非物理類專業(yè)“量子物理”課程教學(xué)的若干思考

［摘 要］ 非物理類專業(yè)學(xué)生的“量子物理”課程教學(xué)面臨諸多挑戰(zhàn)。一方面，相較于物理類專業(yè)的學(xué)生，非物理類專業(yè)的學(xué)生在數(shù)學(xué)和物理基礎(chǔ)方面相對薄弱；另一方面，適用于非物理類專業(yè)學(xué)生的教材資源比較稀缺，從而增加了教與學(xué)的難度。為此，構(gòu)建了既簡明扼要又突出核心內(nèi)容的“量子物理”課程大綱，旨在助力學(xué)生更好地理解和掌握“量子物理”知識(shí)。該大綱將涵蓋課程基本概念、主要理論及相關(guān)技術(shù)應(yīng)用，包括了經(jīng)典物理到量子物理的過渡、薛定諤方程的解法和形式理論等，可以為學(xué)生后續(xù)學(xué)習(xí)奠定堅(jiān)實(shí)基礎(chǔ)。

［關(guān)鍵詞］ 量子物理；非物理類專業(yè)；薛定諤方程

［基金項(xiàng)目］ 2023年度國家自然科學(xué)基金青年基金項(xiàng)目“彎曲時(shí)空量子場論和粒子探測器相互作用的理論探索”（12205250）

［作者簡介］ 徐 皓（1989—），男，安徽合肥人，博士，揚(yáng)州大學(xué)物理科學(xué)與技術(shù)學(xué)院講師，主要從事廣義相對論與量子場論研究。

［中圖分類號(hào)］ G642.0 ［文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼］ A ［文章編號(hào)］ 1674-9324（2024）34-0021-04 ［收稿日期］ 2024-01-11

引言

量子物理是現(xiàn)代物理學(xué)的重要分支，它給出了微觀世界的理論描述，所采用的數(shù)學(xué)工具也為物理學(xué)乃至純數(shù)學(xué)的發(fā)展提供了強(qiáng)大的支持。隨著科學(xué)技術(shù)的不斷進(jìn)步，量子物理也將繼續(xù)引領(lǐng)我們對自然界的認(rèn)識(shí)邁向新的高度。

在本科教育中，“量子物理”課程對于培養(yǎng)學(xué)生的科學(xué)素養(yǎng)也有重要的影響。通過學(xué)習(xí)“量子物理”課程，學(xué)生得以掌握物理學(xué)的基本原理和方法。此外，“量子物理”課程與其他學(xué)科領(lǐng)域也有著緊密的交叉融合，如信息科學(xué)、微電子、計(jì)算機(jī)等。學(xué)習(xí)“量子物理”課程可以為未來的工作打下堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)，因此許多專業(yè)都將“量子物理”課程列為必修課程。

在物理專業(yè)的本科教學(xué)中，“量子物理”課程無疑占據(jù)著核心地位，然而在非物理類專業(yè)中，“量子物理”的課程地位卻稍顯尷尬。許多學(xué)生對于“量子物理”課程的重視程度不足，認(rèn)為它只存在于前沿的科學(xué)研究，與日常生活和實(shí)際應(yīng)用相去甚遠(yuǎn)。

除了學(xué)生觀念上的誤區(qū)，“量子物理”課程本身的難度也是原因之一。對于物理專業(yè)的學(xué)生，他們在學(xué)習(xí)“量子物理”前已經(jīng)經(jīng)歷了“經(jīng)典物理”和“原子物理學(xué)”等核心課程的學(xué)習(xí)，也掌握了微積分、線性代數(shù)、概率論、數(shù)理方法等數(shù)學(xué)工具。這使得他們在面對“量子物理”時(shí)具備了較為完備的基礎(chǔ)。而且，針對物理專業(yè)本科生的優(yōu)秀教材豐富多樣，其中不乏大師級的著作，為學(xué)生提供了深入學(xué)習(xí)的資源。然而，對于非物理類專業(yè)的學(xué)生來說，他們通常在大二就開始接觸量子物理，而此前僅僅學(xué)習(xí)了兩個(gè)學(xué)期的“大學(xué)物理”和“高等數(shù)學(xué)”課程，這令他們在面對量子物理這一高度抽象、復(fù)雜的學(xué)科時(shí)容易感到困惑和無助。此外，適合非物理類專業(yè)學(xué)生的教材相對較少，也無形中增加了他們的學(xué)習(xí)難度。

