經(jīng)歷學(xué)習(xí)三個過程發(fā)展教師數(shù)據(jù)觀念

【摘要】通過內(nèi)涵分析獲得一般性行為表現(xiàn)，并促使教師經(jīng)歷數(shù)字特征意義溯源、理解深入、實(shí)踐應(yīng)用等過程，提高“用數(shù)據(jù)”發(fā)現(xiàn)與提出、分析與解決問題的能力，發(fā)展教師數(shù)據(jù)觀念，惠及學(xué)生核心素養(yǎng)培養(yǎng)．

【關(guān)鍵詞】統(tǒng)計與概率；數(shù)據(jù)觀念；學(xué)科實(shí)踐

2022年頒布的《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》（以下簡稱《課標(biāo)（2022年版）》）在“統(tǒng)計與概率”領(lǐng)域發(fā)生了較大變化，提出了更高的要求，旨在進(jìn)一步發(fā)展學(xué)生“數(shù)據(jù)觀念”．然而，由于部分教師本體知識的欠缺，以及對“數(shù)據(jù)觀念”認(rèn)識的不到位，導(dǎo)致在課程實(shí)施過程中出現(xiàn)了一定偏差，統(tǒng)計課逐漸失去了“統(tǒng)計味”．要發(fā)展學(xué)生“數(shù)據(jù)觀念”，前提是提升教師的統(tǒng)計素養(yǎng)．教師應(yīng)加強(qiáng)學(xué)科實(shí)踐，通過經(jīng)歷學(xué)生學(xué)習(xí)的“三個過程”，提高“用數(shù)據(jù)”發(fā)現(xiàn)與提出、分析與解決問題的能力．

1數(shù)據(jù)觀念的內(nèi)涵與表現(xiàn)

《課標(biāo)（2022年版）》對初中階段“數(shù)據(jù)觀念”作如下界定：數(shù)據(jù)觀念主要是指對數(shù)據(jù)的意義和隨機(jī)性有比較清晰的認(rèn)識[1]．首先，具備用數(shù)據(jù)分析問題的意識．?dāng)?shù)據(jù)蘊(yùn)含著信息，但數(shù)據(jù)是否具有統(tǒng)計意義則取決于現(xiàn)實(shí)的問題，不同問題往往需要收集不同的數(shù)據(jù)；其次，掌握用數(shù)據(jù)分析問題的方法．?dāng)?shù)據(jù)分析方法多樣，需要根據(jù)問題背景選擇適切的方法，要抓“主要因素”；第三，建立數(shù)據(jù)隨機(jī)的觀念．一方面，對于同樣的事情，每次收集到的數(shù)據(jù)可能會不同．另一方面，只要有足夠的數(shù)據(jù)就可能從中發(fā)現(xiàn)規(guī)律[2]．然而，現(xiàn)在的教學(xué)更注重學(xué)生統(tǒng)計方法的掌握，對數(shù)據(jù)意識和隨機(jī)觀念有所偏失．

考慮到“數(shù)據(jù)觀念”的內(nèi)涵以及它在培育“三會”過程中的作用，再結(jié)合相關(guān)文獻(xiàn)[3]，我們將其行為表現(xiàn)概括為：在觀察時能“看到數(shù)據(jù)”，在思考時能“用好數(shù)據(jù)”，在表達(dá)時能“借助數(shù)據(jù)”．歸根到底，就是將“數(shù)據(jù)”融入于問題發(fā)現(xiàn)與提出、分析與解決的全過程，從現(xiàn)實(shí)世界中感受“數(shù)據(jù)”的普遍存在與廣泛價值．

“數(shù)據(jù)觀念”絕不僅僅是計算某個統(tǒng)計量、畫一些統(tǒng)計圖表等技能，而是一種需要在親身實(shí)踐中培養(yǎng)出來的感覺，這種“經(jīng)歷、體驗(yàn)、感受”應(yīng)是初中階段統(tǒng)計與概率學(xué)習(xí)的關(guān)鍵．

