分類討論思想在初中數(shù)學(xué)中的重要性

【摘要】隨著教育改革的深入，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力成為了數(shù)學(xué)教學(xué)的重要目標(biāo).分類討論思想作為一種基礎(chǔ)的數(shù)學(xué)思維方法，對(duì)于學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)和問(wèn)題解決能力的提升具有顯著影響.本文探討了分類討論思想在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中的重要性.以一道“新知理解”類習(xí)題為例，展示了分類討論思想在幫助學(xué)生理解數(shù)學(xué)概念、發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)規(guī)律、提高解決問(wèn)題能力方面的作用.

【關(guān)鍵詞】初中數(shù)學(xué)；分類討論；新知理解

1 引言

在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中，分類討論思想是一種重要的數(shù)學(xué)思維方法.它要求學(xué)生在解決問(wèn)題時(shí)，能夠根據(jù)問(wèn)題的特點(diǎn)和要求，將問(wèn)題進(jìn)行合理的分類，并在不同的類別中進(jìn)行深入的分析和討論.通過(guò)分類討論，學(xué)生能夠更好地理解數(shù)學(xué)概念，發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)規(guī)律，提高解決問(wèn)題的能力.筆者以一道“新知理解”類習(xí)題為例，探究分類討論思想在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中的重要性.通過(guò)分類討論，學(xué)生能夠?qū)?fù)雜的問(wèn)題簡(jiǎn)化為幾個(gè)簡(jiǎn)單的類別，并在每個(gè)類別中進(jìn)行深入的分析和討論.這樣的方法不僅能夠提高學(xué)生解決問(wèn)題的效率，還能夠培養(yǎng)學(xué)生的邏輯思維.

2 試題呈現(xiàn)

如圖1，點(diǎn)C在線段AB上，圖中共有三條線段AB、AC和BC，若其中有一條線段的長(zhǎng)度是另外一條線段長(zhǎng)度的2倍，則稱點(diǎn)C是線段AB的“巧點(diǎn)”.

（1）線段的中點(diǎn)這條線段的“巧點(diǎn)”（填“是”或“不是”）；

（2）若AB=12cm，點(diǎn)C是線段AB的巧點(diǎn)，則AC=cm；

（3）如圖2，已知AB=12cm.動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，以2cm/s的速度沿AB向點(diǎn)B勻速移動(dòng)；點(diǎn)Q從點(diǎn)B出發(fā)，以1cm/s的速度沿BA向點(diǎn)A勻速移動(dòng).點(diǎn)P、Q同時(shí)出發(fā)，當(dāng)其中一點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)，運(yùn)動(dòng)停止，設(shè)移動(dòng)的時(shí)間為t（s）.當(dāng)t為何值時(shí)，A、P、Q三點(diǎn)中其中一點(diǎn)恰好是另外兩點(diǎn)為端點(diǎn)的線段的巧點(diǎn)？并說(shuō)明理由.

3 思路分析

第一問(wèn)，題中共有三條線段，AB、AC和BC，因此若兩兩組合應(yīng)有6種可能，在求解中，應(yīng)先將6種可能列出，進(jìn)而排除不符合的情況（如AC是AB的2倍可排除），最終保留所有可能情況，而不是根據(jù)經(jīng)驗(yàn)進(jìn)行判斷，否則會(huì)漏掉重要情況（例如，實(shí)際解題中，學(xué)生常常漏掉AB是AC的2倍）.

經(jīng)過(guò)第一問(wèn)的分類討論，第二問(wèn)則可以套用第一問(wèn)已經(jīng)討論出的情況進(jìn)行求解，比較簡(jiǎn)單.

第三問(wèn)則仍需要進(jìn)行分類討論，可以討論的情況有：①點(diǎn)A為P、Q兩點(diǎn)的巧點(diǎn)（此情況排除）；②P為A、Q的巧點(diǎn)；③點(diǎn)Q為A、P兩點(diǎn)的巧點(diǎn).若分類討論正確，則該題已經(jīng)成功了一半，接下來(lái)只需要列式求解即可.

