挖掘好題價值收獲以少勝多

【摘要】通過對一道“好題”解法和試題開放性探究，發掘試題潛在教學價值，避免陷入“題海”教學誤區，增強學生興趣引領下的數學學習幸福感，提升學生數學核心素養。

【關鍵詞】開發好題;發掘價值;好奇心;幸福感;核心素養

所謂好題是具有開放性和研究價值的問題.教學中不是缺乏好題，而是缺乏發現好題的眼光，導致學生陷于題海之中， 造成課業負擔過重，解題視野狹窄，嚴重桎梏了學生們的思維空間.多視角、多角度挖掘好題潛在教學價值，靈活應用，以一變十，提升學生數學核心素養，收到事半功倍的功效[1].

試題呈現

如圖1，在正方形ABCD中，點E，F在射線BC上，∠EAF=45°，求BEEF的最大值.（2024年成都青羊區中考模擬試題）

試題條件簡潔，但指向不明確，問題典型，但兩者之間聯系“松散”，增強了開發性探究問題的思維空間.

1多解活思路

解法多樣性是課程標準理念，在教學中需要教師給予開發和利用.

1.1幾何解法

解法1利用一線三直角+隱圓

如圖1，過點E作EG⊥AE交AF于點G，過點G作GP⊥EF于點P，則∠B=∠EPG=90°，

因為∠EAF=∠AGE=45°，所以AE=EG，

因為∠BAE+∠AEB=90°，∠GEP+∠AEB=90°，

所以∠BAE=∠GEP，

所以△ABE≌△EPG（AAS），所以GP=BE.

作△EFG的外接圓，設圓心為O，連接OE，OF，OG，則OE=OF=OG，因為∠EGF=135°，所以∠EOF=90°.所以△EFO為等腰直角三角形.

過點O作OQ⊥EF于點Q，則GP+OQ≤OG，所以GP≤OG－OQ，即BE≤OG－OQ，當P，Q位于OG上時取等號.

設OQ=EQ=FQ=a，則OG=OE=2a，EF=2EQ=2a，所以BE≤2a－a，所以BEEF≤2a－a2a=2－12，故BEEF的最大值為2－12.

解法2利用平行構造相似+隱圓

如圖2，作正方形ABCD的外接圓，連接AC并取中點O為圓心，延長AE交⊙O于點G，過G作GH⊥BC于點H，則AB∥GH.

所以△ABE∽△GHE，所以EGAE=GHAB.（1）

連接BG，由于∠BGE=∠ACB=∠EAF=45°，

又∠BEG=∠AEF，

所以△BEG∽△FEA，所以BEEF=EGAE. （2）

將（1）式代入（2）式，得BEEF=GHAB，

由于AB大小一定，只需GH最大.

過O作OP⊥BC于點P，并延長交⊙O于點Q，

所以GH≤PQ，當GH重合于PQ時取等號.

設AB=BC=2a，則AC=22a，所以OQ=OC=2a，

易得OP為△ABC的中位線，所以OP=12AB=a，

所以PQ=OQ－OP=2a－a.

所以BEEF=GHAB≤PQAB=2a－a2a=2－12，

故BEEF的最大值為2－12.

1.2代數解法

解法3如圖3，連接AC，在正方形ABCD中，∠ACE=∠EAF=45°，又∠AEC=∠FEA，所以△ACE∽△FAE，

+HodReU3zQ2ipfwrFC4e3XicRdHOzVeaMNez6/Te+fA=所以AEEC=EFAE，即AE2=EC·EF.

設正方形ABCD的邊長為1，BE=x（0＜x＜1），

在Rt△ABE中，AE2=AB2+BE2=1+x2，

所以EF=AE2EC=1+x21－x.

設BEEF=x（1－x）1+x2=k（k＞0），整理，得

（k+1）x2－x+k=0，

由判別式得Δ≥0，所以（－1）2－4k（k+1）≥0，

整理，得（2k+1）2≤2，解得k≤2－12（另解已舍）.

即BEEF≤2－12，故BEEF的最大值為2－12.

思考1還有其它解法嗎？答案是肯定的，請大家自行探討.

