初中數學教學中的反證法在解題中的應用研究

【摘要】反證法也叫“逆證法”，是一種間接證明某一命題是否成立的判斷方法，其判斷依據為判定與命題相矛盾的判斷虛假.該方法是通過“由果溯因”的思維模式為解決某些疑難問題尋找新的突破口，提出了一種新思路.初中數學教學應重視在解決問題時，培養學生的逆向思維，拓寬學生的數學視野.本文就初中數學解題教學如何應用反正法進行分析.

【關鍵詞】初中數學；解題教學；反證法

在初中數學的教學實踐中，反證法作為一種不可或缺的證明手段，其核心策略是通過質疑一個命題的對立面，即假設其否定為成立，然后通過邏輯推理揭示這種假設導致的悖論或與已知事實的沖突.這種方法用于證明該命題的真實性.在初中數學教育中，反證法的實踐不僅能夠鍛煉學生的邏輯推理技巧，而且有助于學生更好地對一些定理、公式的認識和運用.

1 基本命題即學科中的起始性命題

運用反例法，核心在于尋找適當的假定，從而能從推論中得出相互矛盾的結論.這往往要求學生具備一定的洞察力和創造力.只要確定假定，接下來就可以根據推導規律進行推理，直至得出相互矛盾的結論.

例1 “當兩條線同時與另一條線平行時，原來的兩條線相互平行.”

已知AB∥EF，CD∥EF，求AB∥CD.

AB

CD

EF

證明 若AB與CD不平行，那么AB與CD則相交于點P，由于AB∥EF，那么AP∥EF、CD∥EF，因此可得出CP∥EF.這與“過直線外一點有且僅有一條直線與已知直線平行”的定理產生沖突.因此，原先假設的AB和CD非平行并不成立，也就是說AB∥CD.

解析 由平行定理可知，若兩條線同時與另一條線平行，則該兩條線亦為平行.因此，由上述兩個定理可知，EF∥AB，EF∥CD，則AB∥CD是必然的.但從題干來看，在經過P點時，存在著兩條不同直線與EF平行，從而否定了AB∥CD.因此，假設的AB和CD不平行并不成立.由此，可以得到如下結論：若兩條線同時與另一條線平行，則兩條線也相互平行.由以上分析可知，AB和CD不平行命題不成立，則AB∥CD.

總結 要讓學生明白，此類問題不能用直接證明法去論證，而要從問題的另一面去論證這個假設是否成立[1].

2 采取否定形式的命題

命題中有“不是”“沒有”“不存在”“不可能”等否定字樣的存在.

例2 論證2非有理數，也就是2為無理數.

證明 假設2為有理數，我們就可以求出自然數a、b，并得出2=ab.這里涉及的a、b為互質的整數，將2=ab兩邊同時平方后得出a2=2b2.由于a2是偶數，因此a必然也是偶數.于是，自然數c便存在，

可得出a=2c，由此可推導出a2=4c2，2c2=b2，可知b2為偶數，因此b也同樣為偶數.

從上述可以看出，如果a、b都是偶數，那么便會與a、b互質相互矛盾，因此最初的假設不成立，那么2就是無理數.

解析 當需要證明一個數為無理數時，如果采用直接證明法，便會導致學生無從下手，而如果從假設2為有理數入手，而得到的結果必然與原結論相矛盾，自然也就證明了2為無理數.

總結 運用反證法處理問題，特別是證明否定命題是否正確時，能極大地簡化過程.在初中數學中，對于某些整數的特性，常用反證法進行證明，這種方法不僅強化了學生對數學原理的深入理解，而且鍛煉了學生的批判性思考和問題解決技巧.

3 有關個數的命題

例3 證明a、b、c三個正實數表達式至少有一個大于2：

a+1b，b+1c，c+1a.

證明 首先假定三個表達式都小于2，可以將其表述為a+1b<2，b+1c<2，c+1a<2.因a、b、c是任意一個正實數，可以將其表述為a=b=c=5，如此可知a+1b=b+1c=c+1a=515>2，這一結果與原命題之間存在矛盾.因此，假設命題不成立，也從側面反映了原命題的正確性.

解析 “三個式子中，有一個不小于2”一共有七種可能，雖然結果顯而易見，但過程很復雜，但“全都小于2”這種反面情形僅有一種可能性.為了從不同視角探討這個問題，可以假設三個式子都小于2，然后再去驗證原結論成立.

總結 通過上述例子可以發現，如果結論中有“最多”“不少于”“至少”“至多”“唯一”等字眼，那么就可以從另一個角度去考慮這個問題，然后再用其來證明這個原命題，難度會大大降低[2].

4 有關角度的命題

例4 在任何一個三角形內，至少有一個角大于60°.

證明 假設所有角都小于60°，會導致內角和小于180°.然而，按照三角形內角和原理，內角和應等于180°，這就與假設的情況相矛盾.所以假設不成立.從反證法的角度出發，推導出了“在任意三角形中，至少一個角大于等于60°”這一定理.

解析 在這種情況下，反證法的作用一目了然.首先，通過假設與當前條件相反的命題.在此基礎上，對其進行推導，得到了一個相互矛盾的結論（三角形內角和定理不符合假定）.最后，通過邏輯推理，會得出一個與初始假設相悖的結論，這個矛盾證實了原命題的真實性.

總結 利用反證法可以快速發現解題思路，從而有效解決問題.反證法作為初中數學常用的一種論證方式，對培養學生的邏輯思維與創新思維有著一定的促進作用.

5 結語

綜上所述，在教學中，運用反證法對學生進行數學推理和解題能力培養是非常必要的.在初中數學教學中，利用反證法可以對某些公式、幾何圖形進行論證.同時，利用反證法有助于學生快速理清解題思路，并解決問題.因此，教師要在初學數學課堂上，應將反證法作為一種有效的推理方式，來促進學生進行思考，并將其應用到實際解題中去.

參考文獻：

[1]王輝.反證法在初中數學解題中的應用[J].數理天地（初中版），2022（05）：77-78.

[2]黃輝.反證法在初中數學解題中的應用[J].現代中學生（初中版），2021（18）：7-8.