農村中學生數學運算能力的現存問題及培養策略

【摘要】數學運算能力是數學核心素養之一，是數學學習的奠基石，也是學生日常生活的必備技能.農村中學學生的數學運算基本功較為薄弱，主要表現出運算順序不正確、算理領悟不透徹、基本概念不牢固、運算細節不注意等問題.為培養學生的運算基本功，應對上述問題，文章提出“激發運算興趣，端正學生的運算態度”“革新運算教學，提升學生的運算認知”“豐富運算練習，發展學生的運算思維”“規范運算行為，培養學生的運算習慣”等培養策略.

【關鍵詞】初中數學；數學運算；農村中學；培養策略

1數學運算概述

《義務教育數學課程標準（2022年版）》（以下簡稱《課標（2022年版）》）明確指出，運算能力主要是指根據法則和運算律進行正確運算的能力[1]8.除此之外，《課標（2022年版）》對學生的運算能力提出要求：能夠明晰運算的對象和意義，理解算法與算理之間的關系；能夠理解運算的問題，選擇合理簡潔的運算策略解決問題；能夠通過運算促進數學推理能力的發展[1]8.

運算能力是數學核心素養之一.義務教育階段是為學生學習和生活奠定基礎的階段，義務教育階段的數學課程則立足于學生核心素養的形成和發展.《課標（2022年版）》強調，初中階段的核心素養主要表現在9個方面，運算能力是其中之一.教師在教學中應注重發展學生的運算能力，使學生形成規范化思考問題的品質，養成一絲不茍、嚴謹求實的科學態度[1]8.

運算能力是數學學習的基石.著名數學家華羅庚先生說過：“宇宙之大，粒子之微，火箭之速，化工之巧，地球之變，生物之謎，日用之繁，無處不用數學.”數學的應用遍布社會的各個方面，直接為社會創造價值，推動生產力的發展.對于初中生而言，數學運算變得越來越復雜，如數域不斷擴充，加入了負數、無理數；算法越來越多，逐漸加入許多新的運算公式；運算對象從具體的數字過渡到抽象的字母、代數式；運算形式也變得多種多樣.每一個新知識點的學習都是建立在運算基礎上的.

運算能力是學生日常生活的必備技能.在學生的實際生活中，數學運算無處不在，從每月的收支結余計算、購買物品之間的利潤比較，到投資理財、實驗數據處理、人工智能、大數據等各個方面，均與運算強關聯.由此可見，培養學生的運算能力是至關重要的.

2農村中學生數學運算能力的現存問題

隨著城市化進程的迅猛發展，農村中學的生源流失成為不可逆轉的趨勢，農村中學教師的素質也亟需與時俱進.現如今，為提升學生成績，農村中學教師過于注重學生理論知識的掌握和解題結果的正確性，而忽略解題過程中學生運算能力的培養.教師一味地講解運算步驟，導致學生只是對運算步驟進行了掌握，但是沒有進行實踐操作[2]74.一堂數學課上完，在數學運算方面，學生獲得的數學活動經驗微乎其微.而教師對運算能力的忽視，不僅會導致學生做題錯誤的頻繁出現，還會導致教學效果的良莠不齊，最根本的是打擊學生對計算和完成習題的熱情[3].不少學生對于運算能力的認知存在偏差與誤區，認為運算能力并不需要刻意地去進行訓練，只要掌握了日常教學內容，運算能力自然而然就會隨之提升[4].這一典型的誤區，導致學生的運算能力并未得到及時的、專門的訓練與提升，最終，學生掌握了理論知識，但解題時因運算能力差，出現耗費時間過長、正確率和得分率不如預期的結果.如表1所示，筆者曾在七、八、九三個年級分別進行了運算錯誤原因調查，讓學生找出自己運算錯誤的主要原因.

對收集的數據進行分析，農村中學生數學運算能力的現存問題主要表現在以下四個方面.

2.1運算順序不正確

運算順序是正確運算的前提.進行混合運算時，先算乘方，再算乘除，最后算加減；如果存在同級運算，則按照從左到右的順序進行；如果有括號，則先計算括號里面的.這些是運算的基本邏輯.學生往往死記硬背，沒有真正理解其內涵，面對復雜的數學運算，常常手忙腳亂.比如3-2×（-3）=1×（-3）=-3，學生先算減法，再算乘法.又如3a-2（a+1）=3a-2a-1，學生在去括號時沒有先進行乘法運算.這兩個例子均出現運算順序錯誤.

