初中數(shù)學(xué)四邊形問題中對(duì)角互補(bǔ)模型的理解和應(yīng)用

【摘要】隨著我國(guó)教育改革的深入推進(jìn)，培養(yǎng)學(xué)生的邏輯思維和解決問題的能力成為教育的重要目標(biāo)之一.本文主要探討初中數(shù)學(xué)四邊形問題中對(duì)角互補(bǔ)模型的理解和應(yīng)用，通過具體的例子和問題，展示如何利用對(duì)角互補(bǔ)模型推導(dǎo)四邊形的性質(zhì)和定理.

【關(guān)鍵詞】初中數(shù)學(xué)；對(duì)角互補(bǔ)模型；解題技巧

1 引言

在初中數(shù)學(xué)四邊形問題中，對(duì)角互補(bǔ)模型是一個(gè)重要的概念.對(duì)角互補(bǔ)模型在解決四邊形問題中起著關(guān)鍵的作用.通過利用對(duì)角互補(bǔ)模型，我們可以推導(dǎo)出四邊形的各種性質(zhì)和定理.很多情況下對(duì)角互補(bǔ)模型的理解和應(yīng)用是解決四邊形問題的關(guān)鍵，掌握了這個(gè)模型，學(xué)生可以更好地理解和解決四邊形問題.本文以一道對(duì)角互補(bǔ)模型的例題，展示對(duì)角互補(bǔ)模型在四邊形解題中的重要性.

2 試題呈現(xiàn)

例1 在四邊形ABCD中，∠B+∠D=180°，對(duì)角線AC平分∠BAD.

（1）如圖1，若∠DAB=120°，且∠B=90°，試探究邊AD，AB與對(duì)角線AC的數(shù)量關(guān)系為.

（2）如圖2，若將（1）中的條件“∠B=90°”去掉，（1）中的結(jié)論是否成立？請(qǐng)說明理由.

（3）如圖3，若∠DAB=90°，若AD=3，AB=7，求線段AC的長(zhǎng)和四邊形ABCD的面積.

3 思路分析

（1）先證Rt△DAC≌Rt△BAC，得出AD=AB，再求∠DCA的度數(shù)，得出AD=12AC，進(jìn)而求出AD+AB=AC.

（2）先畫輔助線：以C為頂點(diǎn)，AC為一邊作∠ACE=60°，∠ACE的另一邊交AB延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，作輔助線后證明△ACE為等邊三角形，根據(jù)四邊形內(nèi)角和為360°，∠B+∠D=180°，求出∠DCB=60°，進(jìn)而證明△CAD≌△CEB，得出AD=BE，最后得出AD+AB=AC.

（3）先證△ACE為等腰直角三角形，再證明△ADC≌△EBC，得出AD=BE，進(jìn)而求出AC=52，求四邊形ABCD的面積可以轉(zhuǎn)化為求△ACE的面積.

4 解法探究

（1）因?yàn)椤螧+∠D=180°，∠B=90°，

所以∠D=∠B=90°.

因?yàn)閷?duì)角線AC平分∠BAD，

所以∠DAC=∠BAC.

因?yàn)锳C=AC，

所以Rt△DAC≌Rt△BACAAS，

所以AD=AB.

因?yàn)椤螪AB=120°，

所以∠DAC=12∠DAB=60°，

所以∠DCA=30°，

所以AD=12AC，

所以AD=AB=12AC，

所以AD+AB=AC.

（2）問題（1）中結(jié)論成立，理由如下：

以C為頂點(diǎn)，AC為一邊作∠ACE=60°，∠ACE的另一邊交AB延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，如圖4所示.

由（1）可得：∠CAB=60°，

則因?yàn)椤螦CE=60°，

所以∠AEC=60°，

所以△ACE為等邊三角形，

所以AC=AE=CE.

因?yàn)椤螪+∠ABC=180°，

∠CBE+∠ABC=180°，

所以∠D=∠CBE；

因?yàn)椤螦BC+∠D+∠DAC+∠DCB=360°，

∠D+∠ABC=180°，∠DAB=120°，

所以∠DCB=60°，

所以∠DCB=∠ACE，

所以∠DCB－∠ACB=∠ACE－∠ACB，

所以∠DCA=∠BCB，

所以△CAD≌△CEBAAS，

所以AD=BE.

因?yàn)锳C=AE=AB+BE，

所以AC=AD+AB.

（3）過點(diǎn)C作CE⊥AC交AB延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，如圖5所示.

因?yàn)閷?duì)角線AC平分∠BAD，∠BAD=90°，

所以∠CAE=∠DAC=45°.

因?yàn)镃E⊥AC，

所以∠ACE=90°，

所以∠E=180°－∠ACE－∠CAE=45°，

所以∠E=∠CAE，∠E=∠DAC，

所以AC=CE；

因?yàn)椤螦BC+∠D=180°，

∠ABC+∠CBE=180°，

所以∠D=∠CBE，

所以△ADC≌△EBCAAS，

所以AD=BE，

所以AE=AB+BE=AB+AD；

因?yàn)锳D=3，AB=7，

所以AE=10；

在Rt△ACE中，AC2+CE2=AE2，

所以AC=CE=52，

所以S△ACE=12×52×52=25；

因?yàn)椤鰽DC≌△EBC，

所以S△ADC=S△EBC，

所以S四邊形ABCD=S△ADC+S△ACB=S△EBC+S△ACB=SACE=25.

5 結(jié)語

在四邊形中，邊和角的特殊性可能會(huì)帶來一些隱含的性質(zhì)，本題中的“對(duì)角互補(bǔ)”特殊性，帶來了隱含“邊的性質(zhì)”.在四邊形的幾何世界中，每條邊和每個(gè)角都扮演著獨(dú)特的角色，它們的特殊性不僅是它們自身的屬性，更是整個(gè)四邊形性質(zhì)的關(guān)鍵.當(dāng)深入探究四邊形時(shí)，學(xué)生可以發(fā)現(xiàn)某些特殊的角關(guān)系，如對(duì)角互補(bǔ)，能夠揭示出四邊形邊的一些隱含性質(zhì).這些隱含的性質(zhì)，不僅僅豐富了學(xué)生對(duì)四邊形的認(rèn)識(shí)，也為他們解決四邊形問題提供了新的視角和方法.因此，在教學(xué)中，教師應(yīng)該引導(dǎo)學(xué)生不僅僅看到表面的性質(zhì)，更要去挖掘和探索那些隱含的性質(zhì)，從而培養(yǎng)學(xué)生深入思考，善于發(fā)現(xiàn)，創(chuàng)新的能力.

參考文獻(xiàn)：

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