初中二次函數(shù)常見易錯點歸類分析

【摘要】 中考數(shù)學中，二次函數(shù)是十分重要的考點，有著較高的分數(shù)占比.但是，在實際的考試中，學生的得分效果并不理想，總是會出現(xiàn)各種錯誤.為提高學生的得分率，本文總結(jié)學生在解答二次函數(shù)問題中，常出現(xiàn)的幾類錯誤，分別為二次函數(shù)圖象與系數(shù)關(guān)系不清、忽視隱含條件、缺乏分類意識、忽略自變量取值范圍、忽略函數(shù)和判別式之間的關(guān)系等，以供師生參考.

【關(guān)鍵詞】二次函數(shù)；初中數(shù)學；解題技巧

二次函數(shù)是初中數(shù)學十分重要的知識點，在每年的中考試題中，都會有多道與之相關(guān)的試題，占據(jù)著大量的分數(shù).但是在實際的考試中，學生對相關(guān)問題的解答并不理想，存在嚴重的失分情況.為了增強學生對二次函數(shù)知識的掌握及提高解題效率，本文對學生的常見錯誤進行收集.通過分析，總結(jié)了學生在解答二次函數(shù)問題中常見的幾類錯誤，供學生參考.

1 圖象與系數(shù)關(guān)系不清

二次函數(shù)圖象的性質(zhì)一直是考查的重點，但是其性質(zhì)與系數(shù)間有著緊密的聯(lián)系，在考試中便會將二者進行聯(lián)合考查.在這類試題中，會涉及圖象開口方向、對稱軸位置、各參數(shù)的確定等.在日常學習中，學生需要準確掌握二次函數(shù)系數(shù)與圖象間的關(guān)系.

例1 如圖1，拋物線y=ax2+bx+c（a，b，c為常數(shù)）關(guān)于直線x=1對稱，下列各結(jié)論：abc>0；2a+b=0；4a+2b+c>0；am2+bm>a+b；3a+c>0，正確的有（ ）

（A）4個. （B）3個.

（C）2個. （D）1個.

解析 由拋物線圖象可知，c<0，

因為對稱軸在x軸右側(cè)，則a，b異號，則ab<0，

所以abc>0.

由對稱軸x=－b2a=1，

得2a+b=0.

由拋物線對稱關(guān)系可知，x=0時和x=2時的y值相等，x=0時，y<0，

所以當拋物線與x軸另一交點在（2，0），（3，0）之間，x=2時，y=4a+2b+c<0；

因為x=1時，ymin=y=a+b+c，

所以am2+bm+c≥a+b+c，

即am2+bm≥a+b；

由圖1可知，當x=－1時，

y=a－b+c>0，

由2a+b=0，得b=－2a，

所以3a+c>0.綜上，則正確答案為（B）.

二次函數(shù)的圖象與系數(shù)間關(guān)系的相互考查，是一類常見的考題，這類問題主要出現(xiàn)在選擇題和填空題中.在解答這類問題時，出現(xiàn)錯誤的主要原因是不能準確把握函數(shù)圖象與系數(shù)間的關(guān)系.本題為在此基礎(chǔ)之上衍生出的圖象信息題，同時也是中考的命題方向.在實際的解題中，需要通過圖形盡可能獲取信息，而后對結(jié)論進行判斷.

2 忽略自變量取值范圍

自變量是二次函數(shù)的基礎(chǔ)元素.在實際的解題中，忽略自變量的取值信息，所得的答案也必然錯誤.因此，在解題中，要時刻注意二次函數(shù)的自變量范圍，進而保證最終答案的正確.

例2 某超市用8000元和6000元購進相同數(shù)量的籃球和足球，足球比籃球（每個）便宜10元.銷售中發(fā)現(xiàn)，籃球售價為（每個）50元時，每天可出售100個；每提高1元，每天少售出2個，設(shè)（每個）籃球售價為x（50≤x≤65）元，y為每天銷售籃球的利潤，求每天最大利潤.

錯解 設(shè)（每個）籃球進價為a元，則（每個）足球進價為（a－10）元，

則8000a=6000a－10，

可得a=40，a-10=30，即籃球、足球進價分別為40元和30元；

由題意得，y=x［100－2（x－50）］－40×［100－2（x－50）］

=－2x2+280x－8000=－2（x－70）2+1800，

所以當x=70時，利潤最大為1800.

在錯解中，相關(guān)步驟十分準確，但是卻忽略了自變量的取值范圍.根據(jù)錯解，得到的是當x=70時，利潤最大為1800.但是，題目中所給出x的取值范圍為50≤x≤65，所以最終結(jié)果錯誤.

正解 由題意得，

y=x［100－2（x－50）］－40×［100－2（x－50）］

=－2x2+280x－8000=－2（x－70）2+1800，

由解析式可知，x<70時，y隨x的增大而增大，且50≤x≤65，

所以當x=65時，y取得最大值，

最大值為－2（65－70）2+1800=1750元.

在這類問題中，主要考查二次函數(shù)最值問題，但是在解題中需要注意自變量的取值范圍，有可能不包含拋物線最高點或最低點.此時便需要判斷自變量與對稱軸間的關(guān)系，進而解答.

3 忽略函數(shù)和判別式之間的關(guān)系

在解答二次函數(shù)問題中，常常需要借助判別式、根與系數(shù)等知識進行解答.因為幾者間的關(guān)系，所以在解題中需要高度關(guān)注，避免出現(xiàn)錯誤.

例3 已知二次函數(shù)y=x2－（k－1）x+k+1的圖象與x軸兩交點橫坐標的平方和為4，求k的值.

錯解 設(shè)函數(shù)圖象與x軸的交點坐標分別為（x1，0），（x2，0），由根與系數(shù)間的關(guān)系，

有x1+x2=k－1，x1x2=k+1，

結(jié)合已知條件x21+x22=4，

有（x1+x2）2－2x1x2=4，

整理可得k2－4k－5=0，

解得k=5或k=－1.

在本題中，二次函數(shù)問題可以轉(zhuǎn)化為一元二次方程根的問題進行求解，上述解題方法錯誤的主要原因是忽視了方程和圖象有兩個交點情況下，判別式大于等于0的情況.

正解 由根與系數(shù)間的關(guān)系，

有x1+x2=k－1，x1x2=k+1，

結(jié)合已知條件x21+x22=4，

有（x1+x2）2－2x1x2=4，

整理可得k2－4k－5=0，

解得k=5或k=－1，

當k=5時，判別式小于0，與題意不符，舍去，

當k=－1時，判別式大于0，符合題意，綜上可得k=－1.

在解答這類問題時，可以將二次函數(shù)問題轉(zhuǎn)化為一元二次方程根的問題進行求解，但是需要注意的是準確判斷其中所涉及的關(guān)系.

4 結(jié)語

綜上所述，二次函數(shù)是初中階段十分重要的知識點，面對常見的錯誤問題，本文總結(jié)了解題錯誤原因，分別為函數(shù)圖象與系數(shù)關(guān)系不清、忽視隱含條件、缺乏分類意識、忽略自變量取值范圍、忽略函數(shù)和判別式之間的關(guān)系等.因此，在日常學習中，學生應(yīng)積極注意，養(yǎng)成良好的解題習慣.

參考文獻：

[1]閻慧敏.一元二次函數(shù)、方程和不等式問題的易錯點探究[J].高中數(shù)理化，2023（19）：72-73.

[2]鄭偉.攻克“二次函數(shù)”易錯點[J].中學生數(shù)理化（初中版.中考版），2022（10）：11.