基于STEAM理念的數學文化項目學習設計

【摘要】數學文化項目學習指向知識的深度理解與關聯，符合學生數學核心素養培育的訴求.立足STEAM理念，結合“找尋中式古建冠冕中的數學”，從項目啟動階段、項目規劃階段、項目開展階段、項目公開評價4個關鍵教學階段出發，探討了基于STEAM理念的數學文化項目學習設計.

【關鍵詞】STEAM；數學文化；項目學習；古代建筑;中式屋頂

STEAM教育是一種綜合性的教育模式，它將科學、技術、工程、藝術和數學融合在一起，旨在培養學生的創新能力、解決問題的能力和團隊合作精神.STEAM教育的核心理念是將不同學科之間的知識和技能相互融合，以創造性的方式解決實際問題.STEAM教育可以概括為“以數學為基礎，通過工程和藝術解讀科學和技術”[1].數學被視為STEAM教育的基石，能夠促成科學、技術、工程和藝術四門學科的有機融合.數學文化作為數學教育內容的重要組成部分，其實質是以數學學科為核心，統整融合自然、人文、社會等學科[2].值得注意的是，數學文化、STEAM理念和項目式學習在強調學科融合、解決真實問題、促進創新能力培養等方面存在耦合性[3].鑒于此，開發基于STEAM理念的數學文化項目學習案例是值得關注和探賾的.本文嘗試以“找尋中式古建冠冕中的數學”為例，以期力證STEAM理念、數學文化和項目式學習的優勢聯動關系，為高中數學教學開展跨學科活動提供可行的思路與路徑；同時挖掘中國古代建筑蘊藏的數學教育價值，豐富中國本土化的教學資源庫以此探索具有中國特色的項目學習.

1項目啟動階段

1.1主題統整

主題統整指向的是STEAM理念下數學文化項目學習的認知結構層面，是項目學習發生的基本抓手，是整個數學文化教學的核心.而如何將文化主題以項目式學習活動的形式進行設計，并拆解成以數學學科為中心、融合各學科的學習內容，是案例開發的關鍵.鑒于此，STEAM理念下的數學文化項目學習的主題統整可以從文化、數學和學科三大角度斟酌.

從文化關聯角度來看，屋頂是中國古代建筑的冠冕，是我國傳統建筑的主要構造與形態表征，是民族審美文化的張揚.就中式屋頂的物質層面而論，屋頂的形態成因、多樣類型、精妙營造有待探究.就中式屋頂的精神層面而言，蘊含著天人合一、道法自然的理念和原生質樸、簡約和諧的中式美學，凝聚著中華優秀傳統文化的氣韻神形.因此，中式屋頂作為中國本土化的教學資源亟待挖掘，可以進一步設計中國特色的項目學習.

從數學關聯角度來看，以屋頂為主題的項目學習包含圓錐曲線和三角函數兩個主要知識.以橢圓、雙曲線以及拋物線等曲線為學習生長點，探究最速降線的存在性；利用三角函數、導數演繹推理求解拋物線和擺線方程.其中蘊含函數與方程、數形結合、建立數學模型等數學思想方法.通過數學文化的融入，使學生感悟約翰·伯努利、萊布尼茨等數學家們刻苦鉆研、探索真理的精神；在屋頂模型的制作與鑒賞中感受數學的對稱美與和諧美.因此，基于屋頂蘊含的數學元素，可以開展數學文化學習.

從學科關聯角度來看，屋頂中蘊藏著多學科屬性，探究屋面中最速降線是否存在屬于科學實驗的過程，而最速降線方程的推導借助物理學科中的光的折射、能量守恒定律和平拋運動等內容.同時，加入信息技術軟件制作曲線、擬合曲線、工程設計并藝術欣賞屋頂模型.概言之，與物理、工程、技術和藝術等學科的知識密切相關，可以開展以中式古建屋頂為主題的數學文化項目學習.

結合以上文化、數學和學科三大視角，本文嘗試將項目主題統整為“找尋中式古建冠冕中的數學”，圍繞中式古建筑的屋頂模型這一構建性作品的制作及其蘊含的多學科知識等展開學習.

