一維立方非線性剛度周期結構色散特性研究

摘 要：研究立方非線性剛度單胞陣列形成一維周期結構后的色散特性，對飛機壁板振動控制的研究具有一定的促進作用。首先構建一維線性剛度周期結構的動力學模型，基于布洛赫理論（Bloch theorem）推導了其色散方程，并對其色散特性和彈性波傳播現象進行分析。進而建立含立方非線性剛度單胞的一維周期結構的動力學模型，利用攝動法推導該周期結構的色散方程，分析非線性剛度的軟、硬和激勵振幅對其色散特性以及彈性波傳播產生的影響。最后考慮到飛行器壁板復雜工作環境，避免攝動法僅適用于弱非線性的局限性，給出含立方非線性剛度一維周期結構色散關系的諧波平衡法的求解過程，對比兩種方法的求解結果。本文為利用非線性周期結構對飛行器壁板進行振動控制的進一步研究奠定基礎，對非線性聲子晶體低頻減振研究也具有一定的促進作用。

關鍵詞：周期結構； 色散特性； 攝動法； 諧波平衡法； 非線性

中圖分類號：V223 文獻標識碼：A DOI：10.19452/j.issn1007-5453.2024.06.008

基金項目： 航空科學基金（20161553016）；廣東省基礎與應用基礎研究基金（2022A1515011497）；西安交通大學復雜服役環境重大裝備結構強度與壽命全國重點實驗室開放課題基金（SV2023-KF-19）

壁板是飛行器中常見的一種結構形式，在航空航天領域具有廣泛的應用[1-3]。在外激勵或氣動力作用下，壁板結構會產生振動，帶來諸多危害[4]。一方面，飛行器壁板結構振動會影響儀器儀表的正常工作，甚至產生疲勞問題，損壞壁板結構或減少其使用壽命；另一方面，飛行器壁板振動所輻射的噪聲還會增大艙內的噪聲量級，影響乘員舒適度。因此，如何有效地控制壁板結構的振動是現代飛行器發展亟須解決的關鍵問題之一。

經過近百年的研究，研究人員已經提出了多種對振動控制的被動和主動的方法[5]。傳統的動力吸振器通常采用線性剛度設計，只有很窄的吸振頻帶寬度，為了克服這一缺點，Gendelman[6]提出了一種立方非線性剛度振子結構，該結構具有質量小、吸振頻帶寬、吸振效率高、能量傳遞速度快及靶向能量傳遞等優點，這樣的非線性振子稱為非線性能量阱（NES）。在結構中，振動通常以彈性波的形式傳播[7]，對結構或材料中的彈性波行為進行調控是實現振動控制的一種有效手段，從20世紀50—60年代起，研究人員就對周期結構中的波傳播理論展開研究，試圖利用周期結構作為減振單元用于振動控制[8]。具有周期性特征的結構廣泛存在于航空航天、機械和土木工程中，如飛機中的加筋板[9-11]、渦輪葉片[12]、抗沖擊泡沫[13]、多層建筑和多跨橋梁[14-16]等。周期結構具有特殊的色散關系，只有頻率處于特定的“傳播區”，諧波才可以無損耗地傳播，否則即使在沒有阻尼的情況下，諧波也會因為布拉格散射或局域共振衰減。如果將這種立方非線性剛度單元陣列形成周期結構（簡稱立方非線性剛度周期結構），將同時具有非線性和周期特性，進而可以利用非線性單元的帶寬特點和周期結構的色散特性實現更加優良的振動控制性能，然而鮮有將關于立方非線性剛度周期結構應用于壁板結構振動控制的研究。

對于周期結構的研究核心在于對結構中的波傳播特性進行研究，為求解方便，大多將其等效為彈簧質量鏈進行研究[17-18]。對于一維線性剛度周期結構，高明等[19]針對三振子周期單元，通過引入奇異性理論分析了其色散曲線的拓撲結構，進而確定了帶隙范圍。武恒星等[20]給出了含雙質量諧振單元的聲學超材料桿中彈性波傳播色散關系的解析解，發現通過引入雙質量諧振單元，進而在諧振單元中引入阻尼，可以產生較寬的帶隙。盡管線性剛度周期結構表現出許多有趣的波傳播特性，但也存在很多限制，如某些情況下小位移假設不適用等[21]。非線性周期性結構具有豐富的波傳播特性，有望突破低頻寬帶振動的限制。位琳帥[22]研究了雙質量顆粒鏈的色散特性，并在顆粒鏈中引入了缺陷，發現此時波的傳播會表現出類似于二極管的特性。Narisetti等[23]基于攝動法，研究了具有立方非線性剛度的不同周期結構的色散特性。盡管關于非線性周期結構有一定研究，但立方非線性方程求解一般比較困難，非線性剛度周期結構中波傳播的研究主要集中于顆粒周期結構的3/2次冪非線性剛度，關于立方非線性剛度周期結構中的波傳播問題研究較少。

