含絕對值方程的解法探討

【摘要】絕對值方程是數學中的一個重要問題，這類絕對值方程解決的一般方法就是將方程中的絕對值符號分離出來，轉化為普通方程進行求解，它的這種特有的解題方法和解題技巧對解決其他數學問題具有借鑒意義．本文探討含絕對值方程的解法，從不同的角度和思路出發，嘗試提出一些有效的解決方案，以幫助讀者更好地理解和解決此類問題．

【關鍵詞】初中數學；絕對值方程；解題方法

絕對值方程是初中數學中的一個重要組成部分，由于方程中的絕對值符號，使得問題變得復雜和困難．因此，尋求有效的解法方法對于解決絕對值方程具有重要意義．

1 含絕對值的一元一次方程的解法

例1 已知兩個多項式A=x2+2x+2，B=x2－2x+2（x為實數），以下結論中正確的個數是（ ）

①若A+B=12，則x=±2；

②若A－B－8+A－B+4=12，則－1≤x≤2；

③若A×B=0，則關于x的方程無實數根；

④若x為整數x≠1，且A－5B－1的值為整數，則x的取值個數為3個．

（A）1． （B）2． （C）3． （D）4．

解析 ①因為A+B=12，

所以x2+2x+2+x2－2x+2=12，

解得：x=±2，

所以①正確.

②因為A－B－8+A－B+4=12，

所以x2+2x+2－x2－2x+2－8+x2+2x+2－x2－2x+2+4=12，

所以4x－8+4x+4=12，

當x<－1時，

－4x+8－4x－4=12，

解得x=－1（不符合題意，舍去），

當－1≤x≤2時，

－4x+8+4x+4=12恒成立，

當x>2時，

4x－8+4x+4=12，

解得x=2（不符合題意，舍去），

所以②正確.

③因為A×B=0，

所以x2+2x+2x2－2x+2=0，

所以x2+2x+2=0或x2－2x+2=0，

當x2+2x+2=0時，Δ=22－4×2=－4<0，該方程無實數根，

當x2－2x+2=0時，Δ=－22－4×2=－4<0，該方程無實數根，

所以若A×B=0，關于x的方程無實數根，

所以③正確.

④因為A－5B－1=x2+2x+2－5x2－2x+2－1

=x2+2x－3x2－2x+1

=x－1x+3x－12

=x+3x－1

=1+4x－1，

因為x為整數x≠1，且A－5B－1的值為整數，

所以x－1=±1，±2，±4，

所以x的取值個數為6個，

所以④不正確．

故選（C）．

點評 本題屬于綜合性數學問題，其中②是含絕對值的一元一次方程問題．將A，B代入A－B－8+A－B+4=12，得4x－8+4x+4=12，是兩個絕對值和的方程，解這類方程，需要先去掉絕對值符號，就需要進行分類討論，分別在x<－1、－1≤x≤2和x>2三種情況下去掉絕對值符號后解方程，解得的結果與x的范圍進行驗證，最終得到正確的結果．

2 距離問題中的絕對值方程

例2 已知點P坐標為1－a，2a+4，且點P到兩坐標軸的距離相等，則點P的坐標是（ ）

（A）2，2． （B）2，－2或6，－6．

（C）6，－6． （D）2，2或6，－6．

解析 因為點P1－a，2a+4到兩坐標軸的距離相等，

所以1－a=2a+4，

所以1－a=2a+4，

或1－a=－2a－4，

解得a=－1或a=－5，

當a=－1時，1－a=2，2a+4=2，

當a=－5時，1－a=6，2a+4=－6，

所以點P的坐標為2，2或6，－6．

故選（D）．

點評 本題考查了點的坐標及點到坐標軸的距離，根據距離的概念，列出含絕對值的方程是解決本問題的關鍵．根據點到兩坐標軸的距離相等列出絕對值方程，去掉絕對值符號，然后進行分類討論，分別進行方程求解并驗證即可．

3 新定義問題中的絕對值方程

例3 定義：若x1，x2是方程ax2+bx+c=0a≠0的兩個整數根，且滿足x1－x2=1，則稱此類方程為“自然方程”．例如：x－2x－3=0是“自然方程”．

（1）下列方程是“自然方程”的是；（填序號）

①x2－14=0；②x2+x=1；③x2+3x+2=0．

（2）若方程x2－m+1x+m=0是“自然方程”，求m的值．

解析 （1）①x2－14=0，即x2=14，

解得：x1=12，x2=－12，

則該方程的解不是整數，故此選項不符合題意.

②x2+x=1，

x2+x－1=0，

因為Δ=12－4×－1=5>0，

所以x=－1±52，

則該方程的解不是整數，故此選項不符合題意.

③x2+3x+2=0，

x+1x+2=0，

x+1=0，或x+2=0，

解得x1=－1，x2=－2，

所以－1－－2=1，故此選項符合題意，

故答案為：③.

（2）x2－m+1x+m=0，

x－1x－m=0，

x－1=0或x－m=0，

解得x1=1，x2=m，

因為方程x2－m+1x+m=0是“自然方程”，

所以m－1=1，

解得m=2或0，

所以m的值為2或0．

點評 本題考查了解一元二次方程、含絕對值的方程和有理數的運算等問題．新定義類數學問題是考試中的難點，要順利解決本題，需要認真理解“自然方程”的定義，順藤摸瓜，結合因式分解法表示出方程的解，根據“自然方程”定義確定m出的值即可．

4 結語

含絕對值方程的解法是一個復雜而有趣的問題，這類問題看似復雜，但只要掌握去掉絕對值的辦法，通過分類討論分別求解后再驗證解的結果即可．本文從不同的角度和思路出發，探討了幾種問題中含絕對值方程的解決方法，希望能幫助讀者更好地理解和解決此類問題．在解決絕對值方程時，應根據具體情況選擇合適的解法，靈活運用各種技巧和方法，并針對不同的問題情境，提出相應的解決方案，以提高解題效率和質量．

參考文獻：

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