例談換元法在初中數學解題中的應用

【摘要】 解題訓練是初中數學教學中的一個常規環節，學生在平常的解題練習中，當遇到一些非典型、非標準的試題時，假如按照常規思想與方法進行解題往往會陷入困境之中，極易出現錯誤，這時教師可指引他們嘗試應用換元法解題，使其通過另辟蹊徑走出困境.本文主要對換元法如何在初中數學解題中的應用進行研究，同時分享部分解題實例.

【關鍵詞】換元法；初中數學；解題技巧

換元法即為使用一個新變量將原試題中的某個元素進行替代，也是通過一個新元素替代題目中的原有元素，將本來非典型、非標準的試題變得典型化與標準化，從一定程度上降低試題難度.初中數學教師在解題實踐中應引領學生靈活應用換元法，通過對研究對象的變化達到化難為易、化繁為簡的效果，使其從中找到解題的捷徑，促使他們高效完成解題.

1 應用換元法解答方程方面試題

針對初中數學解題教學來說，換元法是常用解題方法之一，特別是當處理一些比較復雜的方程類題目時，假如使用常規方法進行解題，不僅會增加題目的復雜程度，甚至還會超出學生的能力范圍，導致他們無法解答.其實不少方程類試題中都涵蓋著符合換元的條件，初中數學教師應當提醒學生仔細閱讀題目內容并進行分析，從中找出能夠替換的“元”，且通過新“元”替代，使其將本來復雜的方程問題變得簡單化，從而助推他們迅速求出正確結果[1].

例1 已知方程1x2－10x－29+1x2－10x－45－2x2－10x－69=0，求該方程的解.

分析 本題中的方程是一個非常規的特殊方程，假如使用常規方法直接將分母去掉，將會得到一個高次方程，導致整個運算過程十分繁瑣與復雜.通過觀察原方程中的結構，發現可使用換元法，設分母（x2－10x－45）為新“元”，再進行變形、去分母與化簡即可求得新“元”的值，然后把x的值給求出來.

詳解 根據題意可設y=x2－10x－45，

則原方程變形為1y+16+1y－2y－24=0，

去分母與化簡后能夠得到64y=－384，

解之得y=－6，

即為x2－10x－45=－6，

求得x1=13，x2=－3，

通過檢驗均是原方程的解.

2 應用換元法解答方程組類試題

在初中數學教學過程中，方程組屬于學生必學的一項內容，有些方程組題目求解時難度相對較大，學生采用常規方法難以解決，教師可引領他們應用換元法，把本來比較復雜的方程組展開進行轉化，如減少方程中未知數的數量，降低方程組的次數等.此外，在解方程組時，雖然部分方程組適用常規方法進行解答，但是運算步驟較多、計算量較大，學生在繁瑣的解題中往往會產生這樣或者那樣的錯誤，使用換元法則能減少運算量，提高解題的正確率[2].

例2 已知方程組2（x+1）=3（y－1）5（x－1）=3（y+1）－7，求該方程組的解.

分析 解決這一題目時，假如采用常規方式來解決，將會出現比較復雜的運算過程，學生在計算時容易產生錯誤，影響解題效率，但是可利用換元法，把原方程組中較為復雜的代數式通過簡單的字母來代替，即為所謂的“元”，由此把原題變得更為簡單，讓他們找到簡潔的解題流程.

詳解 根據題意可設

2（x+1）=3（y－1）=6k，

通過化簡能夠得到x=3k－1，

y=2k+1，

然后將其代入到方程5（x－1）=3（y+1）－7中，

可以得到5（3k－2）=3（2k+2）－7，

解之得k=1，

則原方程組的解是x=3k－1=2

y=2k+1=3.

3 應用換元法解答因式分解試題

對于初中數學解題教學而言，有關多項式的因式分解屬于考查重點之一，還是學生的一大難點，學生在進行因式分解時應理清其與整式乘法的區別及聯系，使其通過對比新舊知識掌握解題竅門.當處理一些比較復雜的因式分解題目時，初中數學教師可引導學生應用換元法，就是將結構較為復雜的多項式中某一部分視為一個整體，用新“元”來代替，將復雜題目變得明朗化、簡單化，以此減少多項式的項數和結構復雜程度，最終讓他們順利完成解題[3].

例3 已知多項式（x2+3x+2）（x2+7x+12）－120，請對該多項式進行因式分解.

分析 處理本道題目時，常規方法是先采用乘法公式對原式進行展開后再分解，顯得較為復雜，而直接運A用換元法難度較大，然而通過對題目結構的仔細分析發現可先初步變形，化簡以后再采用換元法，最終通過分解與重新組合找到所替換的新“元”，完成解答.

詳解 對原式初步變形后得到

（x+1）（x+2）（x+3）（x+4）－120，

重新組合后得到

［（x+1）（x+3）］［（x+2）（x+4）］－120，

整理以后得到

（x2+5x+4）（x2+5x+6）－120，

此時可設y=x2+5x+4，

則原式為y（y+2）－120=y2+2y－120=（y+12）（y－10），

將y=x2+5x+4代入上式得到

（x2+5x+4+12）（x2+5x+4－10），

繼續化簡能夠得到

（x+6）（x－1）（x2+5x+16）.

4 結語

總的來說，在初中數學解題教學活動中，遇到特殊題目屬于正?，F象，教師應切實認識到換元法在解題中起到的重要作用，當采用常規思路很難解題時，便可指導學生根據題目實際情況科學應用換元法，找準換元的切入點，通過新“元”代替舊“元”的方式把本來復雜化的數學題目變得簡單化，使其借助換元法找到解題的捷徑，讓他們輕松突破難題障礙.

參考文獻：

[1]許文倩.初中數學解題中換元法例題解析[J].數理天地（初中版），2023（23）：4-5.

[2]陳剛.換元法助力提升初中數學解題效率[J].數理天地（初中版），2023（23）：31-32.

[3]丁秀珍.巧用換元法助力初中數學解題效率提升[J].數理化解題研究，2023（02）：25-27.