1.2目標確定

基于STEAM理念的數學文化項目式學習不僅要凸顯數學的文化價值和跨學科價值[4]，同時，項目化學習的中國建構需要價值觀作為靈魂[5].因此，具體細分為基礎知識、能力素養和精神品質三個維度.

基礎知識：能夠借助物理中光的折射、能量守恒定律等內容以及數學中三角函數和導數等內容演繹推理獲得最速降線存在的條件以及相應的曲線方程；能夠結合平拋運動探索其中蘊含的拋物線方程；了解費馬光速最值原理、斯涅爾定律等科學定理以及幾何畫圖軟件的基本操作.

能力素養：協商簡易中式古建筑的屋頂模型的實施方案，培養全局意識和工程思維；能夠借助數學中圓、雙曲線和拋物線等曲線進行實驗，培養實驗探究的能力；推理得到最速降線方程，整理數據并提取信息，構建曲線模型，發展邏輯推理、數學建模和數據分析等數學學科核心素養；利用GeoGebra技術軟件繪制圓錐曲線和最速降線、擬合拋物線，實現數字化學習與創新，發展批判性思維；在欣賞并制作屋頂模型中，增強創新設計和物化等能力.

精神品質：滲透最速降線的數學文化，卷入曲折的探索歷程，在領悟數學家們堅持不懈、追求真理的精神的同時，生成動態的、易謬主義的數學觀，感受數學臻于完善的過程；在認識曲線與其他學科的關聯中，感悟數學的跨學科內涵與科學價值、應用價值、文化價值和審美價值等價值觀念，塑造樂學善學、探究創新和團結合作的態度與品質；在屋頂模型的物化中，洞見中國古代勞動人民的智慧，理解文化保護的社會責任，實現文化持續性教學.

2項目規劃階段

師生活動：在確定項目主題與目標后，挖掘最速降線的相關史料、數學家故事等數學文化作為項目素材.聚焦項目成果，師生統籌規劃后，降維拆解如下三大關聯任務.

任務1：探究屋頂的“吐水疾”：借助小球軌道的科學實驗，探究能夠使雨水下落速度最快的屋頂的最優曲線，并用技術工具擬合曲線.

任務2：探究屋頂“溜水遠”：在保證排水速度最快的基礎上，進一步探究能夠使屋頂雨水排至最遠的曲線.

任務3：舉屋營造制作屋頂模型：補充舉架、舉折和提棧等相關建筑知識，制作簡易的中式屋頂模型并規劃與舉辦展覽活動.同時，進一步優化改進模型并延伸思考，制作更多不同類型的傳統屋頂.

同時，師生立足STEAM理念，共建項目知識網（圖1），為學生的持續性探究提供索引，回歸最終成品的產出.本項目規劃為2個課時，其中第一課時完成任務1，第二課時展開任務2，3.

3項目開展階段

環節1：創設情境，識別問題

我國傳統建筑從外形上分為下中上三部分，大體為三段式結構，即由屋頂、屋身和臺基三個基本部分構成.屋頂是房屋建筑的冠冕，承載著中華五千年的歷史.無論是廡殿、歇山、硬山還是懸山屋頂式的建筑，在屋頂曲線中都呈現出一種越向上越陡峭，越向下越平緩的反曲屋面形式.這種反曲屋面是中國古代建筑的重要特征之一，是功能、結構、形式的高度統一.今天，就讓我們一起走進中式建筑的冠冕，找尋屋頂中的數學密碼.

問題1-1：如圖2，觀察中西方單體類建筑的屋頂圖樣，它們的屋頂面有什么不同？而中式建筑的屋頂具有什么樣的特征？

問題1-2：為什么中國古建筑的屋頂大都采用曲形屋面？

問題1-3：屋頂模型的制作過程蘊含了大量的數學知識.建筑和數學究竟有著什么關系？我們是否可以借助數學知識，動手制作一個簡易的中式古建筑的屋頂模型呢？

師生活動：學生小組間展開交流，比較中西建筑屋頂的形狀特征及功能需求，逐漸將話題聚焦于中式建筑特有的凹面屋頂，鼓勵不同文化背景、不同發展水平的學生提出屋頂生成機制的合理猜想，加深學生對中式建筑的文化感知與鑒賞.為豐富學生的認知，教師補充生成凹面屋頂的已有推論，包括帳幕說、杉樹說、構造說和功能說等，為后續的項目探究埋下伏筆.

