初中數學圖象題中的“動點問題”解題步驟探究

【摘要】在當前的初中數學教學中，圖象題尤其是動點問題，由于其獨特的解題思路和技巧，往往成為學生學習的難點.本文以初中數學圖象題中的動點問題為研究對象，旨在探討其解題步驟.通過具體例題，詳細講解動點問題的解題步驟，探討在解題過程中可能遇到的一些困難和挑戰，以及如何克服這些困難，從而幫助學生在面對動點問題時，能夠有一個清晰的解題思路，提高解題的準確性和效率.

【關鍵詞】動點問題；初中數學；解題方法

1 引言

在初中數學教學過程中，動點問題作為圖象題的重要組成部分，一直以來都是學生學習的重點和難點.本文將從動點問題的解題思路出發，并通過具體例題，詳細講解解題步驟.同時，還將探討如何運用這些解題步驟，解決實際問題，從而提高學生的數學思維能力和解題技巧.

2 試題呈現

如圖1，在平面直角坐標系xOy中，已知二次函數y=ax2+bxa≠0的圖象經過點A2，4，與x軸交于點B6，0，一次函數y=kx+nk≠0的圖象經過A，B兩點.

（1）求二次函數和一次函數的函數表達式；

（2）若點P是二次函數圖象對稱軸上的點，且PA=PB，如圖2，求點P的坐標；

（3）點M是二次函數圖象位于第一象限部分上的一動點，過點M作x軸的垂線交直線AB于點N，若點M的橫坐標為m.試探究：是否存在常數m，使得MN的長為4？若存在，求出m的值，若不存在，請說明理由.

3 思路分析

圖象題（不僅僅是動點問題）第一問往往是求函數解析式，這時候把已知條件中的坐標代入，求未知量即可.因此第（1）問中，只需要把點A、B的坐標代入拋物線和直線表達式，即可求解.涉及距離問題，必須掌握的是坐標系中兩點之間的距離公式，這對解決動點問題非常重要.第（2）問中，P為定點，難度較低，只需要先求出二次函數的對稱軸，設P3，t，再用兩點間距離公式列方程即可求解.第（3）問是動點問題中經典的求“距離或長度”的問題，該類問題的解題思路一般為：①將動點坐標設為未知量；②用距離公式和坐標，表示出含未知量的距離表達式；③根據未知量的取值范圍，求解長度的取值范圍；④在長度取值范圍中篩選滿足條件的具體值.因此該問可以先設點M的坐標為m，－12m2+3m，且0<m<6，再根據MN的長為4列出方程－12m2+3m－－m+6=4求解即可.

4 解法探究

（1）利用待定系數法，把點A2，4，B6，0代入拋物線y=ax2+bxa≠0，

得4a+2b=436a+6b=0，

解得a=－12b=3，

故二次函數的表達式為：y=－12x2+3x；

把A2，4，B6，0代入一次函數表達式y=kx+nk≠0，

得2k+n=46k+n=0，

解得k=－1n=6，

故一次函數的表達式為：y=－x+6；

（2）二次函數y=－12x2+3x的對稱軸為直線x=－32×－12=3，

由點P是二次函數圖象對稱軸上的點，可設P3，t，這樣的設定可以用未知量t來表示待求點的坐標，從而簡化問題.然后將待求點坐標根據已知條件構建含參等式，求解未知量即可.步驟如下：

因為PA=PB（已知條件），

所以PA2=PB2（等式雛形），

所以（3－2）2+（t－4）2=（3－6）2+t2（含參等式），

解得：t=1，

所以P3，1；

（3）在前兩問的基礎上，易想到該題需要根據點的坐標和已知條件來構建含參等式.至此已經知道二次函數和一次函數的具體形式，可以通過將點M、N的坐標代入二次函數和一次函數的方程中，得到兩個關于m的坐標.然后就可以通過構建方程來求出m的值，從而得到待求點的坐標.

因為第一象限點M的橫坐標為m.

所以點M坐標為m，－12m2+3m（0<m<6），

所以點N坐標為m，－m+6，

因為MN的長為4，

所以－12m2+3m－－m+6=4，

所以－12m2+4m－6=4 ①，

或－12m2+4m－6=－4 ②，

解方程①，無解；

解方程②有m1=4－23，m2=4+23（舍去），

所以m的值為4－23.

5 結語

本題是二次函數的綜合題，熟練掌握二次函數的圖象及性質，兩點間距離公式是解題的關鍵，在最后一步中，通過m的取值范圍進行得數的舍去，是非常重要的難點，也是“討論思維”的重點.解決圖象動點問題的關鍵在于將待求點的坐標用未知量表示，然后根據坐標和已知條件構建含參等式，最后求解未知量即可.這種方法不僅適用于本文中二次函數的圖象題，也適用于其他類型的圖象題.通過掌握這種方法，學生可以提高解決動點問題的能力，提高數學思維和解題技巧.通過本文的探究，學生深入了解了初中數學圖象題中的動點問題的解題步驟.從問題的解題思路，再到具體的解題步驟，筆者都進行了詳細的闡述和講解，主要強調了理解動點問題的關鍵在于理解點的運動規律，以及如何運用這些規律解決問題.

參考文獻：

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