構(gòu)建基于圖形表征的等量組聚集模型的認(rèn)知路徑

［摘 要］ 文章通過剖析學(xué)生產(chǎn)生等量組聚集模型學(xué)習(xí)障礙的原因，提出基于圖形的表征方式，在建模和用模兩個階段構(gòu)建模型的認(rèn)知路徑，培育學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，落實(shí)數(shù)學(xué)學(xué)科育人功能。

［關(guān)鍵詞］ 圖形表征；等量組模型；抽象；推理

乘法是小學(xué)數(shù)學(xué)的主要模型之一，整數(shù)乘法是乘法模型體系的基礎(chǔ)，能統(tǒng)攝運(yùn)算算理和算法、解釋運(yùn)算定律和解決與乘法相關(guān)的數(shù)學(xué)問題。正整數(shù)乘除法有四種重要的現(xiàn)實(shí)模型，分別是等量組聚集、倍數(shù)問題、長方形面積問題、配對問題，其中等量組聚集模型是最基本的模型，其他的現(xiàn)實(shí)模型都是先將其轉(zhuǎn)化為等量組聚集模型，然后作為一種新的模型進(jìn)行運(yùn)用［１］。由此可見，等量組聚集模型（以下簡稱等量組模型）是乘法模型體系中的“起點(diǎn)型核心知識”［２］，是學(xué)生后續(xù)遷移學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)。

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》把幾何直觀列為數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)主要表現(xiàn)之一，主要是指學(xué)生能運(yùn)用圖形等表征方式描述和分析數(shù)學(xué)問題，探索問題解決的思路，提高解決問題的能力［３］，因此，探索運(yùn)用圖形表征構(gòu)建等量組模型的認(rèn)知路徑具有一定意義。

一、剖析：學(xué)習(xí)障礙的原因分析

以人教版教材為例，等量組模型主要集中在二年級上冊的兩個單元，學(xué)生產(chǎn)生學(xué)習(xí)障礙的原因主要有三個方面。

一是多元表征的轉(zhuǎn)換存在困難。等量組模型具有動作、語言、符號等多種不同的心理表征，在解決類似“1袋蘋果約重8千克，9袋蘋果共約重多少千克”的問題時，要求表征“8×9”的符號意義，學(xué)生常常會出現(xiàn)“8個9的和”與“9個8的和”的語言表征混亂。不同表征方式轉(zhuǎn)換困難顯示學(xué)生未能正確建立等量組模型的心理表象。

二是多樣化計(jì)數(shù)單位需要學(xué)生重構(gòu)經(jīng)驗(yàn)。計(jì)數(shù)單位“一”“十”和“百”是基于數(shù)的意義產(chǎn)生的，在等量組模型中不同情境的計(jì)數(shù)單位不相同，如“8個9的和”計(jì)數(shù)單位是9，“9個8的和”計(jì)數(shù)單位是8；2的口訣計(jì)數(shù)單位是2，3的口訣計(jì)數(shù)單位是3，不同口訣計(jì)數(shù)單位不同。因此，理解計(jì)數(shù)單位是模型學(xué)習(xí)的重要目標(biāo)，教師要引導(dǎo)學(xué)生通過學(xué)習(xí)重構(gòu)計(jì)數(shù)單位的知識經(jīng)驗(yàn)。

三是單一的口訣學(xué)習(xí)策略易固化學(xué)生的思維。編乘法口訣既能深化理解模型，又為后續(xù)乘除法運(yùn)算奠定技能基礎(chǔ)。傳統(tǒng)學(xué)習(xí)中編口訣與記憶口訣的學(xué)習(xí)策略基本一致，都是利用上一句口訣編或記憶下一句口訣，久而久之，學(xué)生容易形成固化思維。在口訣教學(xué)中，教師可采用多種策略，如圖1，以“五六三十”為例，至少有三種策略推導(dǎo)口訣。

單一的學(xué)習(xí)策略容易使學(xué)生處于記憶、模仿的低階思維，會讓其學(xué)習(xí)變得枯燥無味。

二、探索：運(yùn)用圖形表征構(gòu)建等量組模型的認(rèn)知路徑

基于以上分析，教師可以借助圖形表征方式，在建模和用模兩個階段構(gòu)建等量組模型的認(rèn)知路徑，培育學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。