設計意圖：創設文化情境，調動學生積極的情緒準備，體會中西建筑文化的異同，進而加深學生對中式建筑的文化感知與文化鑒賞.從兼具開放性和彈性的真實問題出發，為不同文化背景、發展水平的學生留有適切的思考起點和充盈的思考空間，以此生成的答案富有原創性和復雜性，培養學生收集信息的能力和批判性思維.同時，制作屋頂模型這一項目成果為學生能夠以數學的眼光、數學的思維以及數學的語言觀察、思考和表達現實問題提供機會，構建貫穿學生學習始終的數學生態場域，進一步找尋中式古建冠冕屋頂中的數學.

任務1：探究屋頂的“吐水疾”.

環節2：組建團隊，科學實驗

師生活動：學生討論坡曲屋頂的成因分析后，教師引導學生集中于功能說，進一步探究屋頂排水這一功能的合理性和科學性.考慮到接下來的任務形式多樣且具有一定的挑戰性，學生通過填寫索引卡選擇合作伙伴以此組建有效合作團隊.

問題2-1：當雨水分別從斜面屋頂和曲面屋頂向下滑，哪種屋面下滑速度快？你能嘗試用實驗驗證你的猜想嗎？

師生活動：基于對“兩點之間線段最短”這一定理的熟知，學生容易產生思維定勢，即錯誤推測斜面屋頂上的雨水下落最快.為了糾正這一誤解，開展科學實驗顯得尤為必要，而真實的屋頂實驗存在安全隱患，師生進行乒乓球軌道的模擬實驗，利用硬紙板、熱熔膠和鐵絲等材料分別制作兩條等高等底的直線和曲線軌道.實驗中，學生把乒乓球放置在軌道頂端后，同一時間松開小球令其自行下滑.考慮到乒乓球的彈性和重量等因素產生誤差，調換乒乓球所在的軌道，重復以上實驗并取平均值.

問題2-2：在科學實驗中我們發現在曲面軌道上的小球下滑速度更快，相當于曲面屋頂的排水功能更好，結合之前所學的數學知識，你能否試著猜想一下這是一條怎么樣的曲線？

師生活動：學生聯系過去所學習的不同曲線，猜測這條曲線可能是圓弧、橢圓、雙曲線或拋物線.為了驗證猜想，小組合作制作以上的曲線軌道與教師課前準備好能使小球最快下落的軌道進行對比實驗.

數學文化融入：追溯至1630年，意大利科學家伽利略也陷入了同樣的困惑：當一個質點在重力作用下，從一給定的點滑向其下方不垂直的另一點時，若不考慮摩擦力，質點沿著怎樣的曲線滑下所需時間最短.伽利略的猜想是圓弧，但從以上實驗中我們可以發現圓弧并非正確答案.直到1696年，瑞士數學家約翰·伯努利就這一問題向全歐洲的數學家發起公開挑戰.約翰·伯努利在求解這一問題時運用到了幾何光學的知識，接下來我們一起來看看他是如何探究的？

設計意圖：鑒于學生的文化認知兼具同喻性和不均衡性，教師應思慮創建什么樣類型的團隊，以及什么時候需要進行團隊合作，才能使生生共創形成學習共同體，在互動中培養合作技能以及引發深度學習.學生熟知“兩點之間線段最短”這一定理，自然會產生思維定勢，由路程最短猜測斜面屋頂上的雨水下落時間最短，這正符合最初古希臘數學家的論斷.開展小球軌道的科學實驗，既可以積累數學基本活動經驗，又直接得到路程最短的線路并不等同于所用時間最短的路線的實驗結果，引起學生的認知沖突，激發探究興趣.數學文化的融入，使學生能夠跟隨數學家的腳步經歷數學的發展過程，從中讓學生感受到數學知識的生長性和建構性，進而產生文化共鳴.

環節3：類比推理，數學求解

科學融入：學生在課前回顧物理選擇性必修中的幾何光學知識，包括折射、折射率、折射率與速度之間的關系和光程等基本概念.教師補充介紹費馬光速最值原理，引導學生將小球下滑的過程等效成光在折射率連續變化的介質中傳播的過程，類比折射光線在不同介質中光程取極值路徑的性質，小球在軌道的下落運動過程中也可以分成若干個不同區域.

