改進(jìn)綜合實踐活動培養(yǎng)數(shù)學(xué)關(guān)鍵能力

【摘要】綜合與實踐是教學(xué)改革中教師要直面的新課題，教學(xué)過程中出現(xiàn)表層化困境.用好教材中的素材，對教材的內(nèi)容進(jìn)行教學(xué)改進(jìn)，更深入開展綜合與實踐活動，遵循學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律，能促進(jìn)學(xué)生思維螺旋式上升，培養(yǎng)學(xué)生關(guān)鍵能力.

【關(guān)鍵詞】綜合與實踐;硬幣滾動;數(shù)學(xué)實驗;關(guān)鍵能力

1問題的提出

義務(wù)教育階段，數(shù)學(xué)課程內(nèi)容包括四大領(lǐng)域，即數(shù)與代數(shù)、圖形與幾何、統(tǒng)計與概率、綜合與實踐.這四大領(lǐng)域中，綜合與實踐的開展出現(xiàn)表層化困境.出現(xiàn)這一困境，究其原因在于學(xué)科課程至上傾向、普適性目標(biāo)取向、課程統(tǒng)整意識欠缺、忽視課程評價的作用[1].綜合與實踐的教學(xué)應(yīng)適當(dāng)采用項目式學(xué)習(xí)的方式，設(shè)計情境真實、較為復(fù)雜的問題，引導(dǎo)學(xué)生綜合運用數(shù)學(xué)學(xué)科知識和跨學(xué)科的知識與方法解決問題[2]16.

數(shù)學(xué)綜合與實踐是教學(xué)改革中教師要直面的新課題，要關(guān)注情境的真實性、要關(guān)注素材的學(xué)科性、要關(guān)注問題解決過程的合理性，從而突顯立德樹人的價值.本研究通過“硬幣滾動中的數(shù)學(xué)”項目式學(xué)習(xí)的教學(xué)改進(jìn)，闡述培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)關(guān)鍵能力的實踐與思考.

2“硬幣滾動中的數(shù)學(xué)”教學(xué)改進(jìn)

數(shù)學(xué)教科書“綜合與實踐”活動的3個關(guān)鍵特征為綜合性、實踐性、開放性[3].這表明綜合與實踐活動知識要有層次性、內(nèi)容要有別于教材、活動要跳出課堂.在設(shè)計上要有基于知識又超越知識的目標(biāo)追求、基于教材又超越教材的活動內(nèi)容、基于課堂又超越課堂的活動過程[4].

案例素材華師大版九年級下冊綜合與實踐.

如圖1，如果將兩枚同樣大小的硬幣放在桌上，固定其中一個，而另一個沿著其邊緣滾動一周，這時滾動的硬幣滾動了多少圈呢？似乎也是一圈？你不妨動手實驗一下.你可能會發(fā)現(xiàn)此時實際上滾動了兩圈.嗨！怎么不一樣了？

這是什么原因呢？仔細(xì)想想，就清楚了.原來那個滾動的硬幣的

圓心移動的距離是4πr，而沿著直線滾動時圓心移動的距離還是2πr.圖1現(xiàn)在請你與你的同伴一起，重復(fù)以上實驗，并嘗試做一些新的實驗，看看這里隱含著什么樣的數(shù)學(xué)規(guī)律.

2.1教學(xué)改進(jìn)之一：硬幣在直線上運動

2.1.1創(chuàng)設(shè)情境，引發(fā)認(rèn)知沖突.

教師拿出兩枚硬幣并提出問題：將兩枚同樣大小的硬幣放在桌上，固定其中一個，另一個沿著其邊緣滑動一周，這時滾動的硬幣滾動了多少圈呢？

受制于教材編寫的需要，“案例素材”把學(xué)生必需經(jīng)歷的“關(guān)鍵”探索過程直白告知學(xué)生，使學(xué)生的認(rèn)知沖突變淡了，加上知識的跳躍性比較大，這就考驗教師處理教材的能力，即如何引導(dǎo)學(xué)生“用數(shù)學(xué)的眼光觀察世界”.

學(xué)生在課堂發(fā)生了爭論，有的學(xué)生說是一圈，有的學(xué)生說是兩圈.

2.1.2實驗操作，驗證猜想結(jié)論.

師：既然大家意見不統(tǒng)一，請大家把準(zhǔn)備好的兩枚硬幣拿出來，動手演示，看看結(jié)果如何.

