點，可使試驗樣本點減少50%左右，能夠有效提升風洞試驗效率。

關鍵詞：多項式響應面模型； MDOE； 風洞試驗； 中心復合設計； 方差分析

中圖分類號：V211.52 文獻標識碼：A DOI：10.19452/j.issn1007-5453.2024.06.014

一直以來，風洞試驗研究都是探索飛行器氣動機理、驗證氣動理論和優化氣動設計采用的主要手段之一[1]。目前，風洞試驗普遍采用的試驗方法是調整風洞流場各參數到預定值，然后在只改變模型的一個變量（如俯仰角），同時鎖定試驗模型其余姿態變量的條件下，獲取隨該變量變化的模型氣動性能，這就是傳統的單變量（OFAT）方法。OFAT方法是一種基于數據、以數據為中心的方法，需要進行的風洞試驗次數較多而導致試驗成本高效率低[2]。

1997年，美國國家航空航天局（NASA）蘭利研究中心Deloach[3]首次將現代試驗設計（MDOE）方法應用到風洞試驗領域，減少了試驗樣本點和吹風時間。MDOE方法與一次只改變一個自變量的OFAT方法不同，MDOE方法一次要改變兩個或兩個以上的自變量，通過合理劃分試驗點，達到縮短試驗周期的目的[4]。

國外Underwood[5]在NASA蘭利研究中心對跨聲速風洞進行了基于方差分析模型的MDOE方法壁壓校準研究，提高了試驗效率和校準精度。Rhode[6]利用基于穩健回歸模型的MDOE方法和OFAT方法分別對風洞進行校準，前者有效拓寬了風洞運行包線內的校準范圍并降低了校準周期和成本。Deloach[7]在NASA蘭利研究中心統一規劃風洞采用基于克里金模型的MDOE方法改進導彈類模型風洞試驗質量和生產率問題，與OFAT方法相比，MDOE方法在確保數據精度的情況下，縮短了試驗周期。Landman[8]利用MDOE方法結合徑向基模型，開展了天平校準研究，結果表明，MDOE方法校準所需的加載量較OFAT方法大幅減少，MDOE方法校準點和驗證點準度較好。國內唐志共等[9]提出了基于三角級數模型的MDOE方法，并開展了風洞試驗，結果表明，該方法能滿足模型預測精度，減少試驗樣本點。張江等[10]針對飛行器氣動規律存在多變量耦合的情況，提出了基于非參數模型的MDOE方法，研究表明，該方法所需的試驗點要少于OFAT方法的試驗點，且構建的模型能較為準確地反應飛行器氣動規律。MDOE方法基于試驗數據建立統計模型來獲取飛行器氣動規律，現有的基于各類統計模型的MDOE風洞試驗方法[11-17]，盡管能有效減少試驗樣本點數量，但由于統計模型表達式復雜，求解較為困難，從而導致整體風洞試驗效率并未明顯提高。

因此，本文進行了基于多項式響應面MDOE的低速風洞試驗方法研究，通過中心復合設計方法選取少量試驗點，建立二階多項式響應面模型。同時，加入OFAT方法試驗點驗證模型的擬合精度。結果表明，與傳統單變量方法相比，基于多項式響應面MDOE的風洞試驗方法，能減少試驗樣本點和模型擬合時間，有效地提升風洞試驗效率。

1 多項式響應面MDOE方法

1.1 多項式響應面模型

1.2 MDOE方法

1.2.1 區間分層

試驗以某飛行器機身作為試驗對象，選取以下典型狀態及控制參數范圍：試驗風速為16m/s，試驗俯仰角α=-20°～ 20°，偏航角β=0°～20°，根據OFAT方法劃分出試驗樣本點，如圖1所示，其中紅點為試驗狀態。