現有關于立方非線性剛度周期結構的研究主要關注弱非線性，因此其求解都采用Narisetti等[23]提出的攝動法。攝動法僅適用于弱非線性，諧波平衡法既適用于弱非線性，又適用于強非線性，使用時不需要考慮非線性強度的問題[24]。但是關于非線性強度的強、弱只是相對的，沒有明確定義，因此攝動法的適用環境并不明確。對此，本文基于立方非線性剛度周期結構，系統分析了一維線性剛度周期結構和一維立方非線性剛度周期結構的色散特性，給出了諧波平衡法求解立方非線性剛度周期結構的過程，對比分析了攝動法和諧波平衡法的求解結果。本文通過研究立方非線性剛度周期結構的色散特性，將非線性和周期結構的優點有效結合起來，同時，通過諧波平衡法無須考慮周期結構非線性強度的特性，避免了攝動法的適用環境問題，具有普適性，為基于非線性振子周期結構的飛行器壁板振動控制的進一步研究奠定了前期基礎。

1 一維立方非線性剛度周期結構模型

磁力因其特有的非線性特性，被廣泛應用于NES的構建[25]，本文利用稀土釹鐵硼圓形帶孔磁鐵實現立方非線性剛度。考慮圖1（a）所示的單胞結構，其中相鄰磁鐵間表現為互斥作用，懸浮磁鐵在兩個固定磁鐵之間移動。在忽略重力的情況下，固定磁鐵與懸浮磁鐵之間的磁力是相互對稱的，所以建立如圖1（b）所示的試驗模型，以固定磁鐵中間位置為位移零點，通過改變砝碼重量改變懸浮磁鐵的位置，擬合得出力—位移曲線如圖1（c）所示。根據已有研究[26]，力—位移曲線的擬合結果可以表達為k1x+k3x3的多項式形式，其中k1表征線性剛度，k3表征立方非線性剛度。當k3>0時為硬非線性剛度，當k3<0時為軟非線性剛度[27]。通過擬合結果可見單胞結構表現為典型的立方非線性剛度形式。

利用該非線性剛度單胞結構，將其陣列形成周期結構，如圖2所示。當周期結構受到小振幅激勵時，懸浮磁鐵在平衡位置附近振動，剛度表現為線性；當周期結構受到的激勵振幅較大時，懸浮磁鐵偏離零點位置較遠，剛度表現為立方非線性特性。考慮周期結構的波傳播特性，研究該單胞陣列形成的立方非線性剛度周期結構的色散特性，有益于下一步利用該周期結構對振動控制的研究。

2 一維線性剛度周期結構波傳播特性分析

當受到小振幅激勵時，可將陣列形成的周期結構等效為一維線性單原子彈簧質量鏈（簡稱線性單原子鏈），如圖3所示，圖中虛線框所示為一個單胞。

單胞由單個彈簧和集中質量串聯而成，圖4為圖3所對應模型的布里淵區及不可約布里淵區，因為色散關系具有對稱性，通常一維模型只需考慮布里淵區的一半，即不可約布里淵區，就可以描述模型的色散特性。

根據式（7）可以看出，對于線性單原子鏈，其色散與單胞的固有頻率和外激勵頻率有關，與其他因素無關。線性單原子鏈色散曲線如圖5所示，其中ql在圖中用μ來表示。可見當Ω<2時，即當激勵頻率低于單胞固有頻率兩倍時，彈性波在該線性剛度周期結構中傳播呈現通帶，可以無損耗地傳播。當Ω>2時，沒有對應的實數波解，即為禁帶，此時波的衰減可以用給定頻率下通過式（7）求得的波數的虛部來表征。當Ω=2時的頻率，即兩倍固有頻率，可以稱作線性單原子鏈波傳播的截止頻率。

根據式（7），繪出μ的實部（傳播常數）和虛部（衰減常數）隨Ω變化的曲線，分別如圖6和圖7所示。圖6為波數的實部，在Ω≤2時，其與圖5中的色散曲線相對應，當Ω>2時，其為恒定值π；圖7為波數的虛部，在Ω≤2時等于零，在Ω>2時隨著Ω的增大而增大，這表明通過單原子彈簧質量鏈傳播的波的空間衰減率也隨著激勵頻率的增大而增大。

