透視正方形，探尋線段長

【摘要】正方形是平面幾何問題中較為重要的一類基本圖形，在圖形變換、對稱性等研究中發(fā)揮著重要作用.以正方形為背景的線段長問題在中考和各地模擬題中考查頻率高，也是勾股定理的一個應(yīng)用體現(xiàn).本文結(jié)合實例探討解答此類問題的常用方法，幫助學(xué)生更好地掌握此類問題的解題策略.

【關(guān)鍵詞】正方形；線段；初中數(shù)學(xué)

例題呈現(xiàn)

如圖1所示，正方形ABCD的邊長為6，其中CE=2，CF⊥BF，求OF的長.

方法展示

方法1 尋找相似三角形

解 如圖2所示，在正方形ABCD中，

因為BC=6，CE=2，

所以BD=62，BO=32.

在Rt△BCE中，

BE=BC2+CE2=210.

因為CF⊥BE，CE⊥BC，∠CBE=∠FBC，

所以△BCF∽△BEC，

BCBE=BFBC，

BF=9510.

在△BOF和△BED中，

∠OBF=∠EBD，BOBE=BFBD，

所以△BOF∽△BED，

由BOBE=OFED，得OF=655.

評注 尋找題目中具有比例關(guān)系的線段或相等的角，其構(gòu)成的三角形就可能是相似三角形.找到相似三角形后，就可以利用線段的比例關(guān)系找到未知量和已知量之間的比值大小，由此即可得到線段長度.

方法2 利用圖形變化

解 如圖3所示，作BG=CF，連接OG，記OC與BE的交點為M.

因為ABCD為正方形，

所以BO=CO，BO⊥CO.

因為CF⊥BE，

所以∠BOM=∠MFC=90°.

因為∠OMB=∠FMC，

所以∠OBM=∠FCM，△BOG≌△COF.

所以O(shè)G=OF，

∠GOF=∠FOC+∠COG=∠GOB+∠COG=90°，

所以△GOF是等腰直角三角形.

因為BC=6，CE=2，

所以BE=210，BF=9510.

在Rt△BCF中，由勾股定理可得CF=3105，

所以BG=CF=3105，

OF=22GF=22（BF－BG）=655.

評注 正方形的對角線是互相平分的，因此就可以以此為基礎(chǔ)，通過旋轉(zhuǎn)、平移、對稱的圖形變化方式來構(gòu)造相應(yīng)的圖形，從而實現(xiàn)幾何條件的位置轉(zhuǎn)化.

方法3 構(gòu)造直角三角形

解 如圖4所示，分別過點O，F(xiàn)作ON⊥BC于點N，F(xiàn)P⊥BC于點P，再過點F作FM⊥ON于點M.

因為BC=6，CE=2，

所以BE=210，BF=9510.

因為FP⊥BC，CE⊥BC，

所以△BFP∽△BEC.

所以BPBC=BFBE=FPEC，

BP=275，F(xiàn)P=95.

因為FM⊥ON，ON⊥BC，

所以四邊形MNPF是矩形.

所以O(shè)M=ON－FP=65，

FM=BP－BN=125.

在Rt△MOF中，由勾股定理可得OF=655.

評注 利用正方形獨特的垂直條件，就可以構(gòu)造相應(yīng)的直角三角形，利用勾股定理得到除目標線段的其他邊的邊長，即可解得.

方法4 建立平面直角坐標系

解 如圖5所示，以B為原點，BC所在直線為x軸，AB所在直線為y軸建立平面直角坐標系.

在正方形ABCD中，因為BC=6，CE=2，O是對角線AC和BD的交點，

所以O(shè)（3，3），E（6，2），C（6，0），

由題意可得yBE=13x.

因為CF⊥BE，

所以kBE·kCF=－1，

kCF=－3.

因為直線CF過點C（6，0），

所以yCF=－3x+18.

所以點F的坐標是直線BE和直線CF的交點，

解得F（275，95）.

由距離公式可得OF=（275－3）2+（95－3）2=655.

評注 利用數(shù)形結(jié)合思想并結(jié)合正方形的特點，可以構(gòu)造合適的平面直角坐標系，寫出各點的坐標，利用兩點之間距離的坐標公式即可得到線段的長度.

結(jié)語

以上4種方法各有特點，學(xué)生需要根據(jù)題目具體情況具體分析.其中方法1和方法2需要較強的幾何直覺，要善于從圖形中發(fā)現(xiàn)問題的本質(zhì).而方法3則較為基礎(chǔ)，其核心就是勾股定理.方法4則是從代數(shù)的角度，是一個通解通法，但是對正方形以外的圖形要慎重使用.

得求線段方法者，得幾何半壁江山.教師在教學(xué)的過程中要側(cè)重于方法的總結(jié)歸納，讓學(xué)生在解題訓(xùn)練和總結(jié)中不斷提高幾何直覺.