問題2-3：如圖3所示，設A，B兩點分別位于折射率為n1，n2的介質中，A，B兩點的橫向距離為d，縱向距離為2l.兩種介質的分界面位于x軸，光在C點發生折射，位置為（x，0）.其中入射光線AC為l1，出射光線CB為l2，入射角為θ1，折射角為θ2.能否利用數學知識，推導從A點到B點的光程取極值時應滿足什么條件嗎？

師生活動：由于數學所研究的是純粹的量，因此，不能滿足于對數學命題進行實際的檢驗，還必須從理論上加以論證[6].學生首先計算得到光線從A點到B點走過的路程為s=n1l1+n2l2=n1l2+x2+n2l2+（d-x）2，因為s是x的函數，對其求導后可得dsdx=n12x2l2+x2+n22（x-d）2l2+（d-x）2=n1xl1+n2x-dl2=n1sinθ1-n2sinθ2，當導數等于0時，滿足n1sinθ1=n2sinθ2.學生發現光線從一種介質進入另一種介質時，傳播方向通常會發生改變，其入射角、折射角與兩種介質的折射率之間存在關系.教師進行補充說明該結論最初由荷蘭數學家威里布里德·斯涅耳發現，稱為斯涅爾定律（光的折射定律）.

學生進行公式代換，將v1=cn1，v2=cn2代入n1sinθ1=n2sinθ2，其中v1，v2分別是光線在兩種介質中傳播的速度，c為真空中的光速，可得sinθ1v1=sinθ2v2，可以發現光在介質中的傳播速度與界面法線的夾角的比值為常數，記為sinθv=C.

問題2-4：如圖4所示，設屋頂面的雨水從A到B運動過程中任一位置縱坐標y對應的速度為v，v與y軸方向的夾角α，與x軸方向的夾角為φ，是否存在這樣一條使雨水下滑時間最短的屋頂曲線呢？類比光線傳播，你能試試推導這條曲線的方程嗎？

師生活動：類比光線沿著光程為極值的路徑傳播應滿足的條件sinθv=C，雨水下滑運動同樣適用.根據機械能守恒定律，雨水的運動速度記為v=2gy.因為雨水運動位置與x軸方向的夾角為φ，所以y′=tanφ，而sinα=cosφ=11+tan2φ=11+y′2.那么sinαv=12gy1+y′2=C，可以求出這條使雨水下滑時間最短的曲線的微分方程y（1+y′2）=C.

學生將y（1+y′2）=C轉化為dx=yC-ydy后，發現方程形式依舊復雜.故教師引導學生利用三角函數的知識將方程中的根號去掉，令y=Csin2φ，則dx=C（1-cos2φ）dφ，x=C2（2φ-sin2φ）+C0（C0為任意常數）.出于對方程簡潔性的考慮，由A點為坐標原點確定C0=0，令θ=2φ，R=C2，最終得出曲線方程為x=R（θ-sinθ），y=R（1-cosθ）.

數學文化融入：數學家約翰·伯努利將這條曲線稱為“最速降線”，又名擺線.最速降線問題可以說是數學史上最鼓舞人心的一次公開挑戰.首先，參與挑戰的人數空前，且得出正確答案的數學家頗負盛名.例如，牛頓和萊布尼茨從不同角度入手建立了微積分；而伯努利兄弟二人是奇跡家族中的杰出人物；洛必達年幼時就展露出數學天賦并解決了擺線難題.其次，挑戰中出現的解法各有千秋，其中雅各布·伯努利的解法表露出了變分的思想且更具普適性和廣泛應用性[7].

設計意圖：由于數學所研究的是純粹的量，任何觀察或實驗的對象都必然具有特定的質的內容，因此，不能滿足于對數學命題進行實際的檢驗，還必須從理論上去對此加以論證[7].另外，教師應明確項目學習并非從始至終在團隊中進行，同時并非所有的任務都適合團隊合作.于是，相較于上一環節的探究實驗，該環節更關注學生獨立思考、推理運算的過程，利用導數求極值的數學知識確定光程應滿足的條件，進而通過嚴格的推理求出最速降線的曲線方程，體會數學的嚴謹性和廣泛的應用性，培養學生邏輯推理、數學運算和數學建模等數學學科核心素養.與此同時，結合約翰·伯努利的的求解思路與費馬光速最值原理和斯涅爾定律等科學原理，以數學史料和其他學科的聯系來體現數學的文化性，親歷數學曲折的創造過程，體會數學家們勇于探索、追求真理的精神.