自2020年開始，筆者作為揚(yáng)州大學(xué)物理科學(xué)與技術(shù)學(xué)院教師，為微電子專業(yè)的大二學(xué)生教授“量子物理”課程。在教學(xué)過程中，筆者不斷積累經(jīng)驗(yàn)，深入思考教學(xué)方法，并與同行展開廣泛交流。本文旨在針對非物理類專業(yè)“量子物理”課程的內(nèi)容設(shè)置和授課方式等分享一些觀點(diǎn)與建議，以期提高學(xué)生對“量子物理”課程知識(shí)的領(lǐng)悟和掌握，為他們的職業(yè)生涯奠定基礎(chǔ)。

一、課程的內(nèi)容選擇

通常的“量子物理”課程教材以歷史發(fā)展為線索，從黑體輻射和氫原子模型的實(shí)驗(yàn)研究出發(fā)，逐步引入量子概念。完成課程后，學(xué)生應(yīng)能推導(dǎo)出黑體輻射譜以及氫原子電子軌道。然而，非物理類專業(yè)的學(xué)生對黑體輻射和氫原子模型的物理背景并不熟悉。求解黑體輻射所采用的核心方法——相格法，在物理類專業(yè)的“熱力學(xué)”與“統(tǒng)計(jì)物理”課程中有所涉及。但由于不同高校課程設(shè)置的差異，非物理類專業(yè)的學(xué)生可能并未接觸過這一方法。同樣，求解氫原子模型所需的球諧函數(shù)也可能超出了學(xué)生的知識(shí)范圍。對于非物理類專業(yè)的學(xué)生而言，傳統(tǒng)上從歷史和實(shí)驗(yàn)出發(fā)，回歸歷史和實(shí)驗(yàn)的思路，可能并不適用。

因此，對于非物理類專業(yè)的學(xué)生，教師需要采取更為合適的教學(xué)方式。首先，需要尋找到一個(gè)合適的切入點(diǎn)來引導(dǎo)學(xué)生深入量子物理的領(lǐng)域中。其次，需要重點(diǎn)講解量子物理處理問題的方法，尤其是定態(tài)薛定諤方程的解法。這是“量子物理”課程的核心內(nèi)容，也是理解和應(yīng)用量子物理的關(guān)鍵。最后，需要強(qiáng)調(diào)量子物理背后的數(shù)學(xué)邏輯，從而更好地理解和應(yīng)用量子物理的知識(shí)。

綜上所述，針對非物理類專業(yè)的學(xué)生，在教授“量子物理”課程時(shí)，應(yīng)選取一個(gè)易于掌握且能凸顯量子物理核心的子集作為教學(xué)內(nèi)容。同時(shí)，確保該子集在量子物理體系中自洽且完整。在完成這一內(nèi)容的學(xué)習(xí)后，學(xué)有余力的學(xué)生可進(jìn)一步探索更深入的知識(shí)，以適應(yīng)科研等高層次需求。下面介紹一個(gè)在實(shí)際教學(xué)中使用的課程內(nèi)容編排。推薦的參考教材為吳彪教授所著的文獻(xiàn)［1］和大衛(wèi)·J.格里菲斯所著的文獻(xiàn)［2］。

