捕捉雙圖關聯信息的解題策略

【摘要】雙圖關聯題是指在問題背景中，圍繞同一個主題呈現兩個圖形，一個圖形提供問題的實際情境，另一個圖形以函數圖象的形式提供動點運動變化的數據信息，兩圖相互依存，形成整體．解雙圖關聯題時需要捕捉雙圖的關聯信息，融合相關知識：一是觀察雙圖理解問題背景，從函數圖象中捕捉對解題有效的關鍵數據；二是對獲取的信息加工處理，分清變量之間的關系；三是處理信息，做出合理的判斷并加以解決．

【關鍵詞】動點；初中數學；雙圖關聯

雙圖關聯題是中考的熱點題.在雙圖問題中，兩個圖形圍繞同一個主題，一個圖形提供問題的實際情境，另一個圖形用函數的圖象提供動點運動變化的數據信息，而已知的條件不再由題目的文字語言提供，解題時需要捕捉雙圖的關聯信息，融合相關知識解決．雙圖在選擇題、填空題、解答題三大題型中均出現.

例1 （2023·河南）如圖1，點P從等邊三角形ABC的頂點A出發，沿直線運動到三角形內部一點，再從該點沿直線運動到頂點B．設點P運動的路程為x，PBPC＝y，圖2是點P運動時y隨x變化的關系圖象，則等邊三角形ABC的邊長為（ ）

（A）6. （B）3. （C）43. （D）23.

分析與解 問題情境是點P從等邊三角形ABC的頂點A出發，沿某直線運動到三角形內部一點，再從該點沿直線運動到頂點B．但運動路徑是什么，圖1沒有明示，如圖3，我們假設點P從頂點A出發，沿直線運動到三角形內部一點O，再從點O沿直線運動到頂點B，接著從圖2的函數圖象中獲取有效信息，由函數圖象可知，當0≤x≤2EQR（，3）時，y＝1，也就是說PBPC＝1，所以PB＝PC，即點P在BC的垂直平分線上運動，等邊三角形的三線合一，知點P在∠BAC的平分線AO上運動，且AO＝2EQR（，3）.接著，再從點O沿直線運動到頂點B，還是從圖2的函數圖象中獲取有效信息，由函數圖象可知，OB＝2EQR（，3），即AO＝OB＝2EQR（，3），所以∠BAO＝∠ABO＝30°，過點O作OD⊥AB，垂足為D，所以AD＝BD，則AD＝AO·cos30°＝3，所以AB＝AD+BD＝6，即等邊三角形ABC的邊長為6．故選（A）．

點評 解答本題的難點是點P沿某直線運動到三角形內部一點，再從該點沿直線運動到頂點B．但運動路徑是什么，圖1沒有明示，需要結合問題情境，從圖2的函數圖象中獲取有效信息，雙圖關聯，綜合利用，發現底角等于30°的等腰△OAB，解決問題．

例2 （2023·江西）綜合與實踐.

問題提出 某興趣小組開展綜合實踐活動：在Rt△ABC中，∠C＝90°，D為AC上一點，CD＝2，動點P以每秒1個單位的速度從C點出發，在三角形邊上沿C→B→A勻速運動，到達點A時停止，以DP為邊作正方形DPEF．設點P的運動時間為t s，正方形DPEF的面積為S，探究S與t的關系．

（1）初步感知：如圖4，當點P由點C運動到點B時，

①當t＝1時，S＝ ；

②S關于t的函數解析式為 ．

（2）當點P由點B運動到點A時，經探究發現S是關于t的二次函數，并繪制成如圖5所示的圖象．請根據圖象信息，求S關于t的函數解析式及線段AB的長．

解答 （1）①當t＝1時，CP＝1，

又因為∠C＝90°，CD＝2，

運用勾股定理有DP2＝CP2+CD2，S=DP2=3，

故答案為：3；

②當點P由點C運動到點B時，CP＝t，

因為∠C＝90°，CD＝2，

運用勾股定理，S＝DP2＝CP2+CD2＝t2+2．

故答案為：S＝t2+2.

（2）觀察圖象，由圖5知：當點P運動到點B處時，PD2＝BD2＝6，

當點P運動到點A處時，PD2＝AD2＝18，拋物線的頂點坐標為（4，2），

由勾股定理得BC＝2，

AD＝32，所以M（2，6），

設S＝a（t－4）2+2，將M（2，6）代入，

得4a+2＝6，解得：a＝1，

所以S＝（t－4）2+2＝t2－8t+18，

所以AC＝AD+CD＝42，

在Rt△ABC中，由勾股定理得AB＝6，

所以拋物線的解析式為S＝t2－8t+18（2≤t≤8）；線段AB的長為6.

點評 本題是二次函數綜合題，考查待定系數法、二次函數的圖象和性質、勾股定理、全等三角形的判定和性質、相似三角形的判定和性質、三角形面積等，解題的關鍵是讀懂關聯圖，從函數圖象獲取有效信息．

結語

借助上面各題的研究，我們從中獲取雙圖關聯問題的解題策略：一是觀察雙圖理解問題背景，從函數圖象中捕捉對解題有效的關鍵數據；二是對獲取的信息加工處理，分清變量之間的關系；三是處理信息，做出合理的判斷并加以解決．

雙圖關聯問題是中考的熱點也是難點，需要學生自己不斷地練習，在練習中反思小結，形成自己的認識，相信學生會順利地完成雙圖關聯題的挑戰，迎接中考.