一道線段長度問題的解題方法研究

【摘要】 線段長度問題是平面幾何問題中的常見問題，涉及知識點多樣，考查學生對于數(shù)形結(jié)合思想、化歸轉(zhuǎn)化思想等數(shù)學思想的理解程度.本文探究一道線段長度問題的解題思路，通過詳細分析題目特點，提出多種解題方法，并對每一種方法作出評注.通過對不同方法的分析，歸納解題規(guī)律，以求進一步完善線段長度問題的理論體系.

【關鍵詞】線段長度；解題技巧；初中數(shù)學

例題呈現(xiàn)

如圖1所示，已知AC為圓O的直徑，B為圓上（除點A、C外一點），∠ABC的角平分線交圓O于點D.若AB=6，BC=2，求BD的長.

方法展示

視角1 建立線段等式

解法1 解三角形

三角形是平面幾何問題中的基本圖形，利用解三角形的處理方法，結(jié)合三角函數(shù)的知識即可解題.

解 如圖2所示，連接AD、CD，過點A作AH⊥BD于點H.

因為AC是圓O的直徑，

所以∠ABC=∠ADC=90°，

所以AC=AB2+BC2=210.

因為BD為∠ABC的角平分線，

所以∠ABD=∠CBD=45°.

因為∠ADC=90°，∠ACD=∠ABD=45°，

所以AD=CD=AC·sin45°=25，

所以AH=BH=AB·sin45°=32.

所以DH=AD2－AH2=2，

BD=BH+DH=42.

解法2 利用面積的不變性

等面積法是解答許多平面幾何問題的重要方法，利用面積的不變性可以得到邊長之間

解 如圖3所示，連接AD、DC、OD.

因為AC是圓O的直徑，

所以∠ABC=∠ADC=90°.

因為BD平分∠ABC，

所以∠ABD=12∠ABC=45°.

因為∠ACD=∠ABD=45°，

所以△ACD為等腰直角三角形.

因為AB=6，BC=2，

所以AD=CD=25.

因為S四邊形ABCD=AB·BC2+AD·DC2=BD·ABsin45°2+BD·BCsin45°2，

所以BD=42.

評注 本題是一個靜態(tài)幾何問題，在解決平面幾何問題中的基本思路中，首先要考慮根據(jù)幾何圖形的結(jié)構(gòu)特征建立方程求解，將幾何問題代數(shù)化.解三角形、利用面積的不變性等都是對線段建立等式的常用方法.

視角2 利用圖形變化

解法3 相似變化

解 如圖4所示，過點E作EF∥BC，交AB于點F，連接CD.

因為EF∥BC，所以△AEF∽△ACB.

因為AC是圓O的直徑，所以∠AFE=∠ABC=90°.

因為BD為∠ABC的角平分線，所以∠ABE=∠CBE=45°，EF=FB.

因為AB=6，BC=2，所以AFFE=ABCB=3，EF=32，BE=322.

因為∠BAE=∠BDC，∠ABE=∠DBC，所以△ABE∽△DBC，ABBD=BEBC，BD=42.

解法4 軸對稱變化

解 如圖5所示，連接AD、CD.在BA上截取線段BM，使得BM=BC，連接DM，并過點D作DN⊥AB于點N.

因為AC是圓O的直徑，

所以∠ABC=∠ADC=90°.

因為AB=6，BC=2，所以AC=210.

因為BD平分∠ABC，所以∠ACD=∠ABD=∠CBD=45°，AD=CD=25.

因為BM=BC，BD=BD，∠ABD=∠CBD，所以△BMD≌△BCD.

所以BM=BC=2，DM=CD=25.

所以MN=12AM=2，BN=BM+MN=4.

在Rt△DNM中，DN=DM2－MN2=4，

在Rt△DNB中，BD=DN2+BN2=42.

評注 圖形變化在初中平面幾何問題中具有重要的作用，主要的圖形變化方式有相似變化、軸對稱變化、旋轉(zhuǎn)變化等等.圖形變化的目的是將結(jié)合條件進行位置上的聚焦，從而便于幾何量的求解.

結(jié)語

通過對上述這道典型例題兩個視角的分析，可以發(fā)現(xiàn)，對于靜態(tài)的幾何問題主要可以從兩個方面來解決：一是利用平面幾何的相關性質(zhì)和定理建立關于幾何量的等式，二則是善于使用各種圖形變換，擺脫原本的圖形結(jié)構(gòu)，將已知條件進行位置上的轉(zhuǎn)化，從而得到相應的答案.