1. 建模階段：以“形”探“模”，培育抽象能力

（1）以“形”建“模，抽象數(shù)學(xué)模型

在有理數(shù)范圍內(nèi)，乘法和加法體現(xiàn)了特殊與一般的關(guān)系，從加法模型引入等量組模型，能凸顯等量組模型學(xué)習(xí)的必要性。如圖2，在教學(xué)中，教師呈現(xiàn)游樂場情境，分別求總?cè)藬?shù)。

教師可以設(shè)計(jì)三個層次的數(shù)學(xué)抽象活動（如圖3）：第一個層次從情境表征到圖形表征的抽象，圖形表征簡潔明了地呈現(xiàn)同數(shù)連加的特征；第二個層次從情境語言到乘法語言的抽象，學(xué)習(xí)用“幾個幾的和”表述情境中的數(shù)量關(guān)系；第三個層次從加法運(yùn)算到乘法運(yùn)算的抽象。學(xué)生經(jīng)歷觀察、比較、描述、歸納的思維過程，完成從“圖形表征→語言表征→符號表征”的轉(zhuǎn)換，初步抽象等量組模型。

（2）以“形”通“模”，多維建立“影像”

學(xué)生要掌握等量組模型，需要在不同表征之間建立聯(lián)系。在教學(xué)中，教師可以設(shè)計(jì)任務(wù)單（如表1），讓學(xué)生嘗試用圖形、語言、符號等不同方式表征等量組模型，經(jīng)歷不同表征之間的互相印證、比照、溝通，從而建立形與數(shù)的聯(lián)系。同時，學(xué)生用任務(wù)單交流彼此的模型觀念，產(chǎn)生模型“影像”，從而超越加法建立形式化的等量組模型。

（3）以“形”立“模”，構(gòu)造數(shù)學(xué)模型

等量組模型包括計(jì)數(shù)單位、計(jì)數(shù)單位的個數(shù)與總數(shù)等結(jié)構(gòu)元素，這是理解等量組模型”幾個幾”含義的關(guān)鍵。

如圖4，教學(xué)中，教師可以提供不同場景下的等量組模型，通過圖文對照助力學(xué)生理解模型的結(jié)構(gòu)及結(jié)構(gòu)中每一元素的含義。

教師要引導(dǎo)學(xué)生關(guān)注不同情境中計(jì)數(shù)單位（每一份數(shù)）、計(jì)數(shù)單位個數(shù)（份數(shù)）和總數(shù)等結(jié)構(gòu)元素以及這些元素之間的關(guān)系，讓學(xué)生用數(shù)學(xué)語言描述現(xiàn)實(shí)世界和解釋乘法符號的現(xiàn)實(shí)意義。

2. 用模階段：以“形”促“模”，激活推理意識

盡管二年級學(xué)生處于形象思維階段，但是教師引導(dǎo)學(xué)生借助圖形表征的直觀手段，能幫助學(xué)生在運(yùn)用模型的過程中嘗試推理，激活其推理意識。

（1）以“形”輔“模”，達(dá)成推理可視化

教材呈現(xiàn)了簡捷的“小九九”乘法口訣表，目的是減輕學(xué)生學(xué)習(xí)負(fù)擔(dān)。如圖5，學(xué)生在編5的口訣時產(chǎn)生了困惑：為什么不需要繼續(xù)編口訣？為什么編到“五五二十五”就行了呢？簡潔的口訣隱藏了口訣的優(yōu)化過程，而這個優(yōu)化過程恰恰是培育學(xué)生核心素養(yǎng)的過程。教學(xué)時教師可開展創(chuàng)設(shè)編“大九九”乘法口訣表的學(xué)習(xí)活動，讓學(xué)生經(jīng)歷思維簡縮的過程。

乘法口訣教學(xué)的主要任務(wù)是引導(dǎo)學(xué)生對獲得口訣的過程進(jìn)行解釋，并把解釋過程記錄下來。如圖5，教師呈現(xiàn)了編“六二十二”口訣所使用的策略，結(jié)合點(diǎn)子圖幫助學(xué)生表達(dá)口訣獲得過程。