4 解題探究

（1）當(dāng)點(diǎn)C是線段AB的中點(diǎn)，則AB=2AC，根據(jù)“巧點(diǎn)”定義，線段的中點(diǎn)是這條線段的“巧點(diǎn)”；

（2）由于AB=12cm，點(diǎn)C是線段AB的巧點(diǎn)，則AC=12×13=4cm；或AC=12×12=6cm；或AC=12×23=8cm；

（3）由題意可列式，t秒后，AP=2t，AQ=12－t0≤t≤6，

①由分析可知點(diǎn)A不可能為P、Q兩點(diǎn)的巧點(diǎn)，此情況排除.

②當(dāng)點(diǎn)P為A、Q兩點(diǎn)的巧點(diǎn)時(shí)，

a.AP=13AQ，即2t=1312－t，解得t=127s；

b.AP=12AQ，即2t=1212－t，解得t=125s；

c.AP=23AQ，即2t=2312－t，解得t=3s；

③當(dāng)點(diǎn)Q為A、P兩點(diǎn)的巧點(diǎn)時(shí)，

a.AQ=13AP，即12－t=2t×13，解得t=365s（舍去）；

b.AQ=12AP，即12－t=2t×12，解得t=6s；

c.AQ=23AP，即12－t=2t×23，解得t=367s.

綜上所述，t值可取127s、125s、3s、6s以及367s.

5 解后反思

本題考查了兩點(diǎn)間的距離以及一元一次方程的應(yīng)用，解題關(guān)鍵是要讀懂題目的意思，并進(jìn)行分類討論.例如，題中第一問(wèn)雖然較為簡(jiǎn)單，根據(jù)“巧點(diǎn)”的定義即可求解，但是在實(shí)際操作中，將本題做錯(cuò)的學(xué)生比例較高，這是由于學(xué)生忽略了“分類討論的思想”，分類討論思想在于分類的“不重不漏”，在實(shí)際做題中，大多數(shù)學(xué)生主要錯(cuò)在“依賴經(jīng)驗(yàn)，導(dǎo)致漏掉分類的某些情況”.正如前文述及，正確的分類討論應(yīng)是先將所有情況列出，進(jìn)而排除不符合的情況.

6 結(jié)語(yǔ)

分類討論是幫助學(xué)生跨越經(jīng)驗(yàn)鴻溝，使分析回到正軌的不二法門(mén).通過(guò)分類討論，學(xué)生能夠更好地理解和掌握數(shù)學(xué)知識(shí)，提高解決問(wèn)題的能力.在教學(xué)中，教師應(yīng)注重分類討論思想的培養(yǎng)和運(yùn)用，設(shè)計(jì)合理的習(xí)題和教學(xué)活動(dòng)，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行分類討論，培養(yǎng)他們的數(shù)學(xué)思維能力.同時(shí)，教師也應(yīng)注重培養(yǎng)學(xué)生的動(dòng)手實(shí)踐能力，讓他們?cè)趯?shí)際操作中感受分類討論的樂(lè)趣和價(jià)值.通過(guò)這樣的教學(xué)方式，學(xué)生將能夠更好地掌握分類討論的方法和技巧，為未來(lái)的學(xué)習(xí)和研究打下堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ).

參考文獻(xiàn)：

[1]孫至斌.初中數(shù)學(xué)綜合性難題的解題方法分析[J].數(shù)理天地（初中版），2024（05）：40-41.

[2]徐建明.巧用數(shù)學(xué)思想解決初中數(shù)學(xué)函數(shù)問(wèn)題[J].數(shù)理化解題研究，2024（02）：56-58.

[3]李明杰.基于分類討論思想提升解題準(zhǔn)確率[J].中學(xué)數(shù)學(xué)，2023（24）：55-57.