1.物理學(xué)地圖。通過地圖的形式，對整個(gè)物理學(xué)進(jìn)行系統(tǒng)性劃分，主要?jiǎng)澐譃樗拇蟀鍓K：經(jīng)典物理、相對論、量子物理及未知領(lǐng)域。經(jīng)典物理領(lǐng)域涵蓋了力學(xué)、光學(xué)、電磁學(xué)和熱學(xué)等基礎(chǔ)學(xué)科。相對論則進(jìn)一步探究宏觀世界的運(yùn)作原理，解釋了星系乃至整個(gè)宇宙的運(yùn)行規(guī)律。量子物理領(lǐng)域既包括量子場論和標(biāo)準(zhǔn)模型等理論研究，也涉及量子計(jì)算和量子糾纏等更廣泛的實(shí)際應(yīng)用。在未知領(lǐng)域中，展示了現(xiàn)代物理學(xué)尚未解決的難題，如暗物質(zhì)和暗能量以及量子引力等。通過這種直觀的展示方式，學(xué)生可以更清晰地了解量子物理在現(xiàn)代物理學(xué)中的地位，理解其起源和發(fā)展方向，糾正對量子物理僅存在于尖端研究領(lǐng)域的誤解。

2.經(jīng)典力學(xué)和舊量子理論。對量子力學(xué)先驅(qū)如何應(yīng)對從經(jīng)典到量子的過渡問題展開深入探討。在解決這一問題的過程中，玻爾和索末菲提出了早期的量子化規(guī)則，將經(jīng)典物理中最基礎(chǔ)的概念——相空間進(jìn)行量子化。詳細(xì)闡述這種方法在處理諧振子問題時(shí)的應(yīng)用，并對該方法的局限性進(jìn)行深入分析。通過這一探討，我們將更好地理解先驅(qū)如何巧妙地解決從經(jīng)典到量子的過渡問題，并為后續(xù)的物理學(xué)發(fā)展奠定堅(jiān)實(shí)基礎(chǔ)。

3.線性代數(shù)回顧。盡管學(xué)生已初步接觸線性代數(shù)，然而許多學(xué)生仍僅停留在行列式處理的淺層技巧記憶上，未能領(lǐng)會(huì)線性代數(shù)的核心思想。因此，教師應(yīng)在課堂中引導(dǎo)學(xué)生深入理解線性代數(shù)的實(shí)質(zhì)，它是處理滿足線性運(yùn)算的數(shù)學(xué)工具，且為波函數(shù)等物理現(xiàn)象提供了強(qiáng)有力的數(shù)學(xué)表達(dá)手段。通過這樣的學(xué)習(xí)，學(xué)生將能更好掌握量子物理中的形式理論。

4.邁入量子之門。在引導(dǎo)學(xué)生探索量子世界的旅程中，教師并未選擇黑體輻射或氫原子譜線作為切入點(diǎn)，而是借助施特恩-格拉赫實(shí)驗(yàn)，引領(lǐng)學(xué)生邁出了關(guān)鍵的第一步。這里的原因在于施特恩-格拉赫實(shí)驗(yàn)所聚焦的電子自旋的研究可以通過線性代數(shù)中的2×2矩陣進(jìn)行描述，這種方法相較于相格法或三維時(shí)空中的微分方程更為簡潔明了。通過這一部分的學(xué)習(xí)，學(xué)生將建立起對量子力學(xué)基本原理的理解，即量子體系的狀態(tài)可被描述為希爾伯特空間中的一個(gè)向量，可觀測的物理量由算符表示，觀測結(jié)果則是算符的本征值，而獲得特定本征值的概率則取決于向量在相應(yīng)本征態(tài)上的投影。

5.量子動(dòng)力學(xué)和薛定諤方程。在先前對量子物理的闡述中，我們尚未深入量子態(tài)隨時(shí)間演變的機(jī)制，以及波函數(shù)作為希爾伯特空間向量的計(jì)算。為此，將直接導(dǎo)入薛定諤方程和波函數(shù)的統(tǒng)計(jì)解釋，同時(shí)回顧概率論的基礎(chǔ)知識(shí)，詳述了如何利用概率密度計(jì)算期望值。此外，還定義了波函數(shù)的內(nèi)積，證明了其正交歸一性，并引入了動(dòng)量算符等概念，以此深化學(xué)生對薛定諤方程及波函數(shù)的理解。