運算順序出現錯誤，在七年級上學期出現的較多.剛升入初中，學生就接觸到有理數、絕對值、相反數、乘方等新的概念，運算對象由正數擴展到負數，難免出現不適應的情況，計算時經常搞錯答案的正負號.部分學生的四則混合運算基礎本就不扎實，再加上正負號、絕對值、乘方等知識的考查，增加了運算的難度，因此顧此失彼，出錯較多.

2.2算理領悟不透徹

算理是運算的核心.在注重掌握算法、忽略理解算理的現狀下，學生很容易遺忘或混淆算理知識，且學生頭腦內的知識都是毫無關聯的點，無法形成系統的數學體系，也就無法根據實際問題選擇正確簡便的運算方法，影響運算的效率.

初中數學的運算形式，不僅有數值運算，而且增加了代數、方程、幾何、函數等的運算，運算法則和算理更為復雜.有不少學生記憶不清楚、理解不透徹，在運算中問題頻出.比如12-183=123-18，學生在化簡時，第二項缺少分母，這是對乘法分配律的錯誤運用.又如解方程3x+12-x-16=1，有的學生在去分母后將方程寫成3（3x+1）-x-1=1，這是因為學生對于去分母的相關算理理解不透徹.去分母時不能漏項，第二項的分子x-1應該作為一個整體加上小括號，右邊的1也應該乘以6.整式的乘除運算中，有關冪的運算出錯較多，例如a2a3=a6，（a2）3=a5，這是將同底數冪相乘和冪的乘方兩種運算混為一談.這兩個運算公式都是根據冪的意義推導出來的，學生若能真正理解其算理，類似的錯誤就能避免.

2.3基本概念不牢固

初中數學課程涉及諸多知識點，學生需要掌握的公式、定理和概念較多，在學習時學生極易出現知識性方面的錯誤，混淆運用或不能正確理解數學公式、定理和概念，這些均會造成學生運算出錯[2]73.比如-22×3×12=4×3×12=6，學生把-22算成4，這是對冪的底數分辨不清，將-22與（-2）2混淆，出現張冠李戴的情況.有的學生對具體數字的運算無法遷移到字母上，例如學生會計算2×2=2，但面對（a）2就束手無策了，歸根結底是沒有理解“算術平方根”的概念.

幾何中概念很多，但有一些容易混淆.例如“兩點之間的距離”和“點到直線的距離”這兩個概念，前者指兩點之間線段的長度，后者指點到直線的垂線段的長度；又如“到三角形三個頂點的距離”和“到三角形三條邊的距離”這兩個概念，前者指三條角平分線的交點，后者指三條垂直平分線的交點；再如三角形的內心和外心等等.總有學生在做題時因混淆概念而出錯，這都是對概念掌握不牢固所致.

基本概念掌握不牢固將直接影響學生數學思維的深度發展.數學思維是人腦和數學對象互相作用，并按照一般思維規律認識數學內容的內在理性活動.在學生并未掌握基本概念的情況下，即學生的頭腦對數學對象并不熟悉，學生也無法發現問題中的隱含條件，無法根據問題選擇合適的方法進而簡化運算，學生的數學思維發展自然受到限制.因此數學運算能力從不是一個單獨的板塊，它直接反映了學生數學思維的發展水平.

2.4運算細節不注意

數學是最嚴謹的學科，若想獲得正確的結果，還有許多細節需要注意，粗心大意往往會“失之毫厘，謬以千里”.例如化簡x2-1x2+x=（x+1）（x-1）x（x+1）=x-1x=1-1x，正確結果應為x-1x，因為分式化簡的結果只能是整式或分式，而學生畫蛇添足，最后的1-1x既不是整式也不是分式.再如y=（m-1）xm2-2是反比例函數，求m的值.有的學生運算m2-2=-1，得出m=±1，直接把答案寫成m=±1，卻忘記了還有一個隱含的條件是系數k≠0（即m-1≠0），正確答案只能是m=-1.同時，這也反映了學生缺乏良好的學習習慣，審題不細、做題馬虎、不愛檢查、不習慣使用草稿紙、偏愛口頭計算等.運算時，若能思考周密、關注細節，留意顯性條件或隱含條件，就可減少無謂的失分.

3農村中學生數學運算能力的培養策略

“萬丈高樓平地起.”教師和學生應該重視數學運算能力的鍛煉，培養扎實的運算基本功.當然，對農村中學生數學運算能力的培養不是一蹴而就的，需要時間和精力的大量投入，同時也要講究培養策略.

3.1激發運算興趣，端正學生的運算態度

對于大多數學生來說，數學運算是繁瑣復雜又枯燥無味的，常出現畏難情緒或對數學運算產生厭倦.作為教師，應該激發學生的運算興趣，充分調動學生的學習積極性，激發學生的思維創造性，端正學生對待數學運算的態度，帶領學生逐漸地重視運算、不畏運算、熱愛運算.