環節4：虛擬驗證，技術制作

問題2-5：我們發現最速降線是具體存在的并且明確了其參數方程，傳統的手繪難以處理復雜的曲線，你能否試著運用技術軟件繪制出最速降線呢？

師生活動：學生查閱相關文獻和程序資料后，師生共同利用GeoGebra軟件繪制直線、最速降線、圓弧和拋物線等曲線.在最速降線的繪制中，教師首先引導學生對最速降線的參數方程進行轉化（注意縱坐標軸改變，y取負值），轉化為xy=θ-sinθcosθ-1，R=xθ-sinθ.于是，教師逐步拆解并詳細解釋程序，學生按照提示在GeoGebra指令欄中輸入“θ=x（描點（x（A）/y（A）（cos（x）-1）=x-sin（x）））”，求出θ的值；再輸入“R=x（A）/（θ-sin（θ））”，求出R的值；進而繪制出最速降線（圖5）.隨后，教師利用GeoGebra軟件動態模擬小球在不同曲線上的下滑實驗（圖6），無論參數如何調整，可以發現沿最速降線下滑的小球所需時間始終是最短的.

生活應用：最速降線在生活中有著廣泛的應用.在醫學領域，最速降線用于預測藥物在體內的釋放速率和吸收路徑，確保藥物以最優的方式達到治療效果；在工程領域，電影院或報告廳中座椅前低后高的坡度安排，可以提供觀眾最佳的觀賞體驗；在藝術與設計領域，繁花曲線規這一玩具通過大小齒輪的配合與滾動，可以繪制出流暢而多變的擺線花紋.

設計意圖：在之前的科學實驗中我們能夠判斷小球下滑的快慢，但并未精確求出小球下滑所需的時間.考慮到時間求解的復雜性，利用技術軟件進一步佐證結論.GeoGebra技術軟件輔助最速降線的項目學習，為學生提供“再創造”的環境，將圓弧、圓錐曲線等曲線圖象可視化，加強了學生對舊知的動手操作與合作體驗，體會深層的數學思想；通過對最速降線化簡與繪制的過程，體會知識生成與“微創造”的過程.而教師利用GeoGebra制作演示動畫，再現并驗證科學實驗的實驗結果，使其更具說服力.而最速降線的生活應用的融入，正是揭示了數學對科學、工程與藝術等其他學科發展的影響，加深對數學的文化價值的理解.

任務2：探究屋頂“溜水遠”.

問題3-1：為了加快排水速度，屋頂曲線采用了最速降線；為了減少雨水的侵害以此來保護建筑的“中分”和“下分”，即屋身和臺基，如何進一步優化屋頂曲線呢？

師生活動：教師重提古籍中的經典名句“上尊而宇卑，則吐水疾而溜遠”，引導學生考慮古文中的第二層含義“溜遠”.學生大膽猜想飛檐的制作與“溜水遠”之間存在一定的關系，保護屋身和臺基，為優化屋頂模型指引方向.

問題3-2：雨水離開切線基本水平的屋檐后，是以何種軌跡下落的？

師生活動：因為平拋運動形似拋物線，學生容易猜想雨水的下落軌跡可能是拋物線.為了驗證猜想，學生開展平拋實驗來收集相關數據，由教師示范傳感器和計算機并分別測得物體的水平和豎直位移，接著師生合作完成9組數據的采集工作（表1）.

若拋出點設為坐標原點，軌跡應滿足一元二次函數的解析方程，則具體解析式可以表示為f（x）=ax2.學生在GeoGebra軟件的表格區中輸入數據，再將其創建為點列.執行“fit”指令將點列擬合成與f（x）同樣形式的函數F（x）.從圖7中觀察發現，并非所有點都滿足函數F（x），但總體來說與圖象基本吻合，說明猜想有其合理性.為了進一步檢驗和完善模型，教師引導學生學習“rsquare”這一新指令，以此獲得點列與F（x）的相關系數為b=0.985，說明誤差在可接受范圍內，那么平拋運動的軌跡確實為拋物線.學生掌握指令后，自主探究點列與一次函數（c=0.925）、三次函數（d=0.864）以及其他函數的相關系數.最后，從數值上顯示，二次函數的相關系數最高，即點列最符合二次函數關系（圖7）.

