跨學科知識融合研究“費馬點”問題例談

【摘要】跨學科知識融合解決問題，近年來逐漸引起教師們的關注.本文以豐富翔實的應用實例，闡明利用光學知識，通過畫出光的運動路徑，結合圖形旋轉變換，研究“費馬點”問題，過程更加便捷、直觀，既拓寬研究思路，也更易被學生接受和理解，有利于跨學科知識融合解決問題意識的形成，逐步提升核心素養(yǎng).

【關鍵詞】光程最短原理；“費馬點”問題；解題策略

《義務教育數(shù)學課程標準（2022年版）》明確提出，“加強學科間相互關聯(lián)，以問題解決為導向，強化實踐性要求，整合數(shù)學與其他學科的思想方法和知識，帶動課程綜合化實施，提升學生核心素養(yǎng)”[1].初中“費馬點”問題，由于涉及動點和需要靈活運用旋轉等圖形變換方法，注重考查學生對知識的綜合運用能力，是近些年各省市中考命題的重點.

光沿直線傳播，初二上期就學習過，學生非常熟悉而且有很強的直觀感受.利用光程最短原理，通過畫出光的運動路徑，結合圖形旋轉變換，研究“費馬點”問題，過程更加直觀、簡捷，有意想不到的作用和效果[2].

例1 如圖1，在等邊△ABC中，AB = 6，點P為△ABC中一點，試求PA + PB + PC的最小值.

簡析 我們可以在△ABC內(nèi)隨意選一點，記作P ，不妨認為光從點A出發(fā)，先到達點P，然后從點P到達點B，再從點P到達點C.如圖2，畫出光的運動路徑和運動方向，不難發(fā)現(xiàn)點P點B、點P點C、點A點P，不是按比較接近于沿著一條直線的方向運動.將△BCP繞著點B順時針旋轉60°，得到△BC1P1，連接PP1.由于△BP1P為等邊三角形，可以認為光沿PB的運動方向和運動路徑變成了PP1；光沿PC的運動方向和運動路徑變成了P1C1，這時我們就會發(fā)現(xiàn)光從點P點P1、點P1點C1，點A點P，是接近于沿著一條直線的方向運動，同時PA + PP1 + P1C1 =PA + PB + PC .由于兩點之間線段最短，而點A和點C1為定點，很顯然，PA + PB + PC的最小值為線段AC1的長度.在△ABC1中，∠ABC1 = 120°，AB =BC1 =6，容易算得AC1 =63.所以PA + PB + PC的最小值為63.

例2 如圖3，在矩形ABCD中，AB = 6，BC = 6 ，點P為矩形A6BBvcap9cI1inXcCeaL3ig==BCD中一點，試求PB + PC + PD的最小值.

簡析 我們利用與例1相同的解題策略，如圖4，將△BCP繞點B順時針旋轉60°，得到△BC1P1，連接PP1.由于△BP1P為等邊三角形，可以認為光沿PB的運動方向和運動路徑變成了PP1；光沿PC的運動方向和運動路徑變成了P1C1，同時PB + PC + PD =PD + PP1 + P1C1 .由于點D與點C1為定點，利用兩點之間線段最短，很顯然，PA + PB + PC的最小值為線段DC1的長度.在△DBC1中，∠DCC1 = 150°，BC1 =6 ，BD =12 ，易得DC1 =6.所以PA + PB + PC的最小值為6.

例3 如圖5，在矩形ABCD中，AB =6，BC =4，E為AD上一動點，點P為矩形ABCD中一點，試求PE + PB + PC的最小值.

簡析 如圖6，我們畫出光的運動方向和路徑，將△BCP繞著點B順時針旋轉60°，得到△BC1P1，連接P1P.由于△BP1P為等邊三角形，可以認為光沿PB的運動方向和運動路徑變成了P1P；光沿CP的運動方向和運動路徑變成了C1P1，這時我們發(fā)現(xiàn)PE + PB + PC =PE + PP1 + P1C1，而且點C1點P1點P點E的運動方向，是接近于一條直線.因為C1為定點，點E為AD上的一點，利用垂線段最短，很顯然，PE + PB + PC的最小值為點C1到直線AD的距離.易得點C1到直線AD的距離為6+23.所以PE + PB + PC的最小值為6+23.

例4 如圖7，在矩形ABCD中，AB =6，BC=4，E，F(xiàn)為矩形ABCD中的動點，試求EA + EB + EF + FC + FD的最小值.

簡析 本題的解決策略與例1比較接近，只不過需要旋轉兩個三角形.如圖8所示，將△ABE繞點A順時針旋轉60°得到△AB1E1 ，將△DCF繞點D逆時針旋轉60°得到△DC1F1，連接EE1，F(xiàn)F1.由于B1，C1均為定點，根據(jù)兩點之間線段最短，EA+EB+EF+FC+FD的最小值為線段B1C1的長.易算B1C1=4+63，所以EA + EB + EF + FC + FD的最小值為4+63.

利用光學知識，通過畫出光的運動方向和路徑，結合圖形旋轉變換，使“費馬點”問題的研究更加直觀、簡捷，更易理解，教學效果也更好[3].

【基金項目：重慶市江津區(qū)教育科學規(guī)劃2022年度重點課題“初中構建共生課堂的實踐研究”（項目編號：2022ZD3015）的研究成果】

參考文獻：

[1]中華人民共和國教育部.義務教育數(shù)學課程標準（2022年版）[M].北京：人民教育出版社，2022（4）：78-88.

[2]黃樹明.用跨學科知識解決“將軍飲馬”問題[J].數(shù)理化解題研究，2023（29）：2-4.

[3]黃樹明.初中數(shù)學高頻考題跨學科領域研究例談[J].理科愛好者，2024（01）：55-57.