6.定態(tài)薛定諤的解法。在“量子物理”課程體系中，求解薛定諤方程占據(jù)著至關(guān)重要的地位。運(yùn)用分離變量法將方程拆分為時(shí)間部分和空間部分。其中，時(shí)間因子能夠直接求解，因此主要關(guān)注的是空間部分，即定態(tài)薛定諤方程。在完成歸一化處理后，其對應(yīng)的本征態(tài)便能作為希爾伯特空間的基矢。由于薛定諤方程的線性特性，任何時(shí)刻的量子態(tài)均可表示為這些基礎(chǔ)矢量的線性組合，并插入時(shí)間因子以獲得時(shí)間演化。教師選取了五種具有代表性的勢能模型進(jìn)行討論：一維無限深方勢阱、諧振子、自由粒子、δ函數(shù)以及一維有限深方勢阱。通過分析這幾種勢能模型，學(xué)生不僅能夠掌握求解定態(tài)薛定諤方程的方法，還能深入理解波函數(shù)的性質(zhì)。

7.形式理論。闡述量子物理的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)，首先從平方可積性出發(fā)，明確定義希爾伯特空間。其次，證明可觀測物理量可用厄米算符表示，并深入探討其在離散譜和連續(xù)譜中的特性。然后，闡述量子理論的廣義統(tǒng)計(jì)詮釋，并證明普遍的不確定性原理。最后，引入狄拉克符號(hào)體系，并運(yùn)用它計(jì)算2×2矩陣描述的哈密頓量系統(tǒng)中的態(tài)的時(shí)間演化。這一過程將為施特恩-格拉赫實(shí)驗(yàn)提供更為基礎(chǔ)的描述，形成邏輯上的完整閉環(huán)。

8.量子物理的實(shí)際應(yīng)用。簡要探討量子物理在前沿科技領(lǐng)域的幾個(gè)關(guān)鍵應(yīng)用，包括量子糾纏、量子測量、量子計(jì)算和量子通信。這些研究領(lǐng)域在理論和實(shí)踐層面都具有重大意義，并且未來有望發(fā)揮更加舉足輕重的作用。

經(jīng)過對上述內(nèi)容的深入學(xué)習(xí)，學(xué)生可以在有限的基礎(chǔ)和課時(shí)條件下，實(shí)現(xiàn)對量子物理的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)和物理本質(zhì)的理解。教師詳細(xì)介紹的薛定諤方程的一維時(shí)空解法，是在單粒子條件下進(jìn)行的。若將時(shí)空維度擴(kuò)展至三維，并引入電磁勢，則能推導(dǎo)出氫原子的能級結(jié)構(gòu)。若進(jìn)一步考慮多粒子系統(tǒng)并引入相格，則能得出黑體輻射的能譜。對于有志于繼續(xù)深化學(xué)習(xí)的學(xué)生，本課程內(nèi)容將為他們提供堅(jiān)實(shí)的理論基礎(chǔ)。

二、教學(xué)方法

“量子物理”課程沿用PPT與板書相結(jié)合的教學(xué)方法。在課程的起始階段，由于涉及物理學(xué)領(lǐng)域的劃分、施特恩-格拉赫實(shí)驗(yàn)等內(nèi)容，PPT將成為主導(dǎo)的教學(xué)工具。隨著課程的深入，計(jì)算量逐漸增加，特別是在求解定態(tài)薛定諤方程部分，教學(xué)應(yīng)以板書為主，展示計(jì)算過程的細(xì)節(jié)，幫助學(xué)生理解和掌握不同的解法。在課程的后期涉及量子物理的實(shí)際應(yīng)用時(shí)，可以再次以PPT為主。

如前所述，“量子物理”課程旨在選取一個(gè)易于掌握且能突出量子物理核心的子集作為教學(xué)內(nèi)容，確保該子集在量子物理體系中既自洽又完整。因此，該課程的教學(xué)重點(diǎn)在于挖掘量子物理的核心原理，而非僅關(guān)注其外在形式。學(xué)生需在分析問題的過程中領(lǐng)悟量子物理的奧妙，并掌握科學(xué)的思維方式。教師在授課過程中，特別是在板書環(huán)節(jié)，從學(xué)者的角度出發(fā)，指導(dǎo)學(xué)生面對未知問題如何進(jìn)行思考和嘗試，而非簡單地給出問題和答案的一一對應(yīng)關(guān)系，讓學(xué)生機(jī)械記憶。