全班氣氛馬上活躍起來，學(xué)生動手操作，得出了比較一致的結(jié)論.

生：兩圈.

師：明明是在圓周上滾動一圈，為什么轉(zhuǎn)動的圈數(shù)是兩圈呢？

教師引導(dǎo)學(xué)生提出問題：硬幣在圓周上滾動，轉(zhuǎn)過的圈數(shù)由什么決定？

2.1.3過程剖析，得到關(guān)鍵結(jié)論.

如何計算硬幣滾動的距離具有重要的教學(xué)價值.

引導(dǎo)學(xué)生觀察：滾動的硬幣圓心起什么作用？

師：如圖2，將一枚半徑為r的硬幣沿直線滾動一圈，硬幣滾動的距離是多少？

生：等于圓的周長2 πr.

師：為什么？

生：圓周上任意一點滾動一周的距離，等于圓的周長.

師：大家觀察一下，圓心在這個運動過程中，運動的路徑是什么？運動距離等于多少？

生：圓心運動的路徑是線段，因為四邊形ABO′O是矩形，所以AB=OO′，即硬幣滾動時，圓心經(jīng)過的路徑長等于硬幣滾動的距離.

找到解決問題的關(guān)鍵：硬幣在直線上滾動，硬幣滾動的距離等于圓心經(jīng)過的路徑長.

師：反過來，當(dāng)一枚半徑為r的硬幣，在長為a的線段AB上從A點滾動到點B時，需滾動多少圈？

生：a2πr圈.

現(xiàn)實背景中，要計算“硬幣滾動的距離”比較困難，幫助學(xué)生在實際情境中發(fā)現(xiàn)和提出有意義的數(shù)學(xué)問題，轉(zhuǎn)化為“圓心移動的路徑長”進(jìn)行數(shù)學(xué)探究，就找到問題的關(guān)鍵，為解決上述問題找到“鑰匙”.

2.2教學(xué)改進(jìn)之二：硬幣在折線上運動

2.2.1直折結(jié)合，進(jìn)行簡單抽象.

引導(dǎo)學(xué)生循序漸進(jìn)，運用從特殊到一般的思想，用數(shù)學(xué)的思維思考世界.

師：如圖3，若線段AB長為a，點C為線段AB上任意一點，在C處將線段AB折成直角，這時這枚半徑為r的硬幣從點A滾動到點B需多少圈？

學(xué)生解決硬幣在直線上滾動的問題后，繼續(xù)引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題、提出問題：如果硬幣不是在直線上滾動，而是在折線上滾動，硬幣滾動了多少圈？滾動的路徑長又如何計算？

2.2.2辨析問題，從特殊到一般.

留下足夠的時間，引導(dǎo)學(xué)生在真實情境中發(fā)現(xiàn)問題和提出問題，利用觀察、猜測、實驗、計算、推理、驗證、數(shù)據(jù)分析等方法分析問題和解決問題，從而培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)關(guān)鍵能力.

生1：a2πr圈.

生2：不對，a2πr+14圈.

師：為什么？

生2：因為∠ECF=90°，所以圓心滾動的路徑比直線段增加了90360·2πr=12πr的弧長，所以滾動了a+12πr2πr=a2πr+14圈.

師：如圖4，若線段AB長為a，點C為線段AB上任一點，在C處將線段AB折成∠ACB=α，這時這枚半徑為r的硬幣從點A滾動到點B需多少圈？

生：因為∠ECF=（180－α）°，所以圓心滾動的路徑比直線增加了180－α360·2πr=1－α180πr，所以滾動了a+1－α180πr2πr=a2πr+180－α360圈.

圓在折線上滾動，把圓心運動的路徑，分解成圓在線段上和圓繞折角頂點滾動的路徑，這就是“會用數(shù)學(xué)思維思考世界”的體現(xiàn).

2.3教學(xué)改進(jìn)之三：硬幣在多邊形外側(cè)滾動

師：以上的研究都是硬幣在線段和折線上運動，本案例中硬幣在封閉的圖形中滾動，怎么把折線變成封閉圖形？

生：如果折線經(jīng)過多次彎折，就可能使圖形封閉成三角形、四邊形或n邊形.