為了避免多項式響應面模型中增加高階項，引入區間分層技術，將俯仰角區間劃分為兩層，如圖2、表1所示。

1.2.2 試驗點數量

式中，p為多項式項數；d為多項式階次；k為多項式元數。

由于飛行器氣動規律一般為非線性，為了獲得較為準確的響應面，采用二階多項式響應面模型來逼近。本文用二元二次多項式響應面模型對兩個區間進行建模，即k=2，d=2，最小試驗點數量代入式（2）得p=6。由于多項式響應面模型中存在對模型精度影響較大的點，這些點會引起“杠桿效應”，放大整個多項式響應面模型的誤差，因此需要增加部分點改善杠桿效應。為保證響應面預測值在平均95%置信概率水平下與自變量空間中任一點的真實結果不出現顯著差異，試驗點數量N需要滿足[4]

在本文設計的試驗中，一個二維數據空間需達到10個（N=1.625×6=9.75）就可以使預測值落在95%置信區間內。

得出自變量空間試驗樣本點數量，需要進行試驗設計確定試驗點取值，使多項式響應面有較好的擬合精度。

1.2.3 試驗點分布

中心復合設計由Box和Wilson于1951年提出，中心復合設計（CCD）方法能夠估計線性以及二階交互項的效應，是一種高效的試驗設計方法[19]。本次試驗采用CCD對經過區間分層后的設計空間進行劃分，由于區間一和區間二均有10個試驗樣本點，所以依據設計中心能抑制預測方差，將在中心處進行兩次試驗。圖3共有15個點，其中5個點重復了兩次，點旁邊的數字表示重復次數，因此總共20個試驗點。

2 試驗設備

（1） 風洞

本次試驗在中國直升機設計研究所氣動試驗臺進行，試驗臺是一座8m×6m開口直流式低速風洞。試驗段風速范圍為5～50m/s，局部氣流偏角△α≤ 0.5°，△β≤ 0.5°，湍流度ε≤ 0.5°。

（2） 模型

本次試驗風速為16m/s，俯仰角α=-20°～20°，偏航角β= 0°～20°，試驗對象為某飛行器機身模型，模型試驗在低速風洞中進行，為后續模型樣機研制提供技術支持，同時為計算流體力學（CFD）及飛行動力學分析提供技術參考。

（3） 數據采集

依據選取的試驗樣本點，采集各試驗狀態下模型作用在天平上的氣動力（阻力、升力和側向力），數據采集設備使用六分量盒式天平測量模型氣動力，試驗風速穩定后，控制模型俯仰角和偏航角到達試驗點狀態，采集天平信號，每個狀態下保證獲取10s穩態數據。

3 多項式響應面建模及分析

3.1 多項式響應面模型構建

多項式響應面模型在區間交接處（俯仰角為0°）時的擬合誤差存在部分差異，為確保響應面模型的連續性，只能選用一區間或二區間中的一個模型。由于一區間的擬合誤差相較于二區間更小，因而將0°俯仰角歸入一區間，升力、阻力和側向力的最終響應面模型如圖4所示。

3.2 方差分析及顯著性檢驗

基于多項式響應面MDOE方法建立響應面模型后，采取方差分析及顯著性檢驗，驗證響應面模型的可靠性以及各變量之間的顯著程度[16]。在置信度為0.05的情況下，得到機身氣動力響應面模型的方差分析表，見表2～表4（AdjSS、AdjMS、F、P分別為調整平方和、離差平方和、檢驗統計量和顯著性水平）。

各氣動力響應面模型的P值均小于0.05，所以模型為“高度顯著”，驗證了模型的可靠性。同時，觀察各項效應的顯著性，可以看出俯仰角在升力響應面模型中高度顯著（P<0.05），偏航角、偏航角×偏航角在側向力響應面模型中高度顯著，俯仰角、偏航角、俯仰角×俯仰角在阻力響應面模型中高度顯著。

3.3 模型驗證

在β=0°的多項式響應面模型上選取5個OFAT方法試驗點檢驗其是否能夠落在擬合曲線的95%置信區間內，驗證多項式響應面模型的有效性，檢驗結果如圖5所示，其中紅色曲線代表上下置信區間，藍色曲線代表本試驗擬合曲線，黑點代表OFAT方法檢驗點。

從圖5中看出，基本所有的點都能落入95%置信區間內，說明基于多項式響應面MDOE方法構建的響應面模型精度足夠。

4 結論

本文提出一種基于多項式響應面MDOE的低速風洞試驗方法，通過中心復合設計劃分少量試驗樣本點，建立具有較高精度的二次多項式響應面模型，驗證了多項式響應面MDOE方法在風洞試驗領域的可行性，并得出了以下結論：