2數(shù)據(jù)觀念的培養(yǎng)與實(shí)踐

發(fā)展學(xué)生數(shù)據(jù)觀念素養(yǎng)前提是轉(zhuǎn)變教師的觀念，提升教師的素養(yǎng)．而通過“灌輸”的方式試圖讓教師“像科學(xué)家一樣思考”從而形成“科學(xué)頭腦”顯然行不通，教師必須像學(xué)生一樣去經(jīng)歷“理解—關(guān)聯(lián)—創(chuàng)新”這個完整過程，嘗試對數(shù)字特征意義溯源，搞清來龍去脈；理解深入，厘清縱橫聯(lián)系；創(chuàng)新應(yīng)用，加強(qiáng)學(xué)科實(shí)踐，逐漸學(xué)會“用數(shù)據(jù)”觀察、思考和表達(dá)．

2.1在追本溯源中理解統(tǒng)計量的意義

若把統(tǒng)計考題簡單地理解為一道計算題，從而認(rèn)為代入公式進(jìn)行程序化地計算就是全部，忽略其背后豐富的統(tǒng)計思想，這顯然是舍本逐末．計算一個統(tǒng)計量并不是真正目的，開發(fā)、選擇適合的統(tǒng)計量來解決一個實(shí)際問題才有價值．對于一些新的數(shù)字特征，教師理應(yīng)主動嘗試意義溯源，去體會其發(fā)生過程，以2022年浙江省衢州市中考數(shù)學(xué)第21題所提出的“五天滑動平均氣溫”為例．

由于對相關(guān)領(lǐng)域的不熟悉，教師在做完這道統(tǒng)計題之后，會很自然地萌生出一系列問題：命題人是怎么想到利用這樣的背景來命制試題的？一年四季究竟如何劃分？怎么定義春天？為什么要提出5天滑動平均氣溫這個概念？它的優(yōu)勢是什么？還是現(xiàn)在主流的判斷方法嗎？是否需要改進(jìn)？……

永葆好奇心、求知欲，主動參與數(shù)學(xué)探究活動，敢于創(chuàng)新，這都是用數(shù)學(xué)的眼光觀察現(xiàn)實(shí)世界的具體表現(xiàn)．教師應(yīng)主動查閱資料，促使學(xué)習(xí)真正發(fā)生．事實(shí)上，原題中第3小問“某媒體報道：‘夏天姍姍來遲，衢州2022年的春天比去年長．’”可能是命題的“源”，真正體現(xiàn)了數(shù)學(xué)源于生活，更展現(xiàn)了命題人的“數(shù)學(xué)眼光”．劃分四季方法很多，例如天文劃分法、氣象劃分法、節(jié)氣劃分法等，但它們共同的缺點(diǎn)就是全國各地都在同一天進(jìn)入同一個季節(jié)．為了使季節(jié)的劃分更加符合當(dāng)?shù)氐臍夂蛞约吧a(chǎn)生活的需要，張寶堃于1934年提出了“候平均氣溫法”．又為了不人為割裂天氣過程的現(xiàn)象，鐘保粦于1995年提出了試題中所呈現(xiàn)的“5天滑動平均氣溫”的方法，一直沿用至今．

每個統(tǒng)計量都有其內(nèi)在的價值與意義，絕非空穴來風(fēng)，這種刨根問底，追本溯源的精神，可以促使教師更加深入地去理解這些數(shù)字特征，是統(tǒng)計與概率學(xué)習(xí)應(yīng)有的態(tài)度．

2.2在縱橫聯(lián)系中形成結(jié)構(gòu)化的體系

知識學(xué)習(xí)不可能一蹴而就，所以往往是螺旋上升，具有層次性、階段性．但作為教師，應(yīng)站在更高的視角來審視、理解數(shù)學(xué)問題，理清知識發(fā)生發(fā)展的結(jié)構(gòu)，只有觀點(diǎn)高了，事物才能顯得簡單而明了．以平均數(shù)結(jié)構(gòu)化體系的探究為例.