師：如圖5，若一個三角形的周長為a，這枚硬幣沿三角形的外側(cè)滾動一周需轉(zhuǎn)多少圈？

師：如圖6，若一個四邊形的周長為a，這枚硬幣沿四邊形的外側(cè)滾動一周需轉(zhuǎn)多少圈？

師：如圖7，若一個n邊形的周長為a，這枚硬幣沿n邊形的外側(cè)滾動一周需轉(zhuǎn)多少圈？

生：不管是三角形、四邊形、還是n邊形，多邊形外角增加的圓弧的圓心角為180n－180（n－2）=360°，即增加的圓弧長為2πr，所以轉(zhuǎn)的圈數(shù)為a+2πr2πr=a2πr+1圈.

當(dāng)圓在多邊形外側(cè)邊緣滾動時，把圓心經(jīng)過的路徑進(jìn)行分解，從而回歸簡化模型.這種思維是自然而然、合乎邏輯發(fā)生的，不是教師強加給學(xué)生，而是學(xué)生在教師的啟發(fā)下“會用數(shù)學(xué)思維思考世界”.

2.4教學(xué)改進(jìn)之四：硬幣在圓周外側(cè)滾動

通過前面的探究，基本可以達(dá)成以下三點共識：

第一，硬幣在直線、折線和多邊形外側(cè)滾動，滾動的距離等于圓心經(jīng)過的路徑長.

第二，圓在多邊形上滾動，可以分解成圓在線段上滾動和繞頂點滾動，每一個折線處的軌跡是圓弧，每一個折角處的度數(shù)之和等于360°.

第三，把多邊形的邊數(shù)無限增加，多邊形就會無限接近于一個圓.

師：前面所提出的兩個硬幣轉(zhuǎn)多少圈的問題能否解決？可以嘗試?yán)脴O限思想.

生：如圖8，移動的硬幣圓心的路徑是以點O為圓心，半徑等于原來半徑的兩倍的圓周上，此時，圓心經(jīng)過的路徑長是硬幣周長的兩倍，所以移動的硬幣轉(zhuǎn)了兩圈.

至此，問題得到解決.通過綜合與實踐，學(xué)生在教師的啟發(fā)和引導(dǎo)下，探究出事物運動的一般規(guī)律，培養(yǎng)了學(xué)生“用數(shù)學(xué)的語言表達(dá)現(xiàn)實世界”.

2.5教學(xué)改進(jìn)之五：硬幣在多個圓周外側(cè)滾動

創(chuàng)設(shè)相同或相似的問題，讓學(xué)生通過知識遷移解決問題.

如圖9，將一枚半徑為r的硬幣沿著另一枚半徑為2r的硬幣的邊緣滾動一周，這時滾動的硬幣滾動多少圈？

如圖10，將4枚相同硬幣擺放在桌上，固定1，2，3枚，讓第4枚沿它們的邊緣從圓O滾動到圓O′的位置，這枚硬幣滾動多少圈？

“綜合與實踐”的教學(xué)，不要過于急“趕”進(jìn)度，而是要引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷解決問題的活動過程，這樣所能起到的效果，一定也不亞于教師的講解[5]．在“硬幣滾動中的數(shù)學(xué)”的教學(xué)中，學(xué)生經(jīng)歷了完整的解決問題的活動過程（圖11）.

本案例高度契合《新課標(biāo)》中新增的“學(xué)業(yè)質(zhì)量”內(nèi)涵的描述.以結(jié)構(gòu)化數(shù)學(xué)知識主題為載體，讓學(xué)生形成抽象能力、推理能力、運算能力、幾何直觀和空間觀念等.；第二，從符合學(xué)生認(rèn)知發(fā)展規(guī)律的、熟悉的數(shù)學(xué)情境中，形成模型觀念、數(shù)據(jù)觀念、應(yīng)用意識和創(chuàng)新意識等；第三，學(xué)生經(jīng)歷數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)運用、實踐探索活動的經(jīng)驗積累，初步養(yǎng)成獨立思考、探究質(zhì)疑、合作交流等學(xué)習(xí)習(xí)慣，初步形成自我反思的意識[2].

