數(shù)形互助 系統(tǒng)結構 思想融通

【摘要】立足教材給定的小結內容與課標的相應定位，通過“以數(shù)解形，聚數(shù)成勢”“以形助數(shù)，為數(shù)賦能”“融會貫通，數(shù)往知來”“盤點收獲，數(shù)不勝數(shù)”“知識建構，數(shù)向未來”等五個教學環(huán)節(jié)，經(jīng)過反思，提出了“數(shù)形互助，化難為易”“題組搭臺，運算唱戲”“明暗相合，拔節(jié)生長”三個觀點．

【關鍵詞】實數(shù)；數(shù)形結合；小結課；知識結構．

《義務教育數(shù)學課程標準（2022年版）》（以下簡稱《課標（2022年版）》）在課程實施中指出：為實現(xiàn)核心素養(yǎng)導向的教學目標，不僅要整體把握教學內容之間的關聯(lián)，還要把握教學內容主線與相應核心素養(yǎng)發(fā)展之間的關聯(lián)．義務教育階段初中數(shù)學內容主要分為：數(shù)與代數(shù)、空間與幾何、統(tǒng)計與概率、綜合與實踐四大領域．四大領域編排順序呈螺旋上升的趨勢，幾何與代數(shù)知識穿插進行，各部分內容既相互獨立又有著千絲萬縷的聯(lián)系．基于大單元整體教學思考發(fā)現(xiàn)每個領域的知識都是沿著一條主線不斷生長起來的，恰如郭玉峰教授所言“數(shù)學的整體性和聯(lián)系性，是由數(shù)學學科特點決定的”[1]．因此在教學時要立足教材及數(shù)學學科自身的整體性，把握好知識生長的主線，讓學生整體建構相關領域的知識體系，發(fā)展學生核心素養(yǎng)．筆者以“實數(shù)”小結課為例，與各位同仁交流．

1研教材，明方向

本章是人教版七年級下冊第六章內容，是繼學生學習了有理數(shù)之后的又一類數(shù)，屬于“數(shù)與代數(shù)”范疇．本章內容比較零散、抽象，概念相對較多，主要包括平方根、算術平方根、立方根概念及性質；實數(shù)概念、分類、運算及在數(shù)軸上表示；近似數(shù)及估算等知識．面對以概念為主且抽象的數(shù)系知識，教師更應關注知識的整體性，抓住知識的生長點，形成知識生長線，將零散的知識串成串，結成塊，整體把握知識結構，通過數(shù)形結合等數(shù)學思想方法滲透，使抽象概念知識的學習變得順其自然，水到渠成．本節(jié)課以問題情境創(chuàng)設為引擎，以數(shù)軸為載體，低起點切入，學生經(jīng)歷數(shù)及運算的發(fā)展歷程，使抽象知識具象化，發(fā)展學生的數(shù)學思維．

2依課標，定目標

根據(jù)新課標對實數(shù)部分內容要求、教學建議等，結合小結課的功能定位，確定本節(jié)的復習目標為：

（1）通過解決以正方體為背景的問題，再次歷經(jīng)數(shù)及數(shù)的運算的生長與發(fā)展過程，建構實數(shù)知識框圖，體會數(shù)系擴充的必要性，發(fā)展q640bw8XIn17dAP0yGOdrdISmD9r/Ukp9VLz0EPsZWw=整體性思維．

（2）通過數(shù)形結合等數(shù)學思想方法的運用，進一步理解算術平方根、平方根、立方根、實數(shù)等概念，性質及相關運算，提高運算、抽象、邏輯推理能力，發(fā)展批判性思維和創(chuàng)造性思維能力．

3展過程，強建構

環(huán)節(jié)一以數(shù)解形，聚數(shù)成勢

問題1：如圖１，正方體的棱長、表面積、體積，三個量知一可求其二，請給其中一個量賦予具體數(shù)值，求另外兩個量.

學生1：棱長賦值為2，則表面積為22=4，4×6=24，體積為23=8．

學生2：體積賦值為27，則棱長也就是求27的立方根，即327=3，表面積為32×6=54．

教師借此追問什么是立方根，相關性質有哪些？并板書．

學生3：表面積賦值為36，則棱長為36÷6=6，然后求6的算術平方根，即為6，體積為（6）3=66.