3.1.1問題激趣，引起學生注意

例如，在引入乘方的運算時，可以拋出一個問題：請從3，4，5中任選2個數字進行運算，最大值是多少？當學生回答4×5=20時，告訴他們還有另外的算法，可以得到更大的數值.學生此時興趣正濃，教師順勢引入冪的概念及簡單運算.課堂小結時再回到這個問題上，學生知道可以利用乘方進行運算，最后運用所學比較計算54與45，得出最大數值是45，等于1024.

3.1.2體驗成功，讓學生愛上運算

“知之者不如好之者，好之者不如樂之者.”持久的動力來自于真正的愛好.教師可以組織一些具體的實踐活動，與學生的日常生活關聯，圍繞教學內容創設各種情境，在情境的幫助下強化學生對算理的認知和理解，有效提高學生運算能力.比如計算衣服的折扣價格、估算水果產量、測量房屋高度、進行研學預算等，讓學生在解決實際問題中體驗成功的樂趣，認識到運算與實際生活密切相關，從而真正愛上運算.在今后的生活中，學生也將下意識地運用運算解決實際問題，強化成功的經驗和運算應用意識，積累豐富的數學活動經驗.

3.2革新運算教學，提升學生的運算認知

運算時用到的概念、公式、定理、法則等基礎知識，對于十二三歲的中學生來講，并不是一聽就會、一點就透的，教師需要革新運算教學，注重運算原理講解，采取多種方法幫助學生理解，提升學生的運算認知.

3.2.1從生活中引入，強化認知理解

學習“點到直線的距離”時，可讓學生回憶運動會中的跳遠成績的測量方法：測量從落地點（點）到起跳板的距離并且要使軟尺垂直于起跳板（直線），而不是測量從落地點（點）到起跳位置（點）的距離.這樣就把“點到直線的距離”和“兩點之間的距離”區分開了.此方法來源于學生生活，學生很容易理解.

3.2.2在操作中理解，促進認知深刻

幾何上的一些概念，可以讓學生動手做一做，試一試.例如在角的平分線與三角形的平分線一課時，讓學生準備一個三角形，然后將一個內角的兩條邊重合，留下的折痕就是這個內角的平分線.分別折出三個內角的平分線，學生會發現這三條折痕交于一點，這個交點就是三角形的內心.講解勾股定理時，讓學生畫幾個直角三角形，然后分別測量三條邊，觀察三條邊的數值之間有什么關系，或者用幾何畫板演示.這些活動使抽象的知識變得直觀形象，更容易給學生留下深刻印象.

3.2.3在方法上指導，提升認知方法

有些公式或定理等基礎知識，不需要讓學生死記硬背，記憶方法有各種妙招，教師可以分享給學生.例如：平方差公式（a+b）（a-b）=a2-b2，可以記為“兩數和乘以這兩數的差，等于這兩數平方差.平方差，就兩項；同號平方減去異號平方”.又如完全平方公式（a±b）2=a2±2ab+b2，可以記為“完全平方有三項，首平方，尾平方，首尾二倍放中央.符號跟著前面跑，同號取正異號負”.這樣用文字語言代替符號語言，學生更易記住.

3.2.4從網絡上借力，豐富認知途徑

豐富多彩的網絡資源也可以為我所用，起到事半功倍的效果.現在有不少自媒體賬號以更直觀的方式演示數學公式定理的推導過程，讓數學知識生動起來.教師可以在課堂上播放這些資源，讓枯燥的推理過程變得有趣，幫助學生理解.除此之外，網絡上還有很多質量很高的數學資源都可供教師借鑒.

3.3豐富運算練習，發展學生的運算思維

“紙上得來終覺淺，絕知此事要躬行.”練就扎實的運算基本功，必須進行大量的練習，方能形成運算技能.只懂得算理和算法，而不進行練習，無異于紙上談兵.只有對學生進行適當的有針對性訓練，多練、巧練、反復練，才能提高學生的解題效率和質量.豐富的運算練習也是發展學生運算思維的捷徑，從不同角度出發探究問題的解答思路，可增強學生思維的靈活性.

3.2.1由易到難，循序漸進

學生運算練習要遵循學習規律，先分別進行單一的運算訓練，夯實基礎，而后提高難度，進行混合運算，學生就能慢慢適應.所謂“小步子快反饋”的教學優勢正在于此.尤其是面對農村的初中學生，更要慢下步子，腳踏實地，穩步推進.此外，教師應精心設置習題，多一些一題多解型的問題，從不同角度出發探究問題的解答思路，有助于學生直觀地比較運算方法之間的區別，發散運算思維，增強思維的靈活性.