3改進(jìn)綜合與實踐、培養(yǎng)關(guān)鍵能力的幾點思考

尋找綜合與實踐方面的素材不易，不要輕易舍棄教材中的素材，而是要挖掘課本習(xí)題中有價值素材并加以改進(jìn)，這是培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)關(guān)鍵能力的重要抓手，處理得當(dāng)，事半功倍.培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)關(guān)鍵能力，勢必要關(guān)注到綜合與實踐活動的綜合性、實踐性和開放性的特征，據(jù)此開展實踐活動才能取得良好的效果.

3.1綜合性要求教師要關(guān)注“問題”

教什么永遠(yuǎn)比怎么教更重要，因為教什么體現(xiàn)了教育背后的價值意義[6].“問題”的選擇方面，要避免課程內(nèi)容與學(xué)科的割裂，忌淺層體驗、忌知識堆砌、忌個人主義.通過探究動機(jī)、解構(gòu)、創(chuàng)生、生長的發(fā)生機(jī)理，期待深度學(xué)習(xí)在綜合實踐活動中的回歸[7].教師有必要對活動問題進(jìn)行校本建構(gòu)，充分考慮學(xué)生的認(rèn)知水平、思維方式、性別差異等，在主題活動過程中生成活動主題[8].

“問題”開發(fā)方面，要通過借鑒、整合、超越現(xiàn)實素材，形成項目式學(xué)習(xí)問題，開發(fā)具有數(shù)學(xué)學(xué)科本質(zhì)的綜合與實踐課程，由點到面，由單項活動拓展到多項活動.問題的開發(fā)要遵循量力而行的原則，要注意體現(xiàn)學(xué)科本質(zhì)，要注意跨學(xué)科素材的積累；要能引發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)動機(jī)，誘發(fā)認(rèn)知沖突；要解構(gòu)素材，有探究的價值與意義；要有利于“創(chuàng)生”，進(jìn)行內(nèi)容與形式的“再創(chuàng)造”；要有利于“生長”，讓學(xué)生從小課堂走向大社會.

3.2實踐性要求教師要關(guān)注“過程”

課程目標(biāo)中“四基”“四能”的提出，都指向?qū)W生數(shù)學(xué)關(guān)鍵能力的培養(yǎng)要重視學(xué)生的學(xué)習(xí)過程.從小學(xué)階段的主題式學(xué)習(xí)到初中階段的項目式，均要求教師要以合作者的身份參與活動過程，成為綜合與實踐活動的共同體.

關(guān)注綜合實踐活動的“過程性”，要求教師首先要探明學(xué)生的認(rèn)知基礎(chǔ)，并據(jù)此采取不同的對策：如果學(xué)生缺乏實踐經(jīng)驗，教師要做好活動規(guī)劃，再進(jìn)行必要示范.對于較復(fù)雜的活動，教師要分解活動的過程，找出學(xué)生開展活動的難點，做好活動前的充分準(zhǔn)備，再根據(jù)學(xué)生的實際，進(jìn)行必要的活動示范與說明，增加學(xué)生活動體驗與參與過程.

如果學(xué)生具備一定的基礎(chǔ)，教師要為學(xué)生提供必要工具與技術(shù)支撐.常見的支架包括：（1）獲取和收集信息的渠道；（2）可視化的數(shù)據(jù)分析工具；（3）交互和分享信息的平臺；（4）模型設(shè)計和驗證的技術(shù)；（5）展示作品和觀點的途徑[9]．提供支架本質(zhì)就是關(guān)注學(xué)生的活動“過程”，讓學(xué)生活動得以順利、高效地開展.

3.3開放性要求教師要關(guān)注“評價”

“綜合與實踐”活動的開放性是指：在活動的條件、問題、過程、結(jié)果等環(huán)節(jié)上具有的多種可能[3]．這決定了教師要對活動的條件、問題、過程等進(jìn)行全方位的評價，評價指向?qū)W生的學(xué)習(xí)能力發(fā)展.參考學(xué)業(yè)質(zhì)量標(biāo)準(zhǔn)，評價的主體要多元化，評價的方式要多樣化，評價要有利于學(xué)生自我監(jiān)控活動的過程和結(jié)果.