2多變提能力

任何事物變化是絕對的，靜止是相對的.探討對問題在不同條件下的解答和結果成立性，會激發人們的好奇心，提升認識問題和解決問題的能力.

2.1改變數據

例1如圖4，在正方形ABCD中，點E，F在射線BC上，∠EAF=60°，求BEEF的最大值.

解如圖4，過點E作EG⊥AE交AF于點G，過點G作GP⊥EF于點P，則∠B=∠AEG=∠EPG=90°.

因為∠EAF=60°，所以EG=3AE.

因為∠BAE+∠AEB=90°，∠GEP+∠AEB=90°，

所以∠BAE=∠GEP，

所以△ABE∽△EPG，

所以GPBE=EGAE=3，GP=3BE.

作△EFG的外接圓，設圓心為O，連接OE，OF，OG，則OE=OF=OG，

因為∠EGF=∠EAF+∠AEG=150°，所以∠EOF=60°.

所以△EFO為等邊三角形.

過點O作OQ⊥EF于點Q，

則GP+OQ≤OG，所以GP≤OG－OQ，當P，Q位于OG上時取等號.

設OE=EF=2a，則OG=OE=2a，于是OQ=3a，GP≤2a－3a，

所以BEEF=GP3EF≤2a－3a23a=33－12.

故BEEF的最大值為23-36.

思考2將正方形ABCD換成矩形ABCD，Rt△ABC（∠B=90°），其余條件不變，對問題結果有影響嗎？經探究，是沒有影響的.

2.2改變圖形形狀

例2如圖5，在菱形ABCD中，∠B=120°，點E，F在射線BC上，∠EAF=30°，求BEEF的最大值.

解利用一線三等角.

如圖5，作∠AEG=∠B=120°交AF于點G，則∠AGE=∠GAE=30°，所以GE=AE.

因為∠AEB+∠GEF=180°－120°=60°，

又∠AEB+∠BAE=180°－120°=60°，

所以∠GEF=∠BAE，

作∠EGM=∠AEB交EF于點M，

所以△EMG≌△ABE（AAS），

所以MG=BE.

作△EFG的外接圓，設圓心為O，連接OE，OF，OG，則OE=OF=OG.

因為∠EGF=∠EAF+∠AEG=150°，所以∠EOF=60°，

所以△EFO為等邊三角形.

分別過點G，O作GP⊥EF于點P，OQ⊥EF于點Q，連接OG，則GP+OQ≤OG，所以GP≤OG－OQ，當點P，Q重合在OG上時取等號.

設EQ=FQ=a，則OG=OE=EF=2a，于是OQ=3a，

所以GP≤2a－3a.

由于∠GMP=180°－∠EMG=60°，所以∠GMP=∠OFQ=60°.

易證Rt△MPG∽Rt△FQO，所以MGOF=GPOQ，

所以BEEF=MGOF=GPOQ≤2a－3a3a=233－1.

故BEEF的最大值為23-3[]3.

2.3改變圖形形狀和數據

例3如圖6，在四邊形ABCD中，∠B=90°，點E，F在射線BC上，∠EAF=β，求BEEF的最大值.

解：如圖6，過點E作EG⊥AE交AF于點G，過點G作GP⊥EF于點P，則∠B=∠AEG=∠EPG=90°，

因為∠BAE+∠AEB=90°，

∠GEP+∠AEB=90°，

所以∠BAE=∠GEP，

所以△ABE∽△EPG，

所以BEGP=AEEG=cot∠EAF=cotβ.

即BE=GPcotβ.

作△EFG的外接圓，設圓心為O，連接OE，OF，OG，則OE=OF=OG，所以△EFO為等腰三角形.

因為∠EGF=∠EAF+∠AEG=90°+β，

所以∠EOF=2（180°－∠EGF）=180°－2β.

過點O作OQ⊥EF于點Q，

所以∠FOQ=12∠EOF=90°－β，則∠OFQ=β.

由于GP+OQ≤OG，

所以GP≤OG－OQ，當P，Q位于OG上時取等號.

設EQ=FQ=a，則EF=2a，OQ=FQ·tan∠OFQ=atanβ，

OG=OF=FQcos∠OFQ=acosβ，所以GP≤acosβ－atanβ，

所以BEEF=GPcotβ2a≤（acosβ－atanβ）cotβ2a=12sinβ－12.