2.2.1本源性探究

算術(shù)平均數(shù)x=1n（x1+x2+…+xn），是將一組數(shù)據(jù)之間的差異抹平后得到的這組數(shù)據(jù)的代表值，因而具有性質(zhì)①：（x1-x）+（x2-x）+…+（xn-x）=0，反映了這組數(shù)據(jù)的集中程度．

“形”的理解[HTSS]亞里斯多德根據(jù)“截長補(bǔ)短”的思想率先嘗試給出平均數(shù)的幾何定義．對于長度分別為a和c（a＞c＞0）的線段，所謂“平均”就是尋找線段b，使得a-b=b-c．

“數(shù)”的意義[HTSS]算術(shù)平均數(shù)還具有如下性質(zhì)②：

∑ni=1（xi-a）2≥∑ni=1（xi-x）2，當(dāng)且僅當(dāng)a=x時，等號成立．

這一性質(zhì)揭示了算術(shù)平均數(shù)是與一組數(shù)據(jù)偏差平方和最小的代表值，即離差平方和最小，同時也說明方差的特殊性．證明過程中用到的平方和分解的方法，在統(tǒng)計分析中應(yīng)用廣泛．若從應(yīng)用的角度看，性質(zhì)②也是最小二乘法估計參數(shù)的原理．由此可見，在義務(wù)教育階段更加重視平均數(shù)的教學(xué)也有道理．

2.2.2加權(quán)性理解

小學(xué)階段的平均數(shù)考察的是“數(shù)據(jù)的大小”對平均數(shù)的影響，那么初中階段的加權(quán)平均數(shù)就是從“數(shù)據(jù)的（相對）多少”這個角度去詮釋平均數(shù)的影響因素．

隨著學(xué)習(xí)的不斷深入，引入隨機(jī)變量之后又會出現(xiàn)“數(shù)學(xué)期望”．對于一組離散型隨機(jī)變量X1，X2，…，Xn，p（X1），p（X2），…，p（Xn）為Xi所對應(yīng)的概率密度函數(shù)，數(shù)學(xué)期望則被定義為E（X）=∑ni=1xipi．若把p（Xi）看成是數(shù)據(jù)Xi出現(xiàn)的頻率f（Xi），則E（X）就可被理解為這組數(shù)據(jù)的加權(quán)平均數(shù)．教師只有理清了平均數(shù)發(fā)展的結(jié)構(gòu)，才能在課堂教學(xué)時更好地突出重點(diǎn)，突破難點(diǎn)．

2.2.3隨機(jī)性滲透

再者，由于現(xiàn)實(shí)世界中許多隨機(jī)現(xiàn)象人們無法掌握全部信息，不能直接進(jìn)行分析，因而需要進(jìn)行隨機(jī)抽樣，故在初中、高中階段，對樣本數(shù)據(jù)的意義和隨機(jī)性的理解，以及統(tǒng)計推斷顯得愈發(fā)重要，要求學(xué)生能利用樣本平均數(shù)去估計總體平均數(shù)．有時還需要根據(jù)頻率分布表或直方圖近似計算平均數(shù)，等等．后期通過概率論的系統(tǒng)學(xué)習(xí)，將進(jìn)一步探索統(tǒng)計背后的機(jī)理，例如大數(shù)定律就嚴(yán)格地描述了樣本均值與總體均值（數(shù)學(xué)期望）的關(guān)系，說明頻率最終會穩(wěn)定到概率．

從本源性探究，到加權(quán)性理解，再到隨機(jī)性滲透，對平均數(shù)這個數(shù)字特征的理解貫穿統(tǒng)計與概率學(xué)習(xí)始終．正如著名統(tǒng)計學(xué)家陳希孺所說，如果我們從理論的角度走一點(diǎn)極端，則可以說，一部數(shù)理統(tǒng)計學(xué)的歷史，就是從縱橫兩個方向?qū)λ阈g(shù)平均數(shù)進(jìn)行不斷深入研究的歷史[4]．反復(fù)迭代，逐步深入，建構(gòu)結(jié)構(gòu)化的知識體系，這也是教師專業(yè)發(fā)展的必經(jīng)之路．

2.3在創(chuàng)新應(yīng)用中提升“用數(shù)據(jù)”的能力

“數(shù)據(jù)觀念”是用數(shù)學(xué)的語言表達(dá)現(xiàn)實(shí)世界的一種具體表現(xiàn)，因此需將新知的學(xué)習(xí)融入于問題解決的過程，在聯(lián)系中嘗試應(yīng)用．教師應(yīng)葆有學(xué)科實(shí)踐的精神，用數(shù)學(xué)家的思維理解、發(fā)現(xiàn)、學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識，以“數(shù)據(jù)分組”為例．