（1） 與傳統單變量方法相比，通過多項式響應面MDOE方法對風洞機身試驗進行優化設計，具有建模容易、計算量較小、預測較準的優點，使風洞試驗樣本點減少了50%，顯著提高了試驗效率。

（2） 風洞試驗結果通過多項式響應面模型表示，能任意獲得自變量空間內試驗樣本點響應值，通過以點帶面，可插值得到更多的數據。

（3） 方差分析及顯著性檢驗結果表明，基于多項式響應面MDOE方法構建的模型，能有效反應出俯仰角和偏航角對飛行器基本氣動特性的影響規律。

參考文獻

[1]黃明其，袁紅剛，武杰.直升機旋翼氣動特性風洞試驗技術[M].北京：國防工業出版社，2022. Huang Mingqi， Yuan Honggang， Wu Jie. Wind tunnel test technique of helicopter rotor aerodynamic characteristics[M]. Beijing： National Defense Industry Press， 2022.（in Chinese）

[2]戰培國. MDOE風洞試驗方法研究[J].航空科學技術， 2011，22（6）：11-14. Zhan Peiguo. Review of modern design of experiment methods in wind tunnel test[J]. Aeronautical Science & Technology， 2011， 22（6）：11-14.（in Chinese）

[3]Deloach R. Applications of modern experiment design to wind tunnel testing at NASA Langley Research Center[J]. AIAA Journal， 1998， 7（13）： 55-64.

[4]張江，秦永明，馬漢東.亞跨超風洞現代試驗設計方法研究[J]. 空氣動力學學報，2015，33（3）：384-391. Zhang Jiang， Qin Yongming， Ma Handong. Applications of modern design of experiments to wind tunnel test[J]. Acta Aerodynamic Sinica， 2015， 33（3）： 384-391.（in Chinese）

[5]Underwood P J. National transonic facility wall pressure calibration using modern design of experiments[C]. AIAA Aerospace Science Meeting and Exhibit， 2001.

[6]Rhode M N. Hypersonic wind tunnel calibration using the modern design of experiments[C]. AIAA Aerospace Science Meeting and Exhibit， 2005.

[7]Deloach R. Comparison of resource requirements for a wind tunnel test designed with conventional vs. modern design of experiments methods[C]. AIAA Aerospace Science Meeting and Exhibit， 2011.

[8]Landman D. A wind tunnel external balance calibration using design of experiments[C]. AIAA Aerospace Science Meeting and Exhibit， 2007.

[9]唐志共，王文正，陳功.氣動模型在現代氣動試驗設計中的應用研究[J].空氣動力學學報，2017，35（2）：172-176. Tang Zhigong， Wang Wenzheng， Chen Gong. Research on the application of aerodynamic models in modern design of aerodynamic experiments[J]. Acta Aerodynamic Sinica， 2017， 35（2）： 172-176. （in Chinese）

[10]張江，秦永明，馬漢東.風洞MDOE的形式實驗設計方法研究 [J].空氣動力學學報，2016，34（1）：59-69. Zhang Jiang， Qin Yongming， Ma Handong. Formal design of experiments method of mdoe in wind tunnel tests[J]. Acta Aerodynamic Sinica， 2016， 34（1）： 59-69. （in Chinese）

[11]于晟浩， 袁吉森， 高亮杰， 等. 三維超聲速后掠翼轉捩的eN-神經網絡模型預測[J].力學學報，2023，55（6）：1236-1246. Yu Shenghao， Yuan Jisen， Gao Liangjie， et al. eN -neural network model for predicting transition of 3D supersonic swept wing[J]. Chinese Journal of Theoretical and Applied Mechanics， 2023， 55（6）： 1236-1246.（in Chinese）

[12]馬昕晨，陳志輝，趙雅周. 基于響應面法的軸向混合勵磁雙凸極航空發電機優化設計[J].航空科學技術，2022，33（10）：74-81. Ma Xinchen， Chen Zhihui， Zhao Yazhou. optimization design of axial hybrid excitation doubly salient aerospace machine based on response surface method[J]. Aeronautical Science & Technology， 2022， 33（10）：74-81.（in Chinese）

