例析直線中的對稱思想

在平面解析幾何中對稱問題是直線方程的一個重要應用，高中數學所涉及的對稱問題一般都可轉化為點關于點或點關于直線的對稱來解決。中點坐標公式和兩條直線垂直的條件是解決對稱問題的重要工具。對稱問題經常與物理中的光學知識相結合，考查同學們觀察、分析、理解及解決問題的能力。下面舉例說明關于這類問題的解法。

一、關于點的中心對稱問題

2 .直線關于點的對稱

求直線關于點對稱的方法常有以下三種。

（ 1）若兩條直線關于定點M對稱，則其中一條直線上任意一點關于M的對稱點在另一條直線上，利用中點坐標公式，用其中一點的坐標表示出另一個點的坐標。

（ 2）由中心對稱定義可知，若兩條直線關于定點M對稱，則它們是一對與定點M距離相等的平行直線，利用兩平行線斜率相等及點到直線的距離公式，求出直線的方程。

（ 3）先在已知直線上任取兩個點，再求這兩個點關于M的對稱點，進而求出所求直線的方程。

例2 求直線l： 3 x-2 y=1關于點P（ 2， 2）對稱的直線方程。

點評：直線關于點的對稱都可以轉化為點關于點的對稱來處理，只需用中點坐標公式即可。

二、關于直線的對稱問題

1 .點關于直線的對稱

點評：結合圖像，求出點A關于直線l的對稱點為A1， | P A|+| P B|的最小值即為| A1B |，解題的關鍵是對稱轉化。

（責任編輯 徐利杰）