教師追問：什么是算術平方根？學過算術平方根的哪些相關知識？并板書．

教師引導學生觀察第一位同學舉出的例子22=4，23=8.如果不考慮實際意義，除了22=4，還有（－2）2=4，從而得出平方根的定義，±4=±2.由23=8，得出立方根的定義，38=2．

通過這兩個例子進一步體會乘方與開方是互逆運算，繼續(xù)追問：還有哪些運算是互逆運算？得出加與減，乘與除兩組互逆運算．再追問：請對以上寫出的數(shù)進行分類？從而得到有理數(shù)與無理數(shù)的概念，深化對無理數(shù)的認識，至此數(shù)系由有理數(shù)擴充到實數(shù)范圍，得到實數(shù)概念，初步形成本章知識框圖（圖2）．

設計意圖小問題大作用．本環(huán)節(jié)充分考慮學生認知起點，以學生熟悉的正方體為載體，借助圖形低起點切入，在教師追問中建構算術平方根、平方根、立方根及實數(shù)等概念，明晰它們之間的關系，抽象的概念借助圖形實現(xiàn)具象化，使得無理數(shù)的出現(xiàn)變得順乎其然，進一步感受數(shù)系擴充是實際生活、生產(chǎn)以及數(shù)學內部發(fā)展的需要，體會知識的生長過程，進而勾勒出初中階段實數(shù)全貌，聚數(shù)成勢．同時在問題解決過程中體會乘方與開方之間的互逆關系，發(fā)展學生的逆向思維，感受數(shù)學中的某些規(guī)則同生活中的規(guī)則一樣，往往具有一致性、相容性、和諧性．

環(huán)節(jié)二以形助數(shù)，為數(shù)賦能

本環(huán)節(jié)類比有理數(shù)的研究路徑對實數(shù)的定義、性質、運算及應用進行總結復習．

問題2：請在邊長為1的小正方形網(wǎng)格中畫出面積為2的格點正方形（圖3），求正方形的邊長．

問題解決1：請沿網(wǎng)格線在適當位置作數(shù)軸，并標出2和-2的位置.

學生能夠正確畫出面積為2的格點正方形．教師可追問：為什么這樣畫出的正方形面積為2？邊長怎樣求？設正方形邊長為x，則x2=2，得x=2．學生通過作圖啟發(fā)，面積為2的正方形的邊長就表示2的大小，然后沿著網(wǎng)格線在適當位置建立數(shù)軸，以原點為圓心以正方形的邊長為半徑分別向右，向左畫弧，與數(shù)軸的交點即為2和-2的位置，從而得出實數(shù)a的相反數(shù)為-a．教師進一步舉例其它無理數(shù)也可在數(shù)軸上表示，體會實數(shù)與數(shù)軸上的點是一一對應的重要結論．

設計意圖著名數(shù)學家華羅庚說過：數(shù)缺形時少直觀，形少數(shù)時難入微．通過讓學生親身經(jīng)歷畫出面積為2的正方形，求出正方形邊長為2，然后借助數(shù)軸找到無理數(shù)2和-2的位置的過程，學生感受無理數(shù)也可以用數(shù)軸上的點來表示，進而得到數(shù)軸上的點與實數(shù)一一對應關系，并在教師的追問中得到實數(shù)相關性質．本環(huán)節(jié)以數(shù)軸為載體，將數(shù)與形融為一體，幫助學生更好的理解無理數(shù)及實數(shù)概念，體會數(shù)軸是學習代數(shù)知識必不可少的工具之一，數(shù)形結合思想在代數(shù)知識學習中起著舉足輕重的作用，培養(yǎng)了學生幾何直觀、抽象能力、應用意識，發(fā)展學生的批判性思維和創(chuàng)造性思維．

