數形結合在初中數學代數類解題中的妙用

【摘要】隨著教育改革的深入，初中數學教學越來越注重培養學生的數學思維和解決問題的能力，數形結合作為一種有效的教學方法，逐漸得到了廣泛關注和應用.本文探討了數形結合在初中數學代數類解題中的應用.數形結合方法將代數與幾何相結合，幫助學生更好地理解數學概念，提高解題效率，培養數學思維和解決問題的能力.通過一道完全平方式的具體實例，本文展示了數形結合在解決代數題目方面的優勢，為提高學生數學素養奠定基礎.

【關鍵詞】初中數學；數形結合；解題方法；數學思維

1 引言

數形結合是一種將數學問題中的代數和幾何元素相結合的解題方法.數形結合的方法可以通過圖形來表示代數問題，或者通過代數式來描述幾何問題.該方法的運用不僅可以幫助學生更好地理解數學概念，還可以提高解題效率.數形結合的方法也可以幫助學生培養數學思維和解決問題的能力.通過將代數和幾何相結合，學生可以更好地理解數學概念之間的聯系，并能夠靈活運用不同的數學方法來解決問題.

2 數形結合在初中數學代數類解題中的作用

數形結合在初中數學代數類解題中扮演著至關重要的角色.它通過將抽象的代數表達式與直觀的幾何圖形相結合，極大地降低了問題的復雜度，幫助學生更直觀地理解問題本質，從而找到解題的突破口.

一方面，數形結合能夠幫助學生將復雜的代數關系轉化為易于理解的圖形語言.例如，在解決一元一次不等式組時，通過數軸上的點集表示不等式的解集，學生可以清晰地看到解集的交集或并集，從而快速準確地得出答案.這種直觀的表示方式不僅簡化了思考過程，還提高了學生的解題效率.另一方面，數形結合還能激發學生的創新思維和解決問題的能力.在解決代數問題時，學生需要靈活運用幾何知識來構建模型，這種跨學科的融合不僅拓寬了學生的視野，還培養了他們的綜合應用能力.同時，通過數形結合，學生可以更深入地理解代數概念的本質，如函數、方程等，從而打下堅實的數學基礎.

3 試題呈現

若要計算一個正方形的面積，可以通過兩種不同的方式，將兩個方式的過程進行等式處理，如圖1所示，可得（a+b）2=a2+2ab+b2，據此，請解答以下問題：

（1）圖2中的正方形面積也可以有兩種計算方式，請列出數學等式；

（2）利用乘法法則驗證（1）中的等式；

（3）結合（1）中結論，若已知a+b+c=10，ab+ac+bc=35，計算a2+b2+c2=；

（4）如圖3所示，小明同學用三種方形紙片拼接一個面積為5a+7b9a+4b長方形.需要x張邊長為a的正方形，y張邊長為b的正方形，以及z張長為a、寬為b的長方形紙片，則x+y+z=.

4 思路分析

本題前三問較為簡單，實則是在為“數形結合”打基礎，通過前三問的求解，讓學生適應數形結合的思想，便于在第4問中使用該方式解答題目.前三問求解思路為：（1）依據正方形的面積=（a+b+c）2；同時，正方形的面積=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc，可得等式；（2）運用各項式乘各項式進行計算即可；（3）依據a2+b2+c2=（a+b+c）2－2ab－2ac－2bc，進行計算即可.

第四問若采取圖形拼湊進行求解，將會非常困難，而根據前三問的基礎，可將圖形的拼湊轉化為代數式的運算，依據所拼圖形的面積為：xa2+yb2+zab，而5a+7b9a+4b=45a2+20ab+63ab+28b2=45a2+28b2+83ab，即可得到x，y，z的值.

5 解題探究

（1）因為正方形的面積=（a+b+c）2；正方形的面積=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc，所以（a+b+c）2=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc.

（2）證明：a+b+ca+b+c=a2+ab+ac+ab+b2+bc+ac+bc+c2=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc.得證.

（3）a2+b2+c2=（a+b+c）2－2ab－2ac－2bc=102－2ab+ac+bc=100－2×35=30，故答案為30.

（4）由題可知，所拼圖形的面積為：xa2+yb2+zab，因為5a+7b×9a+4b=45a2+20ab+63ab+28b2=45a2+28b2+83ab，所以x=45，y=28，z=83，所以x+y+z=45+28+83=156.

6 結語

本題考查了完全平方公式的幾何背景，將“數式”和“圖形”結合起來，根據矩形的面積公式分整體與部分兩種思路表示出面積，然后再根據同一個圖形的面積相等即可解答.數形結合作為一種高效的解題方法，在初中數學教學中起到了重要作用.通過將代數與幾何相結合，學生能夠更深入地理解數學概念，提高解題效率，培養數學思維和解決問題的能力.在未來的數學教學中，教師應注重引導學生運用數形結合的方法，鼓勵學生將代數與幾何相互轉化，從而更好地應對各種數學問題.同時，教師還需關注學生的個體差異，因材施教，使數形結合的方法在教學中發揮更大的價值.

參考文獻：

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