一道線段長度問題的思路探索與多元解法

【摘要】線段長度問題是一類典型的平面幾何問題，雖然只涉及對線段的運算，但實際上是一類綜合題型，涉及勾股定理、相似三角形、幾何變換等知識點.解答此類問題學生不僅需要掌握基本的平面幾何問題處理方法，還要靈活運用各類數學思想.本文探究一道典型例題的解題思路，并據此提出多種解法，為學生解答此類問題提供指導，提高數學學科核心素養.

【關鍵詞】圖形對稱；初中數學；解題技巧

1 例題呈現

如圖1所示，在△ABC中，AB=AC=10，E，D分別是AB，AC上的點，BD與CE交于點F，BE=4，CD=2，且BD=CE，求線段BD的值.

2 思路探索

本題中的圖形背景是等腰三角形，具有很強的對稱性，條件中相等的兩條線段都是由底邊的一個端點與對腰上確定的點連接形成的線段.問題類型是計算具有等量關系的線段長度.接下來就要思考：如何構造輔助線？如何利用等腰三角形的對稱性？常用的求解線段長度的方法有哪些？由此提出下列幾種解法，以供讀者參考.

3 解法展示

解法1 利用圖形對稱性轉移等量，并結合勾股定理求解.

解 如圖2所示，在BA上取BH=CD=2，連接CH，過點C作CP⊥AB于點P.

因為BH=CD，

所以∠ABC=∠ACB.

因為BC=BC，

所以△BHC≌△CDB，CH=BD.

因為BD=CE，

所以CH=CE.

因為CP⊥AB，

所以HP=HE=1，

AP=AE+PE=7.

在Rt△APC中，由勾股定理得：

CP2=AC2－AP2=51.

在Rt△PHC中，由勾股定理得：

CH2=PC2+PH2=52.

因為CH>0，

所以CH=213，

BD=CH=213.

評注 勾股定理是計算線段長度的常用工具之一，要想構造所求線段相關的直角三角形并關聯已知量與未知量之間的關系，就需要充分利用等腰三角形的對稱性轉移等量.對稱思想是高中數學中的一個重要思想，對于簡化計算，提高計算效率有著重要作用.

解法2 作平行線構造相似三角形，結合比例關系解題.

解 如圖3所示，過點A作AH⊥BC于點H，過點E作EI⊥BC于點I，過點D作DG⊥BC于點G.

設GC=a，DG=b，

在△ABC中，因為AB=AC，

所以∠ABC=∠ACB.

因為AH⊥BC，EI⊥BC，DG⊥BC，

所以AH∥EI∥DG，

△CDG∽△BEI∽△BAH.

所以CDAC=CGCH，BEBA=BIBH，BECD=BICG，

所以HC=5a，BI=2a，HA=5b，EI=2b.

在等腰三角形ABC中，AH⊥BC，

所以HC=HB=5a，

IC=8a，BG=9a.

在Rt△ECI和Rt△BDG中，

因為CE=BD，

所以CI2+IE2=BG2+DG2.

在Rt△CDG中，

因為CG2+DG2=CD2，代入數據得a2=35.

因為BD=CE，

所以BD2=CE2=81a2+b2=4+80a2=52，

BD=213.

評注 條件中包含已知線段的分點，可以先利用相似三角形對應線段成比例得到未知線段的比例關系，再通過勾股定理計算所求線段的長.

解法3 建立直角坐標系，利用解析法解題.

解 如圖4所示，以BC中點為原點O，BC所在直線為x軸建立平面直角坐標系.

分別過D，E兩點作BC的垂線，垂足分別為H，G.

設OB=OC=a，OA=b，

所以B（－a，0），C（a，0），A（0，b）.

因為AO⊥BC，DH⊥BC，

所以AO∥DH，△ACO∽△DCH，

所以CHCO=CDCA=DHAO.

因為CD=2，AC=10，

所以CH=15a，DH=15b，

所以D（45a，15b），

同理可得E（－35a，25b）.

因為BD=EC，

所以BH2+DH2=CG2+EG2，

即3b2=17a2.

在△ACO中，OC2+OA2=AC2，

所以a2+b2=100，

所以a2=15，b2=85.

所以BD=（95a）2+（15b）2=213.

評注 數形結合思想是初中數學中的一個重要思想.在平面直角坐標系中線段的長度可以利用兩點之間坐標公式求出，這樣思路就更為直接，只需要根據題目已知條件將所需要的點的坐標求出即可.

4 結語

上述三種解法從不同的角度解答了這道線段長度問題.總的來說，想要求解線段長度，從代數和幾何兩個方面，各有一種方法，即勾股定理和兩點之間坐標公式，但是其實兩者的本質是一樣的.同時，還要選擇正確的解題思路，發現問題中圖形的特征，合理構造輔助線，實現幾何量的等量轉化，從而使題目條件更加集中，由此簡化解題過程.