初中數學求代數式值類習題中整體思想的運用

【摘要】隨著教育改革的深入，培養學生的數學思維和解題能力已成為初中數學教學的核心目標之一.本文以初中數學求代數式值類習題為研究對象，探討整體思想在解題過程中的運用.首先介紹整體思想的概念及其在數學教育中的重要性.其次分析直接求值、求最值和求可能性三類習題中整體思想的運用方法，并通過具體例題進行解釋和說明.最后提出相應的教學策略和建議，以促進學生的數學學習.

【關鍵詞】初中數學；整體思想；解題方法

1 引言

在初中數學教學中，代數式的求值問題是一個重要的知識點.這類問題通常分為直接求值、求最值以及求可能性等幾個類別.對于學生來說，掌握整體思想是解決這些問題的關鍵.通過整體思想的應用，學生能夠更好地理解和運用代數知識，提高解題效率.本文將以3類習題為例，探討初中數學求代數式值類習題中整體思想的運用，分析其對于學生解題能力的提升作用，并提出相應的教學策略，以促進學生的數學學習.

2 試題呈現

題型1 整體思想直接求值類問題

（1）已知A+B=3x2－5x+1，A－C=－2x+3x2－5，求當x=2時B+C的值；

（2）若代數式2x2+3y+7的值為8，求代數式6x2+9y+8的值；

（3）已知xy=2x+2y，求代數式（3x－5xy+3y）÷（－x+3xy－y）的值.

題型2 整體思想求最值類問題

已知a，b為方程x2－2x+t－3=0的兩根，求2a+5－t×b2+2的最小值.

題型3 整體思想求可能性類問題

有理數a、b、c、d、e滿足a<b<c<d<e，且任意兩數之和共十個數中最小的三個數是32、36、37，最大的兩個數是51、48，求e的所有可能值.

3 思路分析

題型1 （1）由B+C=A+B－A－C，去括號合并得到B+C的最簡結果，將x=2代入計算即可求出值；

（2）根據已知等式求出2x2+3y的值，原式前兩項提取3變形后，將2x2+3y的值代入計算即可求出值；

（3）由題意得到xy=2x+y，原式變形后將xy=2x+y代入計算即可求出值.

題型2 利用根與系數的關系及方程根的定義，結合整體思想方法，用含t的代數式表示出要求代數式的積，從而得出結論.

題型3 先根據題意a<b<c<d<e，分析出a+b=32，a+c=36，c+e=48，再根據題意分析出a的值，最后代入解出e的值即可.

4 解法探究

題型1 （1）因為A+B=3x2－5x+1，

A－C=－2x+3x2－5；

所以B+C=A+B－A－C=3x2－5x+1+2x－3x2+5=－3x+6，

當x=2時，原式=6－6=0.

（2）根據題意得：2x2+3y+7=8，

即2x2+3y=1，

則原式=32x2+3y+8=3+8=11.

（3）根據題意得：xy=2x+y，

則原式

=3x+y－5xy］÷［－x+y+3xy=－7x+y÷5x+y=－75.

題型2 因為a，b為方程x2－2x+t－3=0的兩根，

所以a+b=2，ab=t－3，

b2－2b+t－3=0，

所以b2=2b+3－t，

所以2a+5－t×b2+2

=2a+5－t×2b+3－t+2

=2a－t+5×2b－t+5

=4ab－2bt+10b－2at+t2－5t+10a－5t+25

=t2+4ab－2ta+b+10a+b－10t+25.

把a+b=2，ab=t－3代入得

t2+4t－3－2t×2+10×2－10t+25

=t2+4t－12－4t+20－10t+25

=t2－10t+25+8

=（t－5）2+8.

因為a，b為方程x2－2x+t－3=0的兩根，

所以Δ=（－2）2－4×1×t－3

=4－4t+12=－4t+16≥0；

所以t≤4.

因為（t－5）2≥0，

所以當t=4時，

（t－5）2+8=（4－5）2+8=1+8=9，

所以2a+5－tb2+2的最小值是9.

題型3 由題意知32=a+b，

36=a+c，48=c+e，

51=d+e，

由上述式子易得c－b=4，

d－c=3，d－b=7，

故a+d=a+b+d－b=39，

因此，37一定是b+c，

于是，2a=a+b+a+c－b+c=31，

所以a=15.5，b=16.5，c=20.5，

d=23.5，e=27.5.

經檢驗，上述取值滿足條件，故e只有一種可能取值為27.5.

5 結語

以上題目考查了代數式求值，靈活運用整體代入思想是解題的關鍵.通過本文的探討，可以看到整體思想在初中數學求代數式值類習題中的重要性和必要性.整體思想的應用不僅能夠提高學生的解題能力，還能夠培養學生的邏輯思維和數學素養.在教學過程中，教師應該注重引導學生運用整體思想，通過具體例題的講解和練習，讓學生在實踐中掌握整體思想的應用方法.同時，教師還應該關注學生的個體差異，因材施教，提供有針對性的指導和幫助.通過整體思想的培養和應用，學生能夠更好地理解和運用代數知識，提高解題效率，從而取得更好地學習成果.

參考文獻：

[1]崔娟，王彪彪.借助整體思想，促進初中數學解題教學[J].數理天地（初中版），2024（05）：34-35.

[2]湯永梅.初中數學解題中整體思想的應用策略[J].數理化解題研究，2023（35）：59-61.

[3]賈應龍.整體思想在解決初中數學一元二次方程中的應用[J].數學學習與研究，2021（10）：36-37.