初中數(shù)學(xué)“圓”中的分類討論思想

【摘要】在當(dāng)今教育環(huán)境下，培養(yǎng)學(xué)生的邏輯思維和解決問題的能力已成為教育改革的重要目標(biāo)之一.本文以初中數(shù)學(xué)中的圓為研究對(duì)象，探討分類討論思想在解題過程中的運(yùn)用，分析在圓的學(xué)習(xí)中常見的分類討論問題，并通過具體例題進(jìn)行解釋和說明，以促進(jìn)學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí).

【關(guān)鍵詞】初中數(shù)學(xué)；圓；解題方法

1 引言

在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中，圓作為基本的幾何概念之一，涉及許多分類討論的問題.分類討論思想是解決這類問題的關(guān)鍵，它要求學(xué)生對(duì)圓的性質(zhì)和定理有深入的理解，并能靈活運(yùn)用.本文將以一道經(jīng)典題目為例，探討初中數(shù)學(xué)中圓的分類討論思想，分析其在教學(xué)中的應(yīng)用和效果，并提出相應(yīng)的教學(xué)策略，以促進(jìn)學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí).

2 試題呈現(xiàn)

如圖1所示，邊長(zhǎng)為4的正方形ABCD中，頂點(diǎn)A落在矩形DEFG的邊EF上，EF=5，而矩形的頂點(diǎn)G恰好落在BC邊上.點(diǎn)O是AB邊上一動(dòng)點(diǎn)（不與A，B重合），以O(shè)為圓心，OA長(zhǎng)為半徑作圓，當(dāng)⊙O與矩形DEFG的邊相切時(shí)，AO的長(zhǎng)為.

3 思路分析

利用矩形、正方形的性質(zhì)，勾股定理和相似三角形的判定與性質(zhì)求得線段CG、DE、AE、AH、FH的長(zhǎng).再利用分類討論的方法：①當(dāng)⊙O與矩形DEFG的邊FG相切時(shí);②當(dāng)⊙O與矩形DEFG的邊DG相切時(shí)討論解答.利用直線與圓相切的定義，圓心到直線的距離等于半徑，設(shè)OA=x，則OM=x，利用相似三角形的判定與性質(zhì)得出比例式即可求解.

4 解法探究

因?yàn)樗倪呅蜛BCD是正方形；

所以AD=CD=4，

∠C=∠ADC=90°.

因?yàn)樗倪呅蜠EFG為矩形；

所以DG=EF=5，

∠E=∠EDG=90°.

所以CG=DG2－DC2=3.

因?yàn)椤螩DG+∠ADG=90°，

∠EDA+∠ADG=90°，

所以∠CDG=∠EDA；

因?yàn)椤螩=∠E=90°，

所以△CDG∽△EDA，

所以EDCD=AECG=ADDG，

所以DE4=AE3=45，

所以DE=165，AE=125，

所以AF=EF－AE=135.

①當(dāng)⊙O與矩形DEFG的邊FG相切時(shí)，設(shè)AB與FG交于點(diǎn)H，過點(diǎn)O作OM⊥FG于點(diǎn)M，如圖2所示.

因?yàn)椤螪AB=90°，

所以∠EAD+∠FAB=90°；

因?yàn)椤螰=90°，

所以∠FAB+∠FHA=90°，

所以∠EAD=∠FHA.

因?yàn)椤螮=∠F=90°，

所以△EAD∽△FHA，

所以DEAF=ADAH=AEFH，

所以165135=4AH=125FH，

所以AH=134，F(xiàn)H=3920.

設(shè)OA=x，

因?yàn)椤袿與矩形DEFG的邊FG相切，

所以O(shè)M=OA=x.

因?yàn)镺M⊥FG，AF⊥FG，

所以O(shè)M∥AF，

所以O(shè)MAF=OHAH，

所以x135=134－x134，

解得：x=139，

所以O(shè)A=139.

②當(dāng)⊙O與矩形DEFG的邊DG相切時(shí)，如圖3所示.

過點(diǎn)O作OM⊥DG于點(diǎn)M，延長(zhǎng)MO，交EF于點(diǎn)N，則ON⊥EF，

MN=DE=165.

設(shè)OA=x，

因?yàn)椤袿與矩形DEFG的邊DG相切，

所以O(shè)M=OA=x；

所以O(shè)N=MN－OM=165－x.

因?yàn)镺N∥FH，

所以O(shè)NFH=OAAH，

所以165－x3920=x134；

解得：x=2，

所以O(shè)A=2.

（3）過點(diǎn)O作OM⊥DE于點(diǎn)M，如圖4所示.

可知OM>OA，⊙O與矩形DEFG的邊DE相離.

綜上，以O(shè)為圓心，OA長(zhǎng)為半徑作圓，當(dāng)⊙O與矩形DEFG的邊相切時(shí)，AO的長(zhǎng)為139或2.

5 結(jié)語(yǔ)

本題主要考查了矩形、正方形的性質(zhì)、圓的切線的性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)、平行線的判定與性質(zhì)，利用分類討論的思想方法是解題的關(guān)鍵.通過本文的探討，可以看到分類討論思想在初中數(shù)學(xué)“圓”的教學(xué)中的重要性和必要性.分類討論思想的應(yīng)用不僅能夠提高學(xué)生的解題能力，還能夠培養(yǎng)學(xué)生的邏輯思維和數(shù)學(xué)素養(yǎng).在教學(xué)過程中，教師應(yīng)該注重引導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用分類討論思想，通過具體例題的講解和練習(xí)，讓學(xué)生在實(shí)踐中掌握分類討論的方法和技巧.

參考文獻(xiàn)：

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