故BEEF的最大值為1-sinβ2sinβ.

3拓展闊視野

數學充滿著辯證法，一般性往往寓于特殊性之中.解題時，將特殊問題一般化和一般問題特殊化是常用的兩種策略.可以采用抽象問題具體化，適當小題大做，一般問題特殊化的方法來驗證，以降低難度，兩者相互成就.

3.1初級一般化

例4如圖7，在ABCD中，∠B=α，點E，F在射線BC上，∠EAF=β，求BEEF的最大值.

解如圖7，作∠AEG=∠B=α，交AF于點G，則∠AGE=180°－α－β.

在△AEG中，由正弦定理，得

AEsin∠AGE=EGsin∠EAF，

可得AEEG=sin（α+β）sinβ.

因為∠AEB+∠GEF=∠AEB+∠BAE=180°－α，

所以∠GEF=∠BAE.

作∠EGM=∠AEB交EF于點M，則△EMG∽△AEB，所以AEEG=BEMG.

所以BEMG=sin（α+β）sinβ.①

作△EFG的外接圓，設圓心為O，連接OE，OF，OG，則OE=OF=OG，所以△EFO為等腰三角形.

因為∠EGF=∠AEG+∠EAF=α+β，

所以∠EOF=2（180°－∠EGF）=2（180°－α-β）.

過點O作OQ⊥EF于點Q，過點G作GP⊥EF于點P，則GP+OQ≤OG，

所以GP≤OG－OQ，當P，Q位于OG上時取等號.

所以∠FOQ=12∠EOF=180°－α-β.

設EQ=FQ=a，則EF=2a，在Rt△OFQ中，OQ=FQ[]tan∠FOQ=-a[]tan（α+β），

OG=OF=FQsin∠FOQ=asin（α+β），所以GP≤asin（α+β）+a[]tan（α+β），

因為∠GMP=180°－∠EMG=180°－α，

過點O作ON∥MG交EF于點N，可得∠ONQ=∠GMP=180°－α，

易證Rt△GMP∽Rt△ONQ，所以GPMG=OQON，

所以GPMG=OQON=sin∠ONQ，即GPMG=sin（180°－α）=sinα.②

①÷②式，得BE=sin（α+β）sinαsinβGP.

所以BE≤sin（α+β）sinαsinβasin（α+β）+a[]tan（α+β），

所以BEEF≤sin（α+β）sinαsinβasin（α+β）+a[]tan（α+β）÷2a=1+cos（α+β）2sinαsinβ.

故BEEF的最大值為1+cos（α+β）2sinαsinβ.

3.2高級一般化

問題如圖8，在四邊形ABCD中，∠B=α，點E，F在射線BC上，∠EAF=β，求BEEF的最大值.

借助第3.1節的探究，獲得同第3.1節一樣的結果，說明問題結果與圖形形狀無關，只與有關角度大小有關.綜合可見，構造等角和利用隱圓是解題關鍵，文前試題、例1均為例3問題的特殊情況，包括例2均為例4的特例.例4雖已超出初中范疇，但作為教師卻有探析的必要.

思考3將四邊形ABCD換成△ABC，其余條件不變，結果還成立嗎？經探究，結果仍成立.

多角度、逐級深入地進行觀察和思考，是收獲“以少勝多”的成功秘密.讓孩子在未來有能力去應對當今世界各種錯綜復雜的現實問題，在始末之間，是對知識與問題不斷拆分與整合中的探究、分析、構建、融通和創造的能力.這就是我們數學教學追求的能力目標.在一題多用的過程中，把握難度，選擇時機和對象，合理用之，避免過度和濫用.

參考文獻

[1]畢里兵.注重“一題多解、一題多變”追求有效教學：記一堂高三復習公開課及教學反思[J].中學教研（數學），2011（11）：23-25.

陳蓉Angel，以“現象式教學”揭開芬蘭以少勝多的秘密，https：//www.sohu.com/a/338761087_303054，2019.9.4

作者簡介

李發勇（1964—），男，四川巴中人，中學高級教師;主要從事初中數學教學研究，在多種數學專業期刊發表教研文章100余篇.