探究定值，多解歸一

【摘要】幾何定值問題是中考數學中的一類基本問題，涵蓋了線段、三角形、四邊形等多種幾何元素，同時還對相似和全等三角形、勾股定理等知識綜合考查.本文結合一道實例探討幾何定值問題的多種解法，在不同視角下尋求共同的解題規律，幫助學生攻克難點，培養其邏輯思維能力和幾何想象能力，提高數學學科核心素養.

【關鍵詞】初中數學；幾何定值；一題多解

1 例題呈現

如圖1所示，已知扇形AOB的半徑OA=3，∠AOB=90°，點C是弧AB上異于A，B的動點，過點C作CD⊥OA于點D，作CE⊥OB于點E，連接DE，G，H兩點在線段DE上，且DG=GH=HE，求證：CD2+3CH2為定值.

2 問題分析

對題目進行簡單分析后，可以得到以下基本結論：

結論1 四邊形OECD是矩形，且ED=OC=3.四邊形OGCH是平行四邊形.

結論2 由于H，G兩點是線段ED的三等分點，因此可以構造出相似比為1∶3或2∶3的相似三角形.

結論3 四邊形OECD是矩形，可以利用矩形的直角性質，結合勾股定理解題.

3 視角展示

視角1 添加平行線構造成比例線段，結合相似三角形和勾股定理解題.

解法1 如圖2所示，過點H作HP⊥CE于點P，

則HP=13CD，CP=23CE.

在△CHP中，CH2=HP2+CP2，

即CH2=（13CD）2+（23CE）2

=19CD2+49CE2.

所以CD2+3CH2=CD2+3（19CD2+49CE2）=43（CD2+CE2），

其中CD2+CE2=ED2=9，

故CD2+3CH2=12，為定值.

解法2 如圖3所示，延長CH和AO，交于點P，CP交OE于點Q.

因為EHHD=12，

所以CP=3CH，PO=DO，

則CP2=9CH2=PD2+CD2.

因為PD2=4OD2=4（OC2－CD2），

所以9CH2=4（OC2－CD2）+CD2.

又因為OC=3，

所以9CH2=36－3CD2，

故CD2+3CH2=12.

評注 觀察發現CD與CH并非在特殊三角形中，進一步分析，“G，H兩點在線段DE上，且DG=GH=HE”是平行線等分線段定理的明顯特征條件，所以考慮從不同的方向作平行線，從而構造成比例線段，利用相似三角形的性質解題.

視角2 利用已有平行線構造相似三角形，結合比例關系解題.

解法3 如圖4所示，延長OG，交CD于點P.

可得△EOG∽△DPG，

所以CD=2PD，OG=23OP.

所以CD2+3CH2=CD2+3（23OP）2=CD2+43OP2

=CD2+43（PD2+OD2）=CD2+43（14CD2+OD2）=12.

評注 由于矩形的對邊平行，平行線間的“對頂三角形”一定相似，因此可以考慮利用“兩條直線被一組平行線所截，所得的對應線段成比例”的基本事實解題.

視角3 構造雙直角模型，利用射影定理解題.

解法4 如圖5所示，過點C作CM⊥ED于點M.

在Rt△CED中，CM⊥ED，

由射影定理可知CD2=MD·DE=3MD.

所以CD2+3CH2=CD2+3（CM2+HM2）=CD2+3（CD2－MD2+HM2）

=CD2+3CD2+3（HM+MD）（HM－MD）=4CD2+3HD（HD－2MD）

=12MD+6（2－2MD）=12.

評注 雙直角模型與射影定理聯系緊密，可以構造出線段的比例關系，同時還可以根據直角利用勾股定理列出等式.

視角4 建立坐標系，用解析法解題.

解法5 如圖6所示，設點C（x，9－x2），

則H（13x，239－x2），D（x，0）.

則CH2=（x－13x）2+（9－x2－239－x2）=13x2+1.

又因為CD2=9－x2，

故CD2+3CH2=12.

評注 利用數形結合的數學思想，將圖形中的動點坐標設出來，結合已知條件和代數運算，即可得到動點滿足的關系式或者是運動軌跡，即可得到定值.

4 結語

經過對這道中考幾何定值問題的深入探討，不難發現，此類問題雖然看似復雜，思路難以開展，但是只要我們掌握了基本的幾何定理和解題技巧，問題就能迎刃而解.在平時的解題訓練中，要注重觀察圖形的特點，嘗試從不同的角度提出解題方案，同時還要積極利用數形結合思想來簡化解題.