[13]許瑞飛，段卓毅，錢瑞戰.基于Kriging代理模型的高升力構型優化設計[J].航空科學技術，2023，34（3）：58-63. Xu Ruifei， Duan Zhuoyi， Qian Ruizhan. Optimization design of high-lift configuration using Kriging model[J]. Aeronautical Science & Technology， 2023，34（3）：58-63.（in Chinese）

[14]鮑諾，王春潔，趙軍鵬. 基于響應面法的結構動力學模型修正 [J]. 振動與沖擊，2013， 32（16）：54-58. Bao Nuo， Wang Chunjie， Zhao Junpeng. Modification of structural dynamics model based on response surface method[J]. Journal of Vibration Shock， 2013， 32（16）： 54-58. （in Chinese）

[15]李永華，魏武松，張旭. 基于多項式響應面代理模型的齒輪修形量優化 [J]. 機械傳動，2020，44（11）： 27-34. Li Yonghua， Wei Wusong， Zhang Xu. Polynomial-based optimization of gear modification for response surface proxy model[J]. Mechanical Drive， 2020，44（11）： 27-34. （in Chinese）

[16]孫喜龍，王登峰，榮寶軍. 響應面法在汽車側面結構多目標優化中的應用 [J]. 機械科學與技術，2022， 41（7）：1039-1047. Sun Xilong， Wang Dengfeng， Rong Baojun. Application of response surface method in multi-objective optimization of vehicle side structure[J]. Mechanical Science and Technology for Aerospace Engineering， 2022，41（7）：1039-1047.（in Chinese）

[17]成棣，王成國，劉金朝.兩種響應面方法在車輪踏面優化中的應用分析比較[J]. 中國鐵道科學，2010，31（3）：64-69. Cheng Di， Wang Chengguo， Liu Jinchao. Application analysis and comparison of two response surface methods in wheel tread optimization[J]. China Railway Science， 2010， 31（3）：64-69. （in Chinese）

[18]尤文佳，王慧杰，韓仁坤，等.高超聲速風洞現代試驗設計方法研究[J].實驗流體力學，2022，36（3）：20-32. You Wenjia， Wang Huijie， Han Renkun， et al. Using modern design of experiments method for hypersonic wind tunnel test[J].Journal of experiments in Fluid Mechanics， 2022， 36（3）： 20-32. （in Chinese）

[19]李多，曹軍義，張征宇.跨聲速風洞現代試驗設計方法應用研究[J].空氣動力學學報，2018，36（1）：26-30. Li Duo， Cao Junyi， Zhang Zhengyu. Applications of modern design of experiment method in transonic wind tunnel[J]. Acta Aerodynamic Sinica， 2018， 36（1）：26-30. （in Chinese）

Research on Low Speed Wind Tunnel Test Method Based on MDOE of Polynomial Response Surface

Jiang Jiawei， Cheng Qiyou， Liu Zhengjiang， Chen Weixing

National Key Laboratory of Helicopter Aeromechanics， China Helicopter Research and Development Institute，Jingdezhen 333001， China

Abstract： The existing modern design of experiment （MDOE） methods based on various statistical models have a large amount of calculation and complex modeling， which leads to a decrease in the efficiency of the overall wind tunnel test. In order to solve this problem， an optimization design method combining polynomial response surface model with modern design of experiment is proposed in this paper. The central composite design was used to divide the test points in the independent variable interval and the wind tunnel test was carried out to obtain the aerodynamic force. The polynomial undetermined coefficients were determined by the least square method， and the response surface model was constructed. The analysis of variance and significance test were carried out. Finally， five traditional single variable （OFAT） method test points were selected to test the fitting accuracy of the response surface model. The results show that compared with the traditional univariate wind tunnel test method， the low-speed wind tunnel test method based on polynomial response surface MDOE proposed in this paper has the advantages of easy modeling， small calculation amount and prediction calibration， which can reduce the test sample points by about 50% and effectively improve the efficiency of wind tunnel test.

Key Words： polynomial response surface model； MDOE； wind tunnel test； central composite design； analysis of variance