初中數學一次函數解題方法研究

【摘要】本文深入探討了初中數學中一次函數的解題方法，旨在為學生構建堅實的理解基礎.一次函數，作為初中數學學習的基石，其解題策略豐富且極具實用性.本文開篇聚焦于基礎題型，詳細解析了定義域、值域、斜率、截距等核心概念，幫助學生打牢理論基礎.之后轉向應用題型，揭示了如何將一次函數靈活應用于解決線性規劃、經濟決策等實際問題，培養了學生的應用意識和問題解決能力.

【關鍵詞】初中數學；一次函數；解題方法

在初中數學的浩瀚知識海洋中，一次函數無疑是一座至關重要的里程碑.它不僅是連接數與形的橋梁，更是培養學生邏輯思維與問題解決能力的關鍵一環.本研究聚焦于初中一次函數的解題方法，旨在通過系統梳理與深入分析，為學生揭開這一數學概念的神秘面紗.我們深知，掌握一次函數的解題技巧，不僅能夠幫助學生輕松應對各類考試，更能在實際生活中對其進行廣泛的應用.因此，本研究將從基礎題型出發，逐步深入到應用題型和綜合題型，力求全面覆蓋一次函數的各類解題方法.

1 利用方程組求解一次函數

例如 已知函數y=－3x+m與y=3x+n的圖像都經過點a，14，那么如何在不求出m和n的值時，得出m+n的值.

解 通過分析本題，我們可以清晰地認識到，這道題目的核心在于考查學生對一次函數定義、性質及其應用的深入理解與掌握.解題過程中，學生需要熟練運用一次函數的基本概念，通過給定的條件——兩個一次函數圖像都經過同一點a，14，來求解未知數m和n.

具體地，學生應首先將點a，14分別代入到兩個一次函數y=－3x+m和y=3x+n中，利用函數值與自變量之間的對應關系，構建出關于m和n的等式.通過解這兩個等式，可以求得m=14+3a和n=14－3a.

最后，題目要求求出m和n的和，即m+n.將之前求得的m和n的表達式相加，即可得到m+n=14+3a+14－3a=28.這一步驟體現了學生對函數知識的靈活應用以及代數運算的能力.

2 利用數形結合思想求解一次函數

例如 由于公園規模擴大，需要增加一些新的游樂設施，如圖1，是這次公園新增加的滑滑梯，因為滑滑梯在使用時存在一定的風險，因此公園設計師需要保證新增加的滑滑梯使用安全，已知滑滑梯高度AC=2m，滑滑梯長度AB間的距離為4m.

（1）求滑滑梯著地點B與梯架之間的距離BC的長度.

（2）根據滑滑梯的傾斜角∠ABC在45°以內，即小于等于該角度屬于安全范圍，公園新增加的滑滑梯的傾斜角是否符合相關規定？

解 （1）利用勾股定理c2=a2+b2的公式變形可以得到BC的長度.

在Rt△ABC中，BC2=AB2－AC2=2 3m.

答：滑滑梯著地點B與梯架之間的距離BC的長度為2 3m.

（2）傾斜角∠ABC可以利用三角函數定義計算出數值，并判斷其是否在規定的安全角度0°～45°范圍內.

因為tanB=ACBC=223=33，

所以∠ABC=30°，

因為30°<45°，

所以公園新增加的滑滑梯的傾斜角符合相關規定.

在這個過程中，數形結合思想的核心價值得到了充分展現.通過巧妙地融合勾股定理與三角函數定義，我們將抽象的數學公式與直觀的幾何圖形緊密相連，這一橋梁作用使得我們能夠精準地求解出未知的邊長與角度.進一步地，通過直觀對比∠ABC與45°的大小，我們能夠迅速評估滑梯設計的安全性，這一過程不僅簡化了復雜的計算問題，還極大地增強了學生對數學概念的直觀理解與實際應用能力.數形結合不僅是一種解題策略，更是培養學生邏輯思維與空間想象能力的有效途徑，它在數學教育中占據著舉足輕重的地位.

3 利用面積公式求解一次函數與面積問題

例如 直線l1：y=13x與直線l2：y=－x+24交于點B.

（1）如圖１，求△ABC的面積；

（2）如圖2，點C為線段OB上的一動點（點C不與點O，B重合），作CD平行于y軸交直線l2于點D，過點C向y軸作垂線，垂足為E．若四邊形DECB的面積為120，求點C的坐標．

解 （1）在y=－x+24中，令x=0，則y=24，所以A0，24.

y=－x+24y=13x，解得x=18y=6，所以B18，6，

故S△ABO=12OA·xB=12×24×18=216.

（2）因為點C為線段OB上一動點（點C不與點O，B重合），所以設Ca，13a，且0<a<18，

由CD平行于y軸，得Da，－a+24，

所以DC=－a+24－13a=24－43a.

由S四邊形DECB=S△DEC+S△DCB=12DC·xB=1224－43a×18=216－12a=120，解得a=8，所以C8，83.

在處理一次函數中的面積問題時，我們面臨規則與不規則圖形的雙重考驗.規則圖形如矩形、三角形，其面積求解猶如行云流水：借助函數關系精準定位關鍵點，輕松獲取線段長度，直接套用面積公式，答案躍然紙上.

5 結語

綜上所述，在初中數學中，一次函數解題方法的研究不僅是掌握基礎知識的關鍵，更是培養邏輯思維與問題解決能力的有效途徑.通過深入剖析一次函數的性質與圖像，我們學會了如何利用代數方法求解函數表達式，如何根據函數關系確定點的坐標，進而解決面積、最值等實際問題.這一過程不僅鍛煉了我們的運算與推理能力，還讓我們深刻體會到數學與現實生活的緊密聯系.

參考文獻：

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