巧用一元一次不等式解決實際問題

【摘要】一元一次不等式是解決實際問題最基本的手段之一．本文通過實例，闡述如何使用一元一次不等式解決實際問題．通過分析問題中的不等關系，建立不等式模型，并通過求解得到最優解．

【關鍵詞】初中數學；一元一次不等式；解題

不等式是數學中一種重要的工具，它不僅可以用于求解數學問題，也可以用于解決實際問題．一元一次不等式是數學中最基本的不等式類型，具有簡單、易懂的特點，在解決實際問題中具有廣泛的應用．

1 解決問卷調查問題

例1 某校為了解學生校外的勞動表現，對全校學生進行了問卷調查，讓每位學生的家長對自家孩子進行打分，滿分為10分（分數均為整數）．勞動老師從全部的問卷中隨機抽取了80份，表1是家長所打分數的頻數統計表．

（1）求被抽取的家長們所打分數的平均數、中位數和眾數；

（2）勞動老師從余下的問卷中又隨機抽取了1份，與之前的80份合在一起，重新計算后，發現家長所打分數的平均數提高了至少0.15%，求勞動老師最后抽取的問卷中家長所打分數最少為幾分？

解析 （1）家長們所打分數的平均數為：180×5×4+6×8+7×20+8×24+9×16+10×8=180×624=7.8（分），

家長們所打分數從小到大排序后第40個和第41個均為8分，所以中位數為8+82=8（分），

有24位家長所打分數為8分，人數最多，所以眾數為8分．

（2）設勞動老師最后抽取的問卷中家長所打分數最少為x分，

依題意，得624+x80+1≥7.8×1+0.15%，

解得x≥8.7477，

因為x為整數，所以x的最小值為9，即勞動老師最后抽取的問卷中家長所打分數最少為9分．

點評 本題考查求平均數、中位數、眾數和一元一次不等式的應用．題設條件中明確了平均數至少提高了0.15%，暗示需要用平均數公式建立一元一次不等式關系．設勞動老師最后抽取的問卷中家長所打分數最少為x分，根據求平均數的公式可列出關于x的不等式，解之即可．

2 解決生活生產問題

例2 2022年3月25日，教育部印發《義務教育課程方案和課程標準（2022年版）》，優化了課程設置，將勞動從綜合實踐活動課程中獨立出來.為弘揚和傳承中華民族的傳統文化，強化勞動教育成果，錦江區某中學在端午節前夕，面向全體學生開展了包粽子比賽活動．已知A小組同學包的粽子個數y（個）與所用時間x（分）的關系如圖2所示．

（1）求y與x之間的函數關系式；

（2）若B小組同學每分鐘能包6個粽子，什么時候A小組同學包的粽子個數會超過B小組？

解析 （1）當0≤x≤10時，設y與x之間的函數關系式為y=kx，

把10，40代入解析式得40=10k，

解得k=4，

所以y=4x；

當x>10時，設y與x之間的函數關系式為y=mx+n，

把10，40，15，80代入解析式，

得10m+n=4015m+n=80，

解得m=8n=－40，

所以y=8x－40，

綜上所述，y與x之間的函數關系式為

y=4x0≤x≤108x－40x>10．

（2）根據題意B組同學包的粽子個數y（個）與所用時間x（分）的函數解析式為y=6x，

所以當A小組同學包的粽子個數超過B小組時，8x－40>6x，

解得x>20，

所以20分鐘后A小組同學包的粽子個數會超過B小組．

點評 本題考查了一次函數和一元一次不等式的應用，讀懂題意，正確求出函數解析式是解題的關鍵．先求出B組同學包的粽子個數y（個）與所用時間x（分）的函數解析式，再根據A小組同學包的粽子個數會超過B小組，列出一元一次不等式，解不等式即可解決問題．

3 解決商品購置問題

例3 在“垃圾分類，你我有責”活動中，某校準備購買A，B兩類垃圾桶共40個，其中A類垃圾桶的個數不多于B類垃圾桶的個數的2倍，設購入A類垃圾桶x個（x為整數）．

（1）求最多能購買幾個A類垃圾桶；

（2）若A類垃圾桶單價為25元，B類垃圾桶單價為45元，則購買兩類垃圾桶最少需要多少元？

解析 （1）因為該校準備購買A，B兩類垃圾桶共40個，且購入A類垃圾桶x個（x為整數），

所以購入B類垃圾桶（40－x）個．

根據題意得x≤2（40－x），

解得x≤803，

又因為x為整數，

所以x的最大值為26，即最多能購買26個A類垃圾桶．

（2）設購買兩類垃圾桶共花費y元，

則y=25x+45（40－x），

即y=－20x+1800，

因為-20<0，

所以y隨x的增大而減小，

所以當x=26時，y取得最小值，最小值=－20×26+1800=1280，

所以購買兩類垃圾桶最少需要1280元．

點評 本題考查了一元一次不等式的應用以及一次函數的應用．根據購入A類垃圾桶的個數不多于B類垃圾桶的個數的2倍，可列出關于x的一元一次不等式，解之可得出x的取值范圍，再取其中的最大整數值，即可得出結論.設購買兩類垃圾桶共花費y元，利用總價=單價×數量，可得出y關于x的函數關系式，再利用一次函數的性質，即可解決最值問題．

4 結語

可見，在使用一元一次不等式解決實際問題時，需要仔細分析問題中的不等關系，建立適當的不等式模型，然后適當選擇不等式參數，以適應不同的問題需求，再運用適當的數學方法（如代入法、公式法等）求解不等式，得到最優解，最后根據實際情況，對求解結果進行解釋和討論．本文通過實例闡述了如何使用一元一次不等式解決實際問題．通過分析問題中的不等關系，建立不等式模型，并通過求解得到最優解．在實際應用中，需要根據不同的問題需求選擇適當的不等式類型和參數，并運用適當的數學方法求解最優解．一元一次不等式作為一種簡單、易懂的數學工具，在解決實際問題中具有廣泛的應用前景．

參考文獻：

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