提出真問題，促進真理解

［摘 要］ 研究者以“分數與除法的關系”一課為例，通過鼓勵學生提問、對學生的回答進行追問等措施，促進學生對分數與除法關系的理解。

［關鍵詞］ 真問題；真理解；分數與除法在數學教學中，學生只有在提出真問題、帶動真思考、促進真理解后，才能創造性地解決數學問題。數學真問題通常具有一定的復雜性和抽象性，教師要引導學生運用數學知識和技能進行分析、推理和解決，因為這些問題可能沒有明確的答案或者存在著多種解法。學生在解決真問題過程中需要真思考，這種思考不是公式和方法的死記硬背，而是要理解數學的本質。因此，在教學中教師要激發學生的想象力和創新能力，培養他們在面對未知情境時的靈活性和應變能力。

筆者在教學“分數與除法的關系”時，先讓學生在獨立思考中提出自己的疑問，再讓學生一起解決這些疑問，促進學生對分數與除法關系的探索和理解，幫助學生進一步理解分數的意義。

一、解決“把1塊餅平均分給4個人”的問題

在三年級時，學生學習了將1個物體（或圖形）、多個物體組成的整體平均分成若干份，并用幾分之一、幾分之幾來表示一個或多個部分。在這節課中，教師從分1塊餅開始，讓學生把1塊餅平均分給4個人，求每個人分得了多少。有的學生根據分數的含義直接推斷出結果：每個人得到這塊餅的，是塊；有的學生根據已學的除法知識思考計算方法：找出每個人得到的塊數，即計算1÷4，結果為0.25；還有的學生結合直觀圖，利用分數的含義得出正確的結果。

1. 鼓勵學生提出真問題

師：（出示1÷4）同學們，我們在二年級的時候學過除法。看這個除法算式，你們有什么要問的？

生1：1除以4，除不夠怎么辦？

師：會提問的同學說明在思考問題，老師為你敢于提問的勇氣點贊。還有問題嗎？

生2：1除以4的結果是多少？

生3：我們二年級學的除法都是大數除以小數，今天的除法怎么是小數除以大數？1除以4這道題的豎式怎么寫？

生4：1除以4表示什么意思？

師：你們敢于說出困惑，非常棒，掌聲送給自己。

2. 組織學生解決真問題

師：同學們，1÷4等于多少？

（有的學生認為是0.25，有的學生認為是）

師：剛才很多同學都知道這個算式的結果是0.25，大家有什么要問的？

生5：為什么這個算式等于？

生6：我們可以把“1”看作1個蛋糕，把單位“1”平均分成4份，每份就是。

生7：（出示所畫圖形）我是把1個圓平均分成4份，每份就是。

師：我們可以用畫圖或者說理的方式來說明這道題的思考過程，其實就等于0.25。（出示1÷3=）這道題等于多少？

生8：1÷3=。

在這個教學片段中，教師由數學舊知導入，引出這節課要學習的分數除法，從而在學生的提問中引發認知沖突，點燃他們的學習熱情。學生在探究1÷4的結果時，用畫圖和說理等方法找到了用小數或分數表示運算的結果，溝通了分數與除法之間的聯系。

二、解決“把3塊餅平均分給4個人”的問題

數學學習是學生將學過的舊知經驗遷移到新知學習中，比如學生探究了1÷4后，他們就嘗試用分數表示3÷4的商，進一步感悟分數與除法算式的聯系。在探究3÷4這道算式時，教師鼓勵學生自主探索，用畫圖和說理等方法推導每人分得的塊數。教師引導學生回顧學習過程，讓他們從數學現象中發現規律，學會用不同形式表達分數與除法的關系。

師：剛才我們解決了1塊餅平均分給4個人的問題，現在我們要解決把3塊餅平均分給4個人，每人分得多少？請你們在練習本上寫一寫。

生1：我是這樣想的，剛才我們知道了把1塊餅平均分給4個人，每個人分到1÷4=（個）。我們在這個算式的兩邊同時分別乘3，3×1÷4=×3個，所以3÷4=（個）。

師：你們都聽懂了嗎？不懂的同學有什么要問的？

生2：我沒有聽懂這個算式的意義，不知道為什么兩邊要同時乘3。

生1：剛才我們解決的問題是1÷4，就是1塊餅平均分給4個人；現在我們要解決的問題是3÷4，是把3塊餅平均分給4個人。我們要把1塊餅乘3就變成了3塊餅，就能算出3塊餅平均分給4個人，每個人能分到多少塊餅了。

生2：哦，原來是這樣，我明白了，謝謝。

生3：我是用畫圖來做的，3÷4表示把3塊餅平均分給4個人，我畫了3個圓形，每個圓形都平均分成4份。每個人分到第1個圓形的個，又分到了第2個圓形的個，又分到了第3個圓形的個，所以3個相加等于（個）。

生4：我也是用畫圖來做的，我前面畫的圖和生3一樣，我還畫了1幅圖：把每個人分到的3個拼在一起，這樣大家一眼就能看出3÷4=（個）。

師：同學們，通過上述三種方法的學習，有什么收獲和發現？

生5：我們可以用不同的方法解決同一道數學題目。

生6：我發現了這道除法算式中的被除數就是答案中的分子，除數就是答案中的分母。

在這個教學片段中，教師引導學生自己探索算式3÷4的結果，有的學生結合分數的意義得到了答案，有的學生通過數有幾個得到了答案。最后，教師組織學生復盤了整個學習過程，讓學生不僅知道分數和除法的關系，而且清楚地知道它們是如何建立這種關系的。

三、解決“把m個單位平均分成n份”的問題

數學學習是一個從具體到抽象的過程。當學生經歷前面兩道分數除法的計算后，他們積累了豐富的實踐經驗，為探究抽象的m÷n提供了經驗，也為后續學習“求一個數是另一個數的幾分之幾”的實際問題奠定了基礎。

師：（出示m÷n，其中n≠0）同學們，我們剛才解決了具體數字的分數除法。如果變成字母的算式，想一想m除以n會等于多少，我們既要知道是多少，又要講出道理。

生1：剛才有同學說被除數就是這個得數的分子，除數就是這個得數的分母，所以m÷n=。

生2：我們還是把這道題目看成分餅，把m塊餅平均分給n個人，取其中的m份，所以每個人分到m塊餅的。

生3：我也是把這道題目看成分餅，把m塊餅平均分給n個人。如果把1塊餅平均分給n個人，那么每個人分到這塊餅的。現在有m塊餅，所以每個人分到m塊餅的。

生4：我是先假設m÷n=這個算式是正確的，然后在這個除法算式左右兩邊都乘n，這個算式就變成了m=m，因為這個等式是正確的，所以前面這個算式也是正確的。

師：同學們，今天我們學習了分數與除法的關系，你們還想知道什么？

生5：今天我們研究的都是被除數比除數小的情況，如果m大于n，會出現怎樣的結果？我猜答案可能是整數，或者是帶分數。

在這個教學片段中，學生先嘗試用數學語言描述或用相應的數量關系式來表達，在充分交流中理解新知識；然后探索由字母組成的等式，并從除數不能為0，推斷分數分母不能為0，從而建立新知識的數學模型，使理解逐漸抽象。

總之，在教學中教師從舊知導入，引導學生提出真問題，讓學生在真探究中經歷從具體到抽象的過程，能促進學生對分數與除法關系的真理解。教師從被除數小于除數的情況延伸到被除數大于除數的情況，很好地打通了真分數、整數、假分數和帶分數之間的聯系，有助于學生深刻理解真分數、整數、假分數和帶分數的聯系，促進了學生的真理解。