評價活動的“問題”，要考慮是否融合“四基”的內(nèi)容，問題是否具有現(xiàn)實意義，是否有利于學(xué)生體驗數(shù)學(xué)活動來源于生活又服務(wù)于生活，讓學(xué)生通過“問題”用數(shù)學(xué)的眼光觀察世界；評價活動的“過程”，要考慮是否融合“四能”的過程，是否充分激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，培養(yǎng)學(xué)習(xí)的信心，是否充分經(jīng)歷猜想、操作、驗證過程，在探究過程中面對挑戰(zhàn)性的任務(wù)，能勇于探索，樂于實踐，讓學(xué)生在實踐“過程”中用數(shù)學(xué)的思維思考世界；評價活動的“結(jié)果”，要考慮學(xué)生是否能感悟數(shù)學(xué)思想，積累數(shù)學(xué)基本活動經(jīng)驗，能否感悟尊重事實、講明道理的科學(xué)精神，體會數(shù)學(xué)表達(dá)的簡潔與統(tǒng)一，讓學(xué)生用數(shù)學(xué)的語言表達(dá)世界，將立德樹人落到實處.

4結(jié)束語

設(shè)計主題明確的綜合與實踐活動，圍繞該主題進(jìn)行充分的建模、解模、應(yīng)用，遵循認(rèn)知螺旋式上升的規(guī)律，讓學(xué)生在學(xué)法上經(jīng)歷“陌生—熟悉—貫通”的過程，經(jīng)歷“簡單模仿—熟練掌握—創(chuàng)新方法”的過程，這是培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)關(guān)鍵能力的有效途徑[10].曹一鳴教授提出的數(shù)學(xué)學(xué)科能力框架，將學(xué)生關(guān)鍵能力表現(xiàn)分為三個階段 ，即“學(xué)習(xí)理解—實踐應(yīng)用—創(chuàng)新遷移”，綜合實踐課包括著現(xiàn)實世界問題解決的全過程，屬于創(chuàng)新遷移階段的表現(xiàn).建立在“真實情境”上的實踐改進(jìn)活動，能為激發(fā)學(xué)生探究熱情提供源源不竭的動力，讓學(xué)生在問題解決的過程中不斷提升數(shù)學(xué)關(guān)鍵能力.

參考文獻(xiàn)

[1]高霞，陳莉，唐漢衛(wèi).中小學(xué)綜合實踐活動：困境、成因與出路[J].課程·教材·教法，2020（03）：76-80.

[2]中華人民共和國教育部.義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）[M].北京：人民教育出版社，2022：4.

[3]李海東，李健.新課標(biāo)理念下的數(shù)學(xué)教科書“綜合與實踐”活動：“關(guān)鍵特征”“基本類型”與“呈現(xiàn)要點”[J].數(shù)學(xué)教育學(xué)報，2022（10）：14-18.

[4]張偉俊.數(shù)學(xué)“綜合與實踐”活動的有效設(shè)計研究[J].上海教育科研，2018（10）：82-86.

[5]吳立寶，劉穎超.比較視域下的“綜合與實踐”學(xué)習(xí)領(lǐng)域解析[J].數(shù)學(xué)教育學(xué)報，2022（10）：19-23.

[6]孫學(xué)東.如何設(shè)計和實施數(shù)學(xué)跨學(xué)科實踐項目[J].人民教育，2022（15/16）：102-103.

[7]沈小碚，羅章.論深度學(xué)習(xí)在綜合實踐活動中的發(fā)生機(jī)理[J].教育科學(xué)研究，2021（10）：77-81.

[8]李臣之，阮沁汐，鄧智虎.中學(xué)綜合實踐活動主題適應(yīng)性調(diào)查研究[J].課程·教材·教法，2020（06）：22-28.

[9]郭衎，曹一鳴.綜合與實踐：從主題活動到項目學(xué)習(xí)[J].數(shù)學(xué)教育學(xué)報，2022（10）：9-13.

[10]潘竹樹，李祎.借助數(shù)學(xué)模型 培養(yǎng)關(guān)鍵能力：以“最短路徑問題”為例[J].數(shù)學(xué)通報，2022，61（10）：39-43.

作者簡介 潘竹樹（1976—），男，中學(xué)高級教師，福建省中學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)科帶頭人；初中數(shù)學(xué)關(guān)鍵能力培養(yǎng)研究獲福建省教育學(xué)會評選的基礎(chǔ)教育教學(xué)成果類三等獎，論文類二等獎;主要從事初中數(shù)學(xué)教育教學(xué)研究，發(fā)表文章10余篇，其中1篇被中國人民大學(xué)復(fù)印報刊資料中心《初中數(shù)學(xué)教與學(xué)》全文轉(zhuǎn)載.