推理可視化能幫助學(xué)生實(shí)現(xiàn)語言、符號、圖形之間的準(zhǔn)確轉(zhuǎn)換。得到結(jié)論后，教師要引導(dǎo)學(xué)生觀察不同的策略的相同之處。比如，教師引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)都是以2為計(jì)數(shù)單位，對6個2進(jìn)行合理分拆后再合并，編口訣過程就是計(jì)數(shù)單位個數(shù)的合理分解和重組過程，本質(zhì)是等量組模型的靈活運(yùn)用。

比如，學(xué)生得出“九二十八”的口訣后，教師可提出問題：繼續(xù)往下編口訣會出現(xiàn)什么情況？教師引導(dǎo)學(xué)生觀察點(diǎn)子圖（見圖6），橫著看表示10個2，豎著看表示2個10，但是點(diǎn)子總數(shù)不變，因此可以得出“2個10的和=10個2的和”。利用數(shù)的組成直接算出結(jié)果，其中蘊(yùn)含乘法交換律，繼續(xù)往下編口訣實(shí)際上是數(shù)的意義與1～9口訣的不斷分解與組合。教師通過圖形表征，讓學(xué)生體會每組只需要編9句口訣就足夠計(jì)算所有的乘法了。

圖6 20個2的和是幾

當(dāng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)“二五一十”與“五二一十”結(jié)果一樣、但是表述不同時，教師可適時提出問題：能簡化口訣嗎？為什么能簡化？教師可以引導(dǎo)學(xué)生通過畫圖（如圖7），發(fā)現(xiàn)不同的觀察角度能得到不同的意義，但是結(jié)果都是一樣的，所以乘法口訣只需要“二五一十”或“五二一十”其中一句即可。

以圖形為輔助，學(xué)生經(jīng)歷了口訣的產(chǎn)生、形成和優(yōu)化過程，明白學(xué)習(xí)的重點(diǎn)不是簡單地確定口訣對或錯，而是通過判斷口訣推理過程的合理性、解釋口訣優(yōu)化的原因來確定口訣對錯，推理過程本質(zhì)是深入理解等量組模型的過程。

圖7 口訣的優(yōu)化

（2）以“形”辨“模”，建立關(guān)系性理解

等量組模型是基于加法模型的更高層次模型，模型對比是獲得更深刻認(rèn)識的重要路徑。

如圖8，呈現(xiàn)了相似的情境、相同的數(shù)據(jù)、相同的問題，只是解決問題所使用的數(shù)學(xué)模型不同。學(xué)生通過觀察圖形，直觀理解部分與整體之間的數(shù)量關(guān)系，溝通加法和乘法的聯(lián)系與區(qū)別，建立乘法和加法的關(guān)系性理解。

在教學(xué)中教師還可以設(shè)計(jì)數(shù)軸的練習(xí)。如圖9，在跳數(shù)情境中用箭頭呈現(xiàn)正在計(jì)數(shù)的數(shù)，數(shù)軸1每次跳的數(shù)相同，即相同計(jì)數(shù)單位的累加；數(shù)軸2每次跳的數(shù)不同，即不同數(shù)的合并。借助數(shù)軸，能讓學(xué)生進(jìn)一步理解兩種模型的關(guān)系。教師可以引導(dǎo)學(xué)生觀察數(shù)軸2，不同加數(shù)符合遞增數(shù)列的特征，可以通過移多補(bǔ)少使每份一樣多，同樣可以用等量組模型解決，培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)新意識。

