分類討論思想在二次函數(shù)綜合習(xí)題中的應(yīng)用

【摘要】隨著教育改革的不斷深入，分類討論思想在數(shù)學(xué)教學(xué)中的重要性日益凸顯.本文以分類討論思想在初中二次函數(shù)綜合習(xí)題中的應(yīng)用為研究對(duì)象，通過(guò)實(shí)例分析發(fā)現(xiàn)，分類討論思想不僅能夠幫助學(xué)生深入理解二次函數(shù)，還能夠培養(yǎng)他們的邏輯思維和分析能力.

【關(guān)鍵詞】分類討論；初中數(shù)學(xué)；二次函數(shù)

1 引言

在數(shù)學(xué)教學(xué)中，分類討論思想是一種重要的思維方式，能夠幫助學(xué)生深入理解問(wèn)題，并培養(yǎng)他們的邏輯思維能力.在二次函數(shù)綜合習(xí)題中，分類討論思想的應(yīng)用尤為重要.通過(guò)引導(dǎo)學(xué)生對(duì)二次函數(shù)的性質(zhì)、圖象、頂點(diǎn)、零點(diǎn)等進(jìn)行分類討論，可以深化他們對(duì)二次函數(shù)的理解，提高解題能力.

2 試題呈現(xiàn)

如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=－x2+2x+c經(jīng)過(guò)點(diǎn)A0，1，點(diǎn)P，Q在此拋物線上，其橫坐標(biāo)分別為m、2m（m>0），連接AP，AQ.

（1）求此拋物線的解析式；

（2）當(dāng)∠PAQ的邊與x軸平行時(shí)，求點(diǎn)P與點(diǎn)Q的縱坐標(biāo)的差；

（3）設(shè)此拋物線在點(diǎn)A與點(diǎn)P之間部分（包括點(diǎn)A和點(diǎn)P）的最高點(diǎn)與最低點(diǎn)的縱坐標(biāo)的差為h1，在點(diǎn)A與點(diǎn)Q之間部分（包括點(diǎn)A和點(diǎn)Q）的最高點(diǎn)與最低點(diǎn)的縱坐標(biāo)的差為h2，當(dāng)h2－h(huán)1=m時(shí)，直接寫(xiě)出m的值.

3 思路分析

（1）一般求解析式類的問(wèn)題思路均相同，用待定系數(shù)法即可求解出解析式；（2）分AQ∥x軸、AP∥x軸兩種情況，分別根據(jù)拋物線的對(duì)稱性求得點(diǎn)Q的橫坐標(biāo)與點(diǎn)P的橫坐標(biāo)，進(jìn)而代入拋物線解析式，求得縱坐標(biāo)，即可求解；（3）分四種情況討論，當(dāng)P，Q都在對(duì)稱軸x=1的左側(cè)時(shí)，當(dāng)P，Q在對(duì)稱軸兩側(cè)時(shí)，當(dāng)點(diǎn)P在x=1的右側(cè)時(shí)，當(dāng)點(diǎn)P的縱坐標(biāo)小于1時(shí)，分別求得h1，h2，根據(jù)h2－h(huán)1=m建立方程，解方程即可求解.

4 解法探究

（1）因?yàn)閽佄锞€y=－x2+2x+c經(jīng)過(guò)點(diǎn)A0，1，

所以c=1，

所以拋物線的解析式為y=－x2+2x+1.

（2）①當(dāng)AQ∥x軸時(shí)，點(diǎn)A，Q關(guān)于對(duì)稱軸x=1對(duì)稱，

xQ=2m=2，

所以m=1，

則－12+2×1+1=2，－22+2×2+1=1，

所以P1，2，Q2，1，

所以點(diǎn)P與點(diǎn)Q的縱坐標(biāo)的差為2－1=1；

②當(dāng)AP∥x軸時(shí)，則點(diǎn)A，P關(guān)于直線x=1對(duì)稱，

xP=m=2，xQ=2m=4，

則－42+2×4+1=－7，

所以P2，1，Q4，－7，

所以點(diǎn)P與點(diǎn)Q的縱坐標(biāo)的差為1－－7=8.

綜上所述，點(diǎn)P與點(diǎn)Q的縱坐標(biāo)的差為1或8.

（3）①如圖2所示，當(dāng)P，Q都在對(duì)稱軸x=1的左側(cè)時(shí)，

則0<2m<1，

所以0<m<12；

因?yàn)镻m，－m2+2m+1，

所以Q2m，－4m2+4m+1，

所以h1=yP－yA=－m2+2m+1－1=－m2+2m，

h2=yQ－yA=－4m2+4m+1－1=－4m2+4m，

所以h2－h(huán)1=－4m2+4m+m2－2m=m，

解得m=13或m=0（舍去）.

②當(dāng)P，Q在對(duì)稱軸兩側(cè)或其中一點(diǎn)在對(duì)稱軸上時(shí)，如圖3.

則2m≥1，m≤1，即12≤m≤1，

則h1=－m2+2m，

h2=2－1=1，

所以1+m2－2m=m，

解得m=3+52（舍去）或m=3-52（舍）；

③當(dāng)點(diǎn)P在x=1的右側(cè)且在直線y=1上方時(shí)，如圖4，即1<m<2，

因?yàn)閔1=2－1=1，

h2=2－－4m2+4m+1=4m2－4m+1.

因?yàn)?m2－4m+1－1=m，

解得m=54或m=0（舍去）.

④當(dāng)點(diǎn)P在直線y=1上或下方時(shí)，如圖5，即m≥2，

h1=2－－m2+2m+1=m2－2m+1，

h2=2－－4m2+4m+1=4m2－4m+1，

所以4m2－4m+1－m2－2m+1=m，

解得m=1（舍去）或m=0（舍去）.

綜上所述，m=13或m=54.

5 結(jié)語(yǔ)

本題屬于二次函數(shù)綜合題，主要考查了二次函數(shù)的性質(zhì)、待定系數(shù)法求解析式、頂點(diǎn)式，熟練掌握二次函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.通過(guò)本題的探討，可以看到分類討論思想不僅能夠幫助學(xué)生深入理解二次函數(shù)的性質(zhì)和圖象，還能夠培養(yǎng)他們的邏輯思維和分析能力.在數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師應(yīng)該注重培養(yǎng)學(xué)生的分類討論思想，引導(dǎo)他們?cè)诮鉀Q二次函數(shù)綜合習(xí)題時(shí)，靈活運(yùn)用分類討論的方法，從而更好地理解和掌握二次函數(shù)的知識(shí).

參考文獻(xiàn)：

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