問題解決2：以2點為圓心，以2為半徑向左畫弧，交數(shù)軸與點M，設M點表示的數(shù)為m，如圖4，則m= ．

（1）請比較m與-1的大小；

（2）求m+1+m－1的值．

借助數(shù)軸知識能夠直接表示出m=2-2，第1題比較2-2與-1的大小，具體方法有兩種（1）通過觀察數(shù)軸看出m點在-1的右邊，從而得到2-2>-1．（2）可通過估算方法，首先確定2在哪兩個整數(shù)之間，進一步確定2-2范圍，得出2-2>-1．第2題是實數(shù)范圍內絕對值的化簡問題，具體方法有三種：（1）通過觀察數(shù)軸得到m+1為正實數(shù)，正實數(shù)的絕對值為本身；m-1為負實數(shù)，負實數(shù)的絕對值為其相反數(shù)，即1-m，化簡結果為2;（2）亦可把2-2代入后進行計算并化簡;（3）利用絕對值的意義進行化簡，m+1+m－1表示m到-1與m到1的距離之和，通過觀察數(shù)軸得到它們的和為2．

設計意圖本環(huán)節(jié)看似只有兩個簡單的問題，卻承載著多個新舊知識點，其中問題背景中通過尺規(guī)作圖找到2-2位置，學生再次體會到無理數(shù)也能在數(shù)軸上表示，同時點M也可從運動觀點看作是由2向左移動2個單位到2-2位置，為下一個環(huán)節(jié)作鋪墊．第1題比較大小中方法1目的是讓學生體會實數(shù)范圍內數(shù)的大小比較也可借助數(shù)軸進行比較，實數(shù)大小的比較與有理數(shù)大小比較方法是相通的;方法2對于無理數(shù)大小的比較可通過估算的方法確定．第2題方法1通過數(shù)形結合方式進行絕對值化簡；方法2通過代入運算確定絕對值內數(shù)的正負，然后進行化簡；方法3根據(jù)絕對值的意義進行化簡，體會到實數(shù)范圍內絕對值的化簡方法與有理數(shù)范圍內是一致的．每個問題雖有不同方法，但將數(shù)與形結合使代數(shù)知識變得更加立體，更加形象直觀，易于理解，多種方法的加持使學生思維得以發(fā)展．

問題解決3：在問題解決2的基礎上，通過線動成面，面動成體分別得到長方形和長方體（圖5）．

（1）求長方形AMBC的面積；

（2）求長方體的表面積．

由上一題可知AM的長為2，又知寬為2，則長方形面積為2×2=22．教師追問，若已知A表示2，M表示2-2，如何求AM長？AM=2-（2-2）=2，進一步體會實數(shù)范圍內數(shù)軸上兩點之間線段長仍可用大數(shù)減小數(shù)求得．第2題長方體的表面積為22×2+22×2+（2）2×2=42+42+4=82+4．追問：（2）2為什么等于2？42+42=82依據(jù)是什么？與我們學習的整式運算有什么相似地方？學生進一步深化對算術平方根概念的理解，體會加法和乘法運算律在實數(shù)范圍內仍然成立．

設計意圖承接上一環(huán)節(jié)從運動的角度得到長方形和長方體，借助兩個幾何圖形，對實數(shù)的運算進行復習．其中問題1主要體現(xiàn)實數(shù)的乘法運算，問題2是乘方、乘法以及加法混合運算，借助教師的追問學生進一步體會到在實數(shù)范圍內數(shù)的運算順序以及運算律仍成立．通過42+42=82，說明數(shù)的合并與整式中合并同類項是一致的，體現(xiàn)了數(shù)式通性，為二次根式的學習埋下伏筆，發(fā)展學生推理能力和運算能力．

問題3：如圖6，數(shù)軸上有C，D兩點分別表示實數(shù)c和d，且2c+6與d－4互為相反數(shù)，求2c+3d的平方根和立方根．

因2c+6與d－4互為相反數(shù)，可得2c+6+d－4=0，若學生不能夠求出c和d時，教師追問：一個數(shù)的絕對值是什么數(shù)？d－4表示的意義是什么？從而幫助學生求出c和d的值．

設計意圖再次借助數(shù)軸對實數(shù)范圍內絕對值的非負性及a的雙重非負性等知識進行復習，讓學生深刻理解算術平方根的概念，為二次根式相關性質學習奠定基礎．