《課標(biāo)（2022年版）》新增“經(jīng)歷數(shù)據(jù)分類的活動，知道按照組內(nèi)離差平方和最小的原則進(jìn)行分類的方法”，指向“數(shù)據(jù)的分類與整理”，并以把我國10個省份依據(jù)人均GDP的多少分為兩組（例85）為例進(jìn)行說明，還建議設(shè)計成一個跨學(xué)科主題式學(xué)習(xí)．那么，教師是否可以先做嘗試呢？

創(chuàng)設(shè)情境：有5個樣品，它們的某個指標(biāo)對應(yīng)的數(shù)據(jù)分別是1，2，4.5，6，8．

聚類是一種最常見的分類分組方式．所謂聚類，就是將研究對象進(jìn)行分類，其核心思想就是每次都把“最接近”的對象聚成一類，依次歸類．若要將5個樣品分為4類，即選擇“最接近”兩個樣品進(jìn)行合并．在一般觀念下，常常會把“絕對值之差（距離）最小”作為度量“遠(yuǎn)近”的標(biāo)準(zhǔn)，于是先將1和2聚成一類{1，2}．

當(dāng)要將樣品分成3類時，教師會產(chǎn)生困惑，因?yàn)椴恢绾稳ザ攘款恵1，2}與其它樣品之間距離，即如何刻畫類Gi與類Gj之間距離Dij．查閱文獻(xiàn)，不難發(fā)現(xiàn)很多定義類間距離的方法：最短距離法、最長距離法、類平均法，等等．由于篇幅，本文僅以“最短距離法：兩類最近樣品（指標(biāo)）的距離，即Dij=min{dkl|k∈Gi，l∈Gj}”為例說明．

定義了類與類距離后，則可以逐步進(jìn)行歸類.

第一步，各自成一類，計算類間（單個樣品之間）的距離，如表2所示：

并記G1={1}，G2={2}，G3={4.5}，G4={6}，G5={8}．

第二步，將距離最近的G1={1}和G2={2}合并得到G6={1，2}．重新計算類間距離，如表3所示：

第三步，將距離最近的G3={4.5}和G4={6}合并得到G7={4.5，6}．重新計算類間距離，如表4所示：

第四步，將距離最近的G7={4.5，6}與G5={8}合并得到G8={4.5，6，8}．重新計算類間距離，如表5所示：

第五步，將G6={1，2}和G8={4.5，6，8}合并成一組．

需要指出的是，計算新類與其它類的距離并不需要每一步都重頭開始，可由產(chǎn)生新類前的距離表方便地遞推得到，于是這個相對繁雜的計算過程就可以通過編程實(shí)現(xiàn)．

在此基礎(chǔ)上，教師就能獲得系統(tǒng)聚類分析的基本思想與步驟：首先定義樣品（指標(biāo)）之間的距離和類與類之間的距離．一開始各自成一類，此時類與類的距離等于樣品之間的距離；然后選擇距離最近的兩類合并，重新計算新類與其它類的距離；重復(fù)上述操作，每次縮小一類，直至所有樣品歸為一類．這個歸類過程可用聚類圖（或稱譜系圖）直觀呈現(xiàn)．

回到《課標(biāo)（2022年版）》中提出的“離差平方和法”，也稱Ward法．若把兩類歸類所增加的離差平方和看成類之間的平方距離，即Dij=S2i+j-S2i-S2j，就可以和上述方法統(tǒng)一起來．如前所述，算術(shù)平均數(shù)具有離差平方和最小性，《課標(biāo)（2022年版）》重點(diǎn)突出這個方法也是順理成章．

定義類與類之間距離的方法很多，不同的方法就會產(chǎn)生不同的聚類分析，也可能會得到不同的分類．在統(tǒng)計的世界里，沒有對和錯，只有好與壞、合適還是不合適，實(shí)踐才是檢驗(yàn)真理的唯一標(biāo)準(zhǔn)．教師在理解、學(xué)習(xí)、探索的過程中，不僅實(shí)現(xiàn)新知的再創(chuàng)造，而且真正提升了“用數(shù)據(jù)”的能力．