問題3-3：我們已經知道切線基本水平的屋檐的排水軌跡，你能試著證明這樣的屋檐能夠把雨水排到最遠嗎？[TPZWZ-8a.TIF;Z1，Y][TS（1][JZ]圖8[TS）]

師生活動：學生利用物理中所學的能量守恒定律以及平拋運動等相關知識，假設從B處以水平速度v0將物體拋出（圖8），若不計空氣阻力，則物體在豎直方向上的運動是自由落體運動，豎直方向h為下落高度，可表示為h=12gt2，而物體的運動時間只與平拋運動開始時的高度有關，t=2hg.又因為平拋運動中物體在水平方向是勻速直線運動，將t代入水平位移公式x=v0t=v02hg.觀察公式，可以發現平拋運動的水平位移由初速度與平拋開始時的高度共同決定；當小球拋出的方向與水平方向的夾角越小，則拋出的水平距離也就越遠，從而科學解釋了水平切線的檐口“溜水遠”的原因.

設計意圖：在探究屋頂的“吐水疾”這一任務后，以古籍中的經典名句為索引，自然過渡至探究屋頂“溜水遠”，以此進一步優化最終作品.借助平拋運動的物理背景，從數學的視角發現并分析問題，到通過實驗收集數據，再到利用技術軟件擬合曲線，確定函數模型，發展學生數學建模和數據分析的數學核心素養.同時，教師并未止步于模型的建立，通過讓學生學習操作指令獲得函數的相關系數，檢驗與完善數學模型，養成學生的誤差意識、反思能力以及嚴謹的科學精神.在確定軌跡后，對現實問題進一步“數學化”，證明切線基本水平的屋檐能夠達成“溜水遠”的效果，從感悟推理這一數學基本思想躍升至嚴密化的數學精神，從而使學生理解數學文化的本質.

任務3：舉屋營造制作屋頂模型.

師生活動：教師引導學生思考，中國古代營造者在不知曉最速降線的情況下是如何近似擬合曲線的，并適時介紹舉屋制度.舉屋制度是中國傳統建筑確定屋頂曲面曲度的營造方法，這一方法在宋《營造法式》中名為舉折，在清工部《工程做法》中稱為舉架，在記述江南建筑做法的《營造法源》中謂之提棧.教師邀請匠人講授不同時期確定屋頂曲度的營造之法，各小組選擇不同的營造方法制作個性化的項目制品，彰顯項目學習的核心要素“學生的發言權與選擇權”[8]，發展學生對圖樣的識讀和物化能力，感受工匠們的智慧巧思與民族的文化積累.

4項目公開評價階段

師生活動：各小組完成模型后，教師組織學生參與古建展覽會的規劃與實施，提前確定活動日期并邀請學生的家庭成員.該階段不僅僅是項目作品的展示，也應重視項目過程的公開，即讓學生解釋自己如何思考和完成項目，匯報并展示各項成果，包括屋頂模型、項目里程碑和匯報發言等.

項目式學習的評估量規應緊密圍繞項目主題與目標，整合學生、同伴、教師及行業匠人等多方視角，融合結果性、表現性及精神品質評價等多種方式（表2）.在結果性評價方面，以屋頂模型為例，需綜合考量其外部美觀度、結構完整性和排水功能等核心指標，并為各指標合理分配權重.通過學生自評、同伴互評、教師評價及匠人評估，確保評估的全面性和公正性.基于這一評價量規的持續追蹤與即時反饋，學生個體及團隊能夠不斷優化項目方案，促進成長性思維的培養.同時，教師與匠人也能據此提供更為精準的個性化指導，構建相互支持的項目文化氛圍.

參考文獻

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作者簡介

張維忠（1964—），男，甘肅天水人，教授、博士生導師;主要從事數學課程與教學論研究.

胡姣靈（2000—），女，浙江寧波人，碩士研究生;主要從事數學課程與教學論研究.