環(huán)節(jié)三融會貫通，數(shù)往知來

問題4：已知（x－1）2=4，求x的值．

變式：請仿照以上題目編一道能用直接開立方求解的方程，并解方程．

問題5：若an=b（a>0且a≠0，b>0），則n叫做以a為底b的對數(shù)，記為logab（即logab=n），如25=32，則5叫做以2為底的32對數(shù)，記為log232（即log232=5），根據(jù)以上運算規(guī)則，log381= ．

對問題4，學生根據(jù)平方根的定義，可知x－1=±4，x－1=±2，從而得到x=3或x=－1．變式訓練中學生仿照問題3能夠編出如（x－1）3=1形式的方程，并利用立方根相關知識快速求解．對問題5，學生通過閱讀能夠理解log381，也就是已知底數(shù)為3，冪為81時，求指數(shù).答案為4．

設計意圖問題4使學生體會從有理數(shù)擴充到實數(shù)不單是生產(chǎn)生活的需要，同時也是數(shù)學知識內部生長的需要，為一元二次方程和一元三次方程的解法——直接開平方、開立方法解方程提供依據(jù)．問題5對數(shù)問題體現(xiàn)了與高中知識的銜接，乘方是已知底數(shù)和指數(shù)求冪，方根是已知指數(shù)和冪求底數(shù)，而對數(shù)是已知底數(shù)和冪求指數(shù)，通過此問題進一步明確了三個量底數(shù)、指數(shù)、冪之間的內在關系，是對逆運算的完善，為相關知識研究提供思路，引導學生用發(fā)展的眼光學數(shù)學．兩個問題通過遷移學生已有知識經(jīng)驗和技能，在舉一反三、類比推理中逐步建構新知，完善數(shù)系結構，并通過回顧反思進一步強化遷移學習的基本經(jīng)驗，提高學生高階學習能力[2]．

環(huán)節(jié)四：盤點收獲，數(shù)不勝數(shù)

引導學生從以下幾個方面進行總結：

（1）你掌握了哪些知識（基礎知識）？

（2）你學會了哪些解題方法（基本技能）？

（3）你運用了哪些數(shù)學思想（基本思想）？

（4）你總結了哪些復習經(jīng)驗（基本活動經(jīng)驗）？

（5）還有什么感悟和思考？

設計意圖新課標指出，核心素養(yǎng)導向的教學目標是對“四基”“四能”教學目標的繼承和發(fā)展，“四基”“四能”是發(fā)展學生核心素養(yǎng)的有效載體．基于此本節(jié)課歸納總結最終落腳在四基上，其中問題1和2主要對應本節(jié)課的目標1，問題3和4主要對應目標2，問題5是引導學生進行拓展延伸，五個問題體現(xiàn)了教學評的一體化，可有效促進學生核心素養(yǎng)的發(fā)展．

環(huán)節(jié)五：知識建構，數(shù)向未來

（1）隨著教學推進，形成本章的知識結構圖，如圖7．

（2）播放數(shù)系擴充歷程小視頻（略）．

設計意圖大單元整體觀下的章單元復習，不僅要關注不同知識點之間的縱橫關聯(lián)，更要強調知識的整體性、思想方法的一致性．基于此，本環(huán)節(jié)用整體結構圖統(tǒng)攝，全景展示初中階段實數(shù)知識結構脈絡，并通過實數(shù)的擴充以及實數(shù)研究路徑把整個章節(jié)貫通起來，形成前銜后含的單元，讓學生既見木又見林，便于后續(xù)知識的有序開展．為幫助學生進一步完善數(shù)系知識的整體建構，了解數(shù)系的生長擴充過程，為高中知識的學習埋下伏筆，在本節(jié)課最后通過播放小視頻方式讓學生了解數(shù)系擴充到實數(shù)之后，隨著生產(chǎn)生活的需要再次擴充，產(chǎn)生虛數(shù)，數(shù)系從實數(shù)擴充到復數(shù)域，實現(xiàn)小初高知識貫通整合，引領學生用數(shù)學的思維思考現(xiàn)實世界．

