反比例函數與一次函數的綜合應用探究

【摘要】本文通過對反比例函數和一次函數的綜合應用的研究，探討這兩種函數在解決實際問題中的方法和應用．通過對相關案例的分析，展示如何將這兩種函數結合使用，以達到優化問題解決的效果．

【關鍵詞】初中數學；反比例函數；一次函數

在數學領域，反比例函數和一次函數是兩種重要的函數類型．它們在解決實際問題中具有廣泛的應用．本文將結合具體案例，探討如何將反比例函數和一次函數結合起來，以實現更優的問題解決效果．

1 一次函數與反比例函數的交點問題

例1 如圖1，△ABC的各頂點都在反比例函數y=kx的圖象上，其中A（m－3，－4），B（4－m，6），

（1）求反比例函數的解析式；

（2）若反比例函數圖象上的點C的橫坐標為－12，求直線AC與x軸的交點坐標；

（3）若直線AB的解析式為y=ax+b，求ax≥kx-b的解集．

解析 （1）因為Am－3，－4，B（4－m，6）恰好落到雙曲線上，

所以－4m－3=64－m，解得m=6．

所以A3，－4，

將A3，－4代入y=kx，得到k=－12．

所以反比例函數解析式為y=－12x.

（2）由點C的橫坐標為－12，可得點C（－12，1），

又因為A3，－4，

所以－12k+b=1，3k+b=－4，

解得k=－13，b=－3，

所以直線AC的方程為y=－13x－3，

所以直線AC與x軸的交點坐標為－9，0．

（3）由（1）可知A3，－4，B－2，6，

由ax≥kx-b得到ax+b≥kx，

根據圖象可知，ax+b≥kx的解集為x≤-2或0<x≤3，

故由ax≥kx-b的解集為x≤-2或0<x≥3．

點評 本題主要考查了反比例函數與一次函數的交點問題．解決這類問題需要從反比例函數和一次函數的解析式入手，找它們的共同解即兩函數圖象的交點．

2 一次函數與反比例函數在實際問題中的綜合應用

例2 如圖2是一次藥物臨床試驗中受試者服藥后血液中的藥物濃度y（微克/毫升）與用藥的時間x（小時）變化的圖象．第一次服藥后對應的圖象由線段OA和部分雙曲線AB：y=kx組成，服藥6小時后血液中的藥物濃度達到最高，16小時后開始第二次服藥，服藥后對應的圖象由線段BC和部分曲線CD：y=kx－16+m組成，其中OA與BC平行．血液中的濃度不低于5微克/毫升時有療效．

（1）分別求受試者第16小時、第22小時血液中的藥物濃度；

（2）受試者第一次服藥后第二次服藥前這16小時內，有療效的持續時間達到6小時嗎？

（3）若血液中的藥物濃度不高于4微克/毫升時才能進行第三次服藥，問受試者第二次服藥后至少經過幾小時可進行第三次服藥？

解析 （1）把點（6，8）代入雙曲線AB的解析式y=kx，

得k=48，

所以雙曲線AB的函數解析式y=48x，

當x=16時，y=4816=3，即第16小時的血液濃度為3微克/毫升，

設直線OA的解析式為y1=kx（n≠0），

把點（6，8）代入y1=kx（n≠0），

得k=43，

因為OA與BC平行，

所以直線OA，OB的解析式中的k的值一樣，

所以設直線BC的解析式為y2=43x+b，

把點B（16，3）代入，得b=－553，

所以直線BC的函數解析式為y2=43x－553，

當x=22時，y2=11，即第22小時的血液中的藥物濃度為11微克/毫升.

（2）當0<x<6時，

若y=5，則5=43x，

解得x=154.

當6≤x<16時，

若y=5，則5=48x，

解得x=485，

所以485－154=11720=5.85<6．

所以這16小時內藥物有療效的持續時間不超過6小時.

（3）把點C（22，11）代入y=48x－16+m，

得m=3．

所以曲線CD的函數解析式為y=48x－16+3，

當y=4時，x=64，64－16=48．

受試者第二次服藥后至少過48小時，才能進行第三次服藥．

點評 本題考查了一次函數與反比例函數實際問題中的綜合應用，從解題思路可以看出，解決這類問題的關鍵是正確地求出各段函數的解析式并分段進行處理．

3 結語

通過對反比例函數和一次函數的綜合應用分析可以看出，在實際問題中，應該根據具體的情況選擇合適的函數模型，并進行適當的參數調整，以達到最優的問題解決效果．

參考文獻：

[1]方慶華.反比例函數和一次函數綜合題的一題多解[J].初中生輔導，2023（Z3）：108-111.

[2]黃若明.一圖一課：專題復習課走向簡約的嘗試——以反比例函數與一次函數綜合應用專題復習為例[J].中小學數學（初中版），2021（10）：55-57.