巧構輔助圓，妙用相似比

【摘要】平面幾何問題中有一些“美麗”的定理，它們很容易從事實中被歸納出來，但證明的方法卻隱藏很深，構造輔助圓和相似比模型就是其中的典型.本文以一道中考模擬題為例，從不同的視角給出此題的解題方法，歸納總結核心知識點和基本模型，幫助學生提高解決平面幾何問題的能力.

【關鍵詞】輔助圓；初中數學；解題技巧

例題呈現

如圖1所示，在Rt△ABC中，已知∠ACB=90°，AC=BC=3，CE⊥AB，F是CE的中點，連接AF并延長，交BC于點D.作CG⊥AD于點G，連接EG，求EG的長.

問題分析

解題前，依據題意可以獲得以下的基本結論：

①如圖2所示，若△ABC和△ABD都是直角三角形，則A，B，C，D四點共圓.

②設AB=2r，∠DAC=α，則CD=2rsinα.

證明 取AB的中點O，連接OD，OC，作OE⊥CD，垂足為點E.

因為OE⊥CD，

所以CD=2DE，∠COD=2∠DOE.

因為∠COD=2∠CAD=2α，

所以∠DOE=α.

所以在Rt△DOE中，DE=DO·sinα=rsinα，

所以CD=2rsinα.

解法展示 視角1 構造輔助圓，利用圓的相關性質求解.

解法1 如圖3所示，取AC的中點O，連接GO，EO，作OI⊥GE.

在Rt△FEA中，sin∠FAE=EFAF=55.

則利用結論②可得：

EG=ACsin∠FAE=355.

解法2 如圖4所示，作EH⊥AD于點H.

在△AFE中，tan∠EAF=12，sin∠EAF=55.

所以EH=AE·sin∠EAF=31010.

因為CG⊥AD，

所以∠CGA=∠CEA=90°，

所以C，G，E，A四點共圓，∠EGA=∠ECA=45°，

所以GE=2EH=355.

評注 利用圖形的特征構造相應的輔助圓，再結合圓心角的性質和相等角的三角函數值相等的條件得到邊長之比的關系，由此即可解出長度的大小.

視角2 構造相似三角形，利用比例關系求解.

解法3 如圖5所示，取BD的中點H，連接EH，在AD上取一點I，使AI=CG.

因為EC=EA，∠GCE=∠IAE，AI=CG，

所以△GCE≌△IAE，EG=EI，

所以∠GEI=∠CEA=90°，△EGI是等腰直角三角形.

由平行線的性質可得CD=BH=HD=1，

因為△ACG∽△ADC，

所以ACAD=AGAC=CGDC.

所以AI=CG=31010，AG=91010，

GI=AG－AI=3105.

因為△EGI是等腰直角三角形，

所以GE=GI2=355.

解法4 如圖6所示，作GN⊥AB，易得△GNA∽△FEA.

在Rt△AEF中，因為AE=322，EF=324，

所以FA=3104.

在Rt△CGA中，

因為CG2=AC2－AG2=AC2－（AF+FG）2，

所以GF=31020，AG=91010.

因為△GNA∽△FEA，

所以GNFE=AGAF=NAEA，

GN=9210，AN=925.

所以NE=AN－AE=3210，

EG=NE2+NG2=355.

評注 構造相似三角形是解答平面幾何問題的有效途徑，可以幫助我們將角的關系轉化為邊長的關系.在平面幾何問題中，相似三角形有許多的構型，掌握了這些基本構型，才可以從錯綜復雜的圖形中分離出解決問題的基本圖形，從而獲得解題思路.

結語

通過深入探究構造輔助圓和利用相似比解答平面幾何問題的解題過程，我們可以發現這兩種方法在數學解題中發揮著重要的作用，大大降低了解題的難度.同時，合理使用這兩種方法在培養學生的邏輯思維和空間想象能力上起到了關鍵作用.教師在教學的過程中，要剖析方法背后的數學思想與本質內涵，幫助學生構建相應的知識體系，提高解決問題的能力.