舉例來說，在求解薛定諤方程時(shí)，由于勢能的選擇具有任意性，因此并不存在通解。在課程中，教師應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生思考如何得到盡可能一般的結(jié)論。利用微積分的知識(shí)，對于連續(xù)可導(dǎo)的勢能函數(shù)，當(dāng)在其極小值點(diǎn)附近進(jìn)行泰勒展開時(shí)，二階項(xiàng)可以寫成類似諧振子的形式，而勢能的二次導(dǎo)數(shù)可以對應(yīng)諧振子中的彈性系數(shù)。因此，諧振子勢非常適合模擬勢能極小值點(diǎn)附近的行為。雖然無法得到任意勢能對應(yīng)的解，但能夠得到勢能極小值點(diǎn)附近的行為，這在物理上具有重要的意義。

在解決諧振子的定態(tài)薛定諤方程問題時(shí)，筆者提出了兩種求解策略。將求解這個(gè)問題比作是一次未知的攀登高山的過程，其中一種策略是直接進(jìn)行攀登，而另一種策略則是選擇先攀登一座較為容易的山峰，再從山頂觀察目標(biāo)山峰的地形和路線。這兩種策略分別對應(yīng)了數(shù)學(xué)中的解析法和代數(shù)法。

在解析法中，將方程在可直接求解的區(qū)域，即無窮遠(yuǎn)處找到解，而后對解進(jìn)行必要的修正，將解表示為級數(shù)的形式，并推導(dǎo)每一項(xiàng)系數(shù)間的遞推關(guān)系。同時(shí)，需要確保所得到的解與無窮遠(yuǎn)處的漸近行為保持一致，避免出現(xiàn)矛盾。最終，我們發(fā)現(xiàn)為了滿足波函數(shù)的歸一化條件，遞推關(guān)系不能無限進(jìn)行下去，必須在某一位置進(jìn)行截?cái)啵@一截?cái)嗖僮髑『卯a(chǎn)生了量子化條件。隨后，引導(dǎo)學(xué)生深入思考，為什么量子化這一物理定律會(huì)在求解微分方程的技術(shù)細(xì)節(jié)中體現(xiàn)。通過展示兩個(gè)不滿足量子化條件的解，可以發(fā)現(xiàn)正是波函數(shù)的統(tǒng)計(jì)詮釋對解的漸近行為提出了要求，從而導(dǎo)致了量子化的出現(xiàn)。簡言之，只有量子化的解才能被認(rèn)為是符合物理規(guī)律的。這也為我們提供了一個(gè)絕佳的機(jī)會(huì)，展示了數(shù)學(xué)與物理之間的密切關(guān)系。

在代數(shù)法中，筆者采取了全新的思路，沒有直接求解方程，而是引入了新的算符，即產(chǎn)生湮滅算符，將系統(tǒng)的哈密頓量以新的形式呈現(xiàn)。通過這些算符，就能找到解與解之間的轉(zhuǎn)換關(guān)系，不是一次性獲得所有解，而是找出了如何從一個(gè)解生成更多解。由于物理上不可能存在能量為負(fù)的解，因此這種轉(zhuǎn)換關(guān)系需要在某個(gè)點(diǎn)被截?cái)?，而這個(gè)截?cái)嚓P(guān)系恰好給出了一個(gè)求解基態(tài)的簡單方程。一旦求得基態(tài)，就可以利用它來生成激發(fā)態(tài)的解，而這種方法得到的結(jié)果也和解析法完全相同。

通過展示對相同問題采用不同解法而最終得出相同結(jié)論的過程，學(xué)生能夠領(lǐng)略到數(shù)學(xué)和物理的奧妙，以及科學(xué)的處理問題的方式。此外，學(xué)生還能夠更深入地理解量子物理的技術(shù)細(xì)節(jié)，從而更好地掌握這一領(lǐng)域的知識(shí)。