4勤反思，促成長

4.1數(shù)形互助，化難為易

我國著名數(shù)學家華羅庚曾說過：“數(shù)形結合百般好，隔離分家萬事休.”數(shù)形結合思想的運用可以使某些抽象問題變得直觀化、形象化，能夠將抽象思維化為形象思維，有助于學生把握數(shù)學問題的本質．本章主要是相關概念學習，而數(shù)與代數(shù)部分的概念無疑是抽象的、難以理解的，本節(jié)小結課首先以正方體為載體，縱橫串起實數(shù)一章的相關概念，建構起了整個實數(shù)知識體系，這種以“數(shù)”輔“形”形式，將抽象的“數(shù)”形象化、立體化，深化學生對概念的理解．其次以數(shù)軸為媒介，對實數(shù)的性質、運算以及應用進行復習，通過以“形”助“數(shù)”形式，進一步使“數(shù)”的知識直觀化，激發(fā)學生學習數(shù)系知識的興趣．本節(jié)課通過數(shù)形結合思想將抽象的實數(shù)知識具象化，讓知識有了落腳點，數(shù)與形的融合將數(shù)系知識化難為易，提高了學生復習數(shù)與代數(shù)知識的學習力，培養(yǎng)了學生的抽象能力、運算能力以及幾何直觀，實現(xiàn)了學生思維由低階到高階的轉變．

4.2題組搭臺，運算唱戲

小結課是對整章內容進行再次整體認知，加固并重構已有知識結構，多角度形成對本章“終端”認知的過程．本節(jié)課第一大環(huán)節(jié)通過以實際問題為背景的題組（追問形式呈現(xiàn)）為載體，圍繞學生學過的正方體的表面積、體積，深化本章相關概念，體會乘方與開方互逆關系，感受數(shù)系擴充的必要性．第二大環(huán)節(jié)以數(shù)軸為載體設置題組練習，類比有理數(shù)研究路徑對實數(shù)定義、相關性質、運算、應用四個方面進行復習．在復習過程中始終遵循以生為本，順生而學，抓住知識的生成與生長，最終形成實數(shù)知識框架，建立起六種運算認知結構的“承重墻”，在知識線整體生長的結構化過程中，整體地學、聯(lián)系地學，進而形成知法明理的運算大概念．

4.3明暗相合，拔節(jié)生長

本節(jié)課學習主要抓住兩條線．其一是運算發(fā)展明線：本節(jié)課的學習下接起小學學習的加法、減法、乘法、除法運算，平轉承初中學習的乘方和開方運算，上通達高中將要學習的“對數(shù)”運算，這條運算主線分散于三個學段不同的章節(jié)中，使得學生學習數(shù)與代數(shù)部分的知識呈現(xiàn)碎片狀，本節(jié)課作為中程章節(jié)發(fā)揮了前承后銜的作用，將運算貫通起來．其二是思想發(fā)展暗線：本節(jié)課始終抓住數(shù)形結合思想，通過正方體和數(shù)軸兩個載體將本章知識進行串聯(lián)，融通了整個知識結構，使得抽象的概念學習立體化、形象化．基于大單元整體教學的思考，作為小結課需要讓這明暗兩條線交互融匯，相輔相成，讓學生通過問題鏈的引思以感受知識的生成、生長和發(fā)展，融通了知識脈絡與方法架構，讓知識整體化、結構化，有效降低了學生的認知負荷，不僅便于更長久保存信息，還能促使學生深度理解概念，提振信心，提質增效，進而促進學習能力的提升．

參考文獻

[1]郭玉峰.關注數(shù)學的整體性和關聯(lián)性[J].數(shù)學通報，2024，63（03）：1-5.

[2]顧曉東. 基于高階思維的數(shù)學學習活動設計策略[J].教學與管理，2019（14）：46-48.

作者簡介

王偉燕（1984—），女，山東陽信人，中學高級教師，濱州市名師，濱州市教學能手，濱州市優(yōu)質課一等獎得主;主要研究方向是課堂教學及其研究．

邢成云（1968—），男，山東無棣人，中學正高級教師（二級教授），國家“萬人計劃”教學名師，齊魯名師，山東省特級教師;主要研究方向是課堂教學及其理論研究．