3 一維立方非線性剛度周期結構波傳播特性分析

3.1 攝動法

當受到激勵振幅較大時，根據圖1（c）的力—位移曲線可知，單胞表現為立方非線性形式，此時可以將單胞陣列形成的周期結構等效為如圖8所示的一維非線性單原子彈簧質量鏈（以下簡稱非線性單原子鏈）。

為分析波的衰減，根據式（28），繪出μ的實部和虛部隨Ω變化的曲線，分別如圖11和圖12所示。根據圖11可以看出，相對于線性單原子鏈，軟非線性會使傳播常數向Ω減小的方向偏移，降低了截止頻率；硬非線性會使傳播常數向Ω增大的方向偏移，即增大了截止頻率。根據圖12可以看出，相對于線性單原子鏈，軟非線性單原子鏈的波衰減常數曲線向Ω減小的方向偏移，衰減常數變得更大；硬非線性單原子鏈的波衰減常數曲線向Ω增大的方向偏移，衰減常數變得更小。所以硬非線性更有利于單原子鏈中波的傳播。

對于周期結構，較少周期既可體現出周期特性。經過以上分析，可以采用3～5周期的磁鐵，其中兩端磁鐵需固定以防止受到激勵后磁鐵無限擴展，同時每隔一定距離將一組周期結構布置在壁板的隔框之間[4，29]，以利用周期結構的截止頻率來調控和抑制壁板的低頻振動。具體布置到壁板之上的結構振動特性有待進一步研究。

3.2 諧波平衡法

4 結論

本文對由磁力特性構成的一維立方非線性剛度周期結構建立了理論模型，給出了立方非線性剛度周期結構色散關系的求解過程。根據求解結果，對比分析一維線性剛度周期結構和一維立方非線性剛度周期結構的色散特性，得出以下結論：

（1）對于一維線性剛度周期結構，當外激勵頻率小于截止頻率時，結構中波的傳播呈現通帶，在外激勵頻率大于截止頻率時，波會衰減。

（2）立方非線性剛度周期結構的色散，不僅與其單胞固有頻率有關，還與外激勵的幅值有關，外激勵幅值越大，色散曲線偏移量越大。相較于線性剛度周期結構，硬非線性可以突破線性離散周期結構外激勵頻率大于固有頻率的兩倍時波就衰減的限制，進一步拓寬通帶寬度，軟非線性則相反。

（3）對于一維立方非線性剛度周期結構色散關系的求解，攝動法和諧波平衡法的求解結果只差一個高階小量，忽略高階小量可認為求解結果相同。

綜上所述，本文的研究和結論將為立方非線性剛度周期結構的設計提供理論指導，為基于非線性振子周期結構的飛行器壁板振動控制的進一步研究奠定基礎，后續工作將利用磁鐵串聯形成周期結構后開展試驗研究，驗證本文推導結果。

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Study on Dispersion Characteristics of One-Dimensional Cubic Nonlinear Stiffness Periodic Structures

Zuo Ang1， Xu Yanlong1，2， Chen Ning1， Zhang Mengjia1， Gu Yingsong1， Yang Zhichun1

1. Northwestern Polytechnical University， Xi’an 710072， China

2. State Key Laboratory for Strength and Vibration of Mechanical Structures， Xi’an 710049，China

Abstract： The study of the dispersion characteristics of periodic structures formed by cubic nonlinear stiffness unit cell arrays， which has a certain promoting effect on the research of aircraft panel vibration control. Firstly， the dynamic model of one-dimensional linear stiffness periodic structure is constructed， and its dispersion equation is derived based on Bloch theory. Its dispersion characteristics and wave propagation are analyzed. Then the dynamic model of the periodic structure with cubic nonlinear stiffness unit cells is established， and the dispersion equation of the periodic structure is derived by using the perturbation approach. Finally， considering the complex working environment of aircraft panels and the limitation that the perturbation approach is only applicable to weak nonlinearity， the solution process of harmonic balance method for periodic structures with cubic nonlinear stiffness dispersion relation is given， and the solution results of the two methods are compared. This paper lays the foundation for further research on vibration control of aircraft wall panels using nonlinear periodic structures， and also contributes to the research on lowfrequency damping of nonlinear phononic crystals.

Key Words： periodic structure； dispersion characteristics； perturbation approach； harmonic balance method； nonlinear