3幾點(diǎn)思考

著名統(tǒng)計學(xué)家C.R.Rao曾說：“在終極的分析中，一切知識都是歷史；在抽象的意義下，一切科學(xué)都是數(shù)學(xué)；在理性的世界里，所有的判斷都是統(tǒng)計學(xué).”這表明“數(shù)據(jù)觀念”在現(xiàn)代社會的重要性，它從根本上改變了人們的思維方式．在促使教師形成結(jié)構(gòu)化數(shù)學(xué)知識體系和數(shù)據(jù)觀念的過程中，最重要的是轉(zhuǎn)變教師的觀念和提升教師的能力.教師不僅要擁有用數(shù)據(jù)解決問題的能力，更要有主動嘗試用數(shù)據(jù)解決問題的意識.通過不斷的學(xué)科實(shí)踐，教師能真正理解知識與思想方法的產(chǎn)生與來源、結(jié)構(gòu)與關(guān)聯(lián)、價值與意義．

3.1加強(qiáng)相關(guān)領(lǐng)域的重視程度

“統(tǒng)計與概率”是初中數(shù)學(xué)課程四大領(lǐng)域之一，是發(fā)展學(xué)生數(shù)據(jù)觀念的主要載體．然而，教學(xué)現(xiàn)狀顯示師生對此領(lǐng)域的重視程度與其重要性不匹配．調(diào)研發(fā)現(xiàn)，學(xué)生對某些概念的理解并不到位，數(shù)據(jù)觀念水平也較低．一部分教師認(rèn)為統(tǒng)計與概率的內(nèi)容相對簡單，尤其在評價考試內(nèi)容和形式基本固定的情況下，學(xué)生只需投入較少時間和精力就能取得高分.另一部分教師認(rèn)為統(tǒng)計與概率“高深莫測”，自身對某些知識的理解存在困難，因此在課堂教學(xué)中只能淺嘗輒止．實(shí)際上，對于統(tǒng)計與概率的教學(xué)，最亟需轉(zhuǎn)變的是教師的觀念．教師應(yīng)在核心素養(yǎng)導(dǎo)向的課程目標(biāo)下重新審視相關(guān)內(nèi)容，更深入地理解數(shù)據(jù)觀念的內(nèi)涵，探究本領(lǐng)域的核心知識與基本思想方法，以更有效地促進(jìn)學(xué)生學(xué)習(xí)和培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)據(jù)觀念．

3.2加強(qiáng)實(shí)踐活動的創(chuàng)新體驗(yàn)

數(shù)據(jù)觀念的核心是在現(xiàn)實(shí)情境中“看到數(shù)據(jù)”“用好數(shù)據(jù)”，然后“借助數(shù)據(jù)”理解并表達(dá)隨機(jī)事件發(fā)生的規(guī)律．因此，統(tǒng)計與概率的學(xué)習(xí)需要融入豐富多彩的實(shí)踐活動之中．然而，由于教學(xué)時間和空間的限制，教師在實(shí)際教學(xué)中往往采用講授法來代替學(xué)生的動手實(shí)踐，且即使組織活動，也常創(chuàng)設(shè)與學(xué)生生活脫節(jié)的問題情境．教師應(yīng)先身體力行，言傳身教，率先經(jīng)歷學(xué)生的學(xué)習(xí)過程．在素材選擇上，可以嘗試對具有現(xiàn)實(shí)意義的數(shù)字特征進(jìn)行溯源，如2022年浙江省衢州市中考數(shù)學(xué)第21題所提出的“五天滑動平均氣溫”，這不僅能鞏固和補(bǔ)充現(xiàn)有知識，還能激發(fā)學(xué)習(xí)興趣，提升教師“看到數(shù)據(jù)”的意識．在知識理解上，教師可以聚焦于某一個或幾個統(tǒng)計量進(jìn)行深入探究，從統(tǒng)計與概率整個領(lǐng)域的視角出發(fā)，在縱橫聯(lián)系中體會核心知識和基本思想方法，“理解數(shù)據(jù)”并能“用好數(shù)據(jù)”．在方法應(yīng)用上，根據(jù)《課標(biāo)（2022年版）》提出的要求，創(chuàng)設(shè)相應(yīng)的項目學(xué)習(xí)活動，促使學(xué)生經(jīng)歷較為完整的探究活動，在創(chuàng)新體驗(yàn)中形成正確的數(shù)據(jù)觀念．

參考文獻(xiàn)

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作者簡介

楊燦權(quán)（1990—），男，浙江杭州人，中學(xué)一級教師，杭州市教壇新秀；多次開設(shè)省市級公開課和講座;主要研究中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)，發(fā)表論文多篇．