圖9 乘法和加法的聯(lián)系與區(qū)別

（3）以“形”聯(lián)“模，推理促進(jìn)運(yùn)用

模型是溝通數(shù)學(xué)與世界的橋梁，等量組模型是從現(xiàn)實(shí)世界中抽象而來，也應(yīng)回歸到現(xiàn)實(shí)世界中去，這一來一回的過程中逐步加深了學(xué)生對等量組模型的數(shù)學(xué)理解。學(xué)生數(shù)學(xué)理解的水平主要體現(xiàn)在數(shù)學(xué)問題的分析和數(shù)量關(guān)系表征上，牛衛(wèi)華和張梅玲等在研究中發(fā)現(xiàn)：“分析階段認(rèn)知活動量與質(zhì)的不同是導(dǎo)致優(yōu)秀生、學(xué)困生解題成績差異的重要原因。”［４］學(xué)困生在分析問題時，特別關(guān)注關(guān)鍵詞，并喜歡把這些詞語與運(yùn)算模型關(guān)聯(lián)起來，如“一共”關(guān)聯(lián)加法模型、“每”關(guān)聯(lián)等量組模型、“飛走”關(guān)聯(lián)減法模型等。公式化的解題策略忽略了數(shù)學(xué)應(yīng)用問題的結(jié)構(gòu)，忽略了解決數(shù)學(xué)應(yīng)用問題的意義。為避免學(xué)生采用“抓關(guān)鍵詞關(guān)聯(lián)模型”的解題策略，教師要引導(dǎo)學(xué)生采用圖形表征的方法。

如圖10，這是一道比較復(fù)雜的練習(xí)題，情境里呈現(xiàn)了3個已知信息、1個隱藏信息，要解決的問題不是一個結(jié)果，而是需要一個數(shù)學(xué)解釋。

閱讀與理解是解決應(yīng)用問題的起步階段，教師要引導(dǎo)學(xué)生想象問題情境，了解實(shí)際問題的結(jié)構(gòu)，并通過設(shè)計(jì)問題組引導(dǎo)學(xué)生開展討論。

問題1：情境講了一件什么事？要解決什么問題？

問題2：你能梳理一下小火車是怎樣組裝的嗎？

問題3：組裝的小火車已知哪些信息？有多余信息嗎？還需要哪些信息？

以上的3個問題主要引導(dǎo)學(xué)生掌握“閱讀理解”的路徑，為分析問題做好鋪墊。如圖11，學(xué)生嘗試使用表格法和畫圖法解決問題。

圖11

表格法和畫圖法是利用直觀的方式將信息分類，表征問題中的數(shù)量關(guān)系，呈現(xiàn)問題的整體結(jié)構(gòu)。表格法利于培養(yǎng)學(xué)生的概括思維，畫圖法利于培養(yǎng)學(xué)生的形象思維。

分析是解決應(yīng)用問題的核心階段。教師可以圍繞中間問題，向?qū)W生提供解題路徑：仔細(xì)觀察每節(jié)車廂有幾個車輪，說說理由。依據(jù)小火車“兩邊有同樣數(shù)量車輪”是平穩(wěn)行駛的條件，解決了“每節(jié)車廂有（2×3）個車輪”的中間問題。在分析階段，由“數(shù)”觀“形”，由“形”解“數(shù)”，數(shù)形結(jié)合，教師要鼓勵學(xué)生不僅會說，還要說得有理。借助推理，學(xué)生剝離了具體情境中的生活元素，抽象出數(shù)量，并把數(shù)量之間的關(guān)系與等量組模型建立聯(lián)系。

圖形表征貫穿了乘法等量組模型的建模與用模的全過程（如圖12），建模為用模奠定基礎(chǔ)，用模能促進(jìn)其深度理解。教師運(yùn)用圖形表征建構(gòu)模型的認(rèn)知路徑，為學(xué)生提供了用數(shù)學(xué)眼光觀察模型、用數(shù)學(xué)思維思考模型、用數(shù)學(xué)語言表達(dá)模型的平臺，能使學(xué)生運(yùn)用畫圖、列表、運(yùn)算、實(shí)物操作等多種方式來表達(dá)自己運(yùn)用模型的策略，讓學(xué)生的學(xué)習(xí)活動始終處于高階思維中，從而真正實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)學(xué)科育人的目標(biāo)。

參考文獻(xiàn)：

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［２］ 魏光明. 小學(xué)數(shù)學(xué)起點(diǎn)型核心知識的育人價值、學(xué)習(xí)路徑與教學(xué)策略［Ｊ］. 課程·教學(xué)·教法，２０２３，４３（６）：１１２－１１８.

［３］ 中華人民共和國教育部.義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（２０２２年版）［M］. 北京：北京師范大學(xué)出版社，２０２２.

［４］ 牛衛(wèi)華，張梅玲.學(xué)困生與優(yōu)秀生解應(yīng)用題策略的對比研究［Ｊ］. 心理科學(xué)，１９９８（６）：５６６－５６７.