三、考核方式

“量子物理”課程將沿用常規(guī)的評估方式，結(jié)合學(xué)生的平時(shí)表現(xiàn)與期末考試成績進(jìn)行綜合評定。在平時(shí)成績中，教師將關(guān)注學(xué)生的課堂參與情況及作業(yè)完成情況。關(guān)于作業(yè)，教師并未盲目增加難度，如求解更多類型的勢能問題，而是挑選了一些重要的物理和數(shù)學(xué)基礎(chǔ)題目，這些題目對于培養(yǎng)學(xué)生的基本能力至關(guān)重要，同時(shí)不會(huì)延誤教學(xué)進(jìn)度。例如，利用歸一性證明能量不低于勢能最小值，推導(dǎo)普朗克爾定理等。通過這些習(xí)題的訓(xùn)練，學(xué)生能更加深入理解和掌握量子物理的基本性質(zhì)和數(shù)學(xué)基礎(chǔ)。

而在最終的期末考試環(huán)節(jié)，試題由選擇題和計(jì)算題構(gòu)成。選擇題主要考查量子物理的歷史和基本概念；計(jì)算題主要考查波函數(shù)和算符的基本性質(zhì)、已知?jiǎng)菽芮蠼庋Χㄖ@方程、諧振子中升降算符性質(zhì)、利用線性代數(shù)的知識(shí)計(jì)算量子態(tài)的時(shí)間演化及形式理論等。所有的問題都將來自課上具體的推導(dǎo)，這能夠?qū)W(xué)生的注意力集中在量子力學(xué)的核心問題上，而不是在基礎(chǔ)尚不牢固時(shí)盲目刷題。

結(jié)語

量子物理作為現(xiàn)代物理學(xué)的重要分支，其理論體系和實(shí)驗(yàn)觀測結(jié)果在培養(yǎng)學(xué)生科學(xué)素養(yǎng)方面具有不可忽視的意義。在物理類專業(yè)的本科教學(xué)中，量子物理占據(jù)著核心地位，然而在非物理類專業(yè)中，許多學(xué)生對量子物理的重視程度不足，此外，由于學(xué)生的基礎(chǔ)相對薄弱，使得他們遇到不少困難。因此，教師需要采取有效措施，提高學(xué)生對量子物理的重視程度，加強(qiáng)基礎(chǔ)知識(shí)的掌握，為后續(xù)的學(xué)習(xí)和研究打下堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)。

在多年的教學(xué)實(shí)踐過程中，筆者深入“量子物理”課程的復(fù)雜體系，精心篩選并整理出既簡明又凸顯核心的課程大綱，用于教學(xué)。它不僅在“量子物理”課程體系中自洽，而且全面。當(dāng)學(xué)生完成對該課程的學(xué)習(xí)后，如果仍有余力，可以進(jìn)一步探索更深入的領(lǐng)域，為未來科研等工作做好準(zhǔn)備。

鑒于筆者的經(jīng)驗(yàn)和水平有限，所提出的建議可能仍存在一些不足之處。為此，筆者將繼續(xù)在教學(xué)工作中進(jìn)行探索，以期更好地服務(wù)于學(xué)生，為青年人才的教育事業(yè)貢獻(xiàn)一份力量。

參考文獻(xiàn)

［1］吳飆.簡明量子力學(xué)［M］.北京：北京大學(xué)出版社，2020：92.

［2］大衛(wèi)·J.格里菲斯.量子力學(xué)概論［M］.北京：機(jī)械工業(yè)出版社，2009：2.

Thoughts on the Teaching of “Quantum Physics” Course for Non-Physics Majors

XU Hao

（College of Physical Science and Technology， Yangzhou University， Yangzhou， Jiangsu 225009， China）

Abstract： Teaching quantum physics to non-physics students faces many challenges. On the one hand， they are relatively weak in mathematics and physics compared to students of physics majors; on the other hand， there is a lack of teaching materials for them， which makes teaching and learning more difficult. Therefore， we are committed to constructing a concise and core curriculum to help students better understand and master quantum physics. The syllabus covers the basic concepts， main theories and related technical applications of the course， including the transition from classical physics to quantum physics， the solution of Schrodinger equation， formalism， etc.， which can lay a solid foundation for students’ further learning.

Key words： Quantum Physics; non-physics majors; Schrodinger equation