指向高階思維能力的初中數學教學策略

【摘要】在新課改背景下，培養學生的高階思維能力已成為初中數學教學的目標之一.本文通過“二次函數”壓軸題的分析探討指向高階思維能力的教學策略.第一題利用二次函數圖象討論不等式，體現數形結合的重要思想方法；第二題則通過構造輔助函數化歸問題，體現以函數為主干、創新解題思路的意識.

【關鍵詞】高階思維；二次函數；初中數學

1 引言

在數學教育中，發展學生的高階思維能力備受關注.高階思維能力不僅包括邏輯推理、批判性思考等，還涵蓋了數學抽象、創新意識等多個維度.作為初中數學的重要內容，“二次函數”的教學對培養學生的高階思維能力有著重要意義.本文擬通過兩個“二次函數”的典型例題，探討在教學過程中發展學生高階思維能力的策略.

2 利用函數圖象分析二次函數問題——數形結合思想的應用

例1 在平面直角坐標系xOy中，已知拋物線y=ax2-2a2x （a≠0）.

（1）當a=1時，求拋物線的頂點坐標；

（2）已知M（x1，y1）和N（x2，y2）是拋物線上的兩點，若對于x1=3a，3≤x2≤4，都有y1<y2，求a的取值范圍.

解析 （1）當a=1時，

y=ax2-2a2x=x2－2x.

頂點橫坐標為：－b2a=－22×1=1，

頂點縱坐標為：1－2=－1，

所以頂點坐標為（1，－1），拋物線圖象如圖1所示.

（2）y=ax2-2a2x=ax（x－2a），

對稱軸x=－b2a=－－2a22a=a.

①當a>0時，函數圖象開口向上，如圖2所示，由數形結合可知，x1=3a在對稱軸的右側.

在對稱軸右側，即當x>a時，y隨x的增大而增大；

對于x1=3a，3≤x2≤4，都有y1<y2，則x1=3a<3，即a<1.

所以a的取值范圍為0<a<1.

②當a<0時，函數圖象開口向下，如圖3所示，由數形結合可知，x1=3a在對稱軸的左側，3a，y1在對稱軸左側，x2，y2在對稱軸右側，3a，y1關于對稱軸的對稱點－a，y1在對稱軸右側.

在對稱軸右側，即當x>a時，y隨x的增大而減小，

所以y2<y1，x1<x2，－a<4，即a<－4.

綜上所述，a的取值范圍為0<a<1或a<－4.

3 利用代數的方法解析二次函數問題——利用作差法比較二次函數大小

例2 在平面直角坐標系xOy中，點（2，0）在拋物線y=ax2+bx+c （a>0），已知M（x1，y1）和N（x2，y2）是該拋物線上的任意兩點，對于m<x1<m+1，m+1<x2<m+2，都有y1<y2，求m的取值范圍.

解析 由題意可得，

y2-y1=a（x2-x1）（x2+x1-2）>0 ①

因為m<x1<m+1，m+1<x2<m+2，

所以x2-x1>0，

2m-1<x1+x2-2<m+1，

由①可知x2+x1-2>

所以2m-1≥0，

解得m≥12.

4 函數構造法化歸二次不等式問題

例3 已知二次函數y=ax2+bx+c（a＞0），y－x=0的兩個根x1、x2滿足0＜x1＜x2＜1a.當0<x<x1時，試證明：x＜y＜x1．

證明 因為x1、x2是方程y－x=0的兩個根，

所以可得y－x=ax－x1x－x2，因為0<x<x1<x2<1a，所以x－x1<0，x－x2<0.

又a>0，所以ax－x1x－x2>0，即y－x>0，故y>x.

由y－x=ax－x1x－x2，

可得y－x1=ax－x1x－x2+x－x1=x－x1ax－ax2+1，

又因為x－x1<0，

且ax－ax2+1>1－ax2>0，

所以y<x1.

綜上，x<y＜x1.

5 結語

在初中數學“二次函數”的教學中，培養學生的高階思維能力非常重要.本文通過分析三個典型例題，探討了實現這一目標的兩點策略：一是利用函數圖象培養學生的邏輯推理能力；二是運用函數構造法發展學生的創新思維能力.這兩個策略分別體現了“數形結合”的數學思想和“以函數為主干”的教學意識，為“二次函數”教學提供了新的思路.

參考文獻：

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