3.3.2重點突出，貴在堅持

對于運算中的易錯點，教師應該了然于心，并時常予以強化訓練.比如，學完平方差公式與完全平方公式后，有的學生會出現類似錯誤：（-x+y）（x+y）=x2-y2；（x-y）2=x2-y2.教師除在新授課時強調如何把握公式的結構外，還可以設置相應的習題：①（3x+5）（3x-5）;②（-5+3x）（-5-3x）;③（3x+5）2;④（3x-5）2;⑤（-5-3x）2，讓學生在運算中進行比較、區分.

此外，學生還應堅持天天訓練，每天拿出3分鐘，進行口算比賽、板演算題、小組接龍或者運算小測驗等.學生在比賽中體會競勝的快樂，在小組合作中感受共同進步，在老師的肯定鼓勵中增強信心，自然會對數學運算燃起信心.

3.3.3與時俱進，創新形式

現代多媒體技術的應用，增強了練習趣味性，提高了課堂效率.因此教師也要與時俱進、不斷學習，創新練習的形式.例如利用希沃白板組織課堂活動，軟件里提供了許多課堂活動的模板，如判斷對錯、趣味選擇、知識配對、超級分類、分組競爭等.面對這些新的練習形式，學生都表現出濃厚的練習興趣，教師使用起來也非常方便.

例如學完單項式后，教師可以設計一組習題，幫助學生辨別系數和次數，可以進行“分組競爭”：每組各派出一個代表進行PK，在相同時間答題，得分高者勝利；也可以設計“判斷對錯”活動，讓學生搶答，指出錯誤并改正.

附：單項式系數與次數鞏固練習題：

①-x2y3與x3沒有系數;

②-ab3c2的次數是0+3+2=5;

③2πR2h的系數是2;

④-32x2y3的次數是7;

⑤-a3的系數是-1.

3.3.4及時反饋，以評促學

教師應根據練習的形式，選擇恰當的、多樣的評價方式，及時給學生以正面的鼓勵，如口頭表揚、小組加分、呈現分數、向家長報喜等，提高學生的學習積極性.每到月末進行總結，給予優勝者和進步者適當的獎勵.獎品的具體內容不限，可以向學生征集獎品內容，提高學生的參與熱情.通過及時而有趣的評價活動，充分調動學生參與學習的主動性與積極性.給學生以中肯的評價，有助于學生對自身的學習行為有正確的判斷，從而能夠調節自己的學習行為.

3.4規范運算行為，培養學生的運算習慣

培養學生認真審題、規范解答、嚴謹檢查、及ea8e7081afe11b8017be0c77d7b35494時反思的良好習慣，有利于學生提升運算能力，養成良好的運算習慣.

首先，要認真審題，弄清題目要求.看清數字符號，明確運算順序.看看有無顯性條件或隱含條件，杜絕思維漏洞.其次，要規范解答，保持卷面整潔.規范運算過程，不隨意省略運算步驟.指導學生分區使用草稿紙，不亂寫亂畫.第三，要嚴謹檢查，養成驗算的習慣.這樣能杜絕因粗心導致的錯誤，有助于養成一絲不茍、嚴謹求實的科學態度.第四，要及時反思，養成良好的改錯習慣.學生建立錯題記錄本，集中糾正錯題，并標明錯因.長期積累，保留珍貴的復習資料，發揮錯題的最大作用和價值.學生可以時時翻看，不斷反思，堅持練習，及時改錯，運算錯誤會越來越少.

教師應根據學生的實情，“因材施教”“因人而宜”，選擇適合的方法.根據農村中學的現狀，教師在教學時抓住基礎、穩扎穩打，讓學生認識運算對象、掌握運算形式、理解運算規則，最終算得準、算得快，練就扎實的運算基本功，并能夠在具體情境中運用所學知識主動解決復雜的問題，發展數學思維，構建系統的運算體系.

運算能力的培養不是一蹴而就的.新時代教師不能固步自封、不思進取，也不能好高騖遠、舍本逐末.教師要發揚傳統精華，借鑒現代技術，幫助學生打牢運算基礎、發展運算能力、培養適應終身發展需要的核心素養.

參考文獻

[1]中華人民共和國教育部.義務教育數學課程標準：2022年版[M].北京：北京師范大學出版社，2022：8.

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[3]鄭周明.核心素養視角下初中數學教學中學生運算能力的培養策略分析[J].考試周刊，2020（45）：97-98.

[4]徐旭鵬.核心素養視角下學生運算能力的培養策略分析[J].數理化解題研究，2024（02）：59-61.

作者簡介

于杰民（1976—），男，山東平度人，教育碩士，中學一級教師;主要從事初中數學教學研究.