初中數(shù)學“圓”的常見考查題型分析

【摘要】初中階段，圓作為一個普通又特殊的幾何圖形受到命題人的青睞，使得在每年的中考中都會出現(xiàn)相關試題.但是，圓的相關性質較多，且與三角形、四邊形等聯(lián)系緊密，導致學生得分效果不佳.本文總結中考中圓常見的幾類題型及解題策略，以供學生參考.

【關鍵詞】圓；初中數(shù)學；解題技巧

初中數(shù)學中，圓作為重要幾何圖形，常出現(xiàn)在考題中.其特殊性質使得題目可獨立命題或與三角形、四邊形結合，增加了解題難度.總結圓的常見題型，有助于提升學生解題效率.

1 基礎計算

基礎計算是圓相關問題中最為常見的一種題型，常見的考查方法有求解線段長度、圖形面積、周長、角度等.在實際的解題中，通常不是對某單一知識點的考查，而是會綜合多個知識點，因此需要學生掌握并靈活運用圓、三角形、四邊形等知識來解答問題.如經常用到的知識點有垂徑定理、相似三角形、勾股定理、切點距離等.

例1 如圖1，AB是圓O的直徑，OD垂直于弦AC于點D，DO的延長線交圓O于點E，若AC=42，DE=4，則BC的長為（ ）

（A）1. （B）2. （C）2. （D）4.

解析 因為OD⊥AC于點D，OE為半徑，

所以∠ODA=90°，

AD=DC=12AC=12×42=22.

在△ABC中，OA=OB，AD=DC，

所以OD是△ABC的中位線，

所以OD∥BC，OD=12BC，

設OD=x，

則AO=OE=4－x，BC=2x，

在Rt△AOD中，∠ODA=90°，

由勾股定理可得AD2+OD2=AO2，

所以（22）2+x2=（4－x）2，

可得x=1.

所以BC=2x=2，則正確答案為（C）.

2 動點問題

在這類問題中，通常會涉及一個或兩個動點，同時會伴隨圖形的平移、翻折、旋轉等情境.在解題中，需要學生具備較強的數(shù)形結合思維，要將動點的運動轉化為幾何圖形進行表示，在此基礎之上，判斷滿足題意時，動點所處位置，而后結合相關知識，構建聯(lián)系，進而解答問題.

例2 已知圓O半徑為2，P為圓O上一定點，A，B為圓O上兩個動點，且∠APB=30°，C為PB的中點，則A，B在運動過程中，線段AC的最大值為（ ）

（A）2+33. （B）1+3.

（C）2+32. （D）23－2.

解析 由題意可知，連接OA，OB，OP，AB，

取OB中點為M，連接CM，AM，

由∠APB=30°，可得∠AOB=60°，

△AOB為等腰三角形.

圓O半徑為2，由勾股定理可得：

AM=AO2－OM2+22－12=3.

由C為PB的中點，可知在△POB中，CM為其中位線，

由中位線性質可知，CM=12，OP=1，

在△AMC中，結合三角形三邊關系，

可得AC≤AM+MC=3+1，

因此AC的最大值為3+1，此時A，M，C三點共線，故正確答案為（B）.

3 內接多邊形

此類試題更多的是對相關基礎概念的考查.因此，學生要掌握內接多邊形的相關定理及推導方法，如圓內接多邊形內角和為（n－2）×180°，外角和為360°，圓的內接四邊形的對角互補，圓內接四邊形的一個外角等于其內對角等.在實際的解題中，根據(jù)問題進行靈活運用.

例3 如圖3，四邊形ABCD內接于圓O，AB為圓O直徑，∠ABD=20°，則∠BCD的度數(shù)為（ ）

（A）90°. （B）100°. （C）110°. （D）120°.

解析 因為AB為圓O直徑，

所以∠ADB=90°，

所以∠A+∠ABD=90°，

所以∠A=90°－∠ABD=90°－20°=70°，

因為四邊形ABCD內接于圓O，

所以∠A+∠BCD=180°，

所以∠BCD=110°，故正確答案為（C）.

4 內切圓、外接圓

在對圓的考查中，三角形的內切圓、外接圓屬于必考點.對于內切圓，圓心為三角形三個角角平分線的交點；圓心到三角形三邊的距離相等；內切圓的面積等于三角形周長的一半乘以圓的半徑.對于外接圓，外接圓圓心到三角形三個頂點的距離相等；圓心距離三角形頂點距離即為圓的半徑；當三角形內心、垂心、重心和外心四點共圓時，即在三角形外接圓上.另外，三角形的內切圓、外切圓還存在其他許多知識點，都需要學生靈活運用.

例4 如圖4，△ABC是圓O的內接三角形，若∠ABC=45°，AC=2，則圓O的半徑為（ ）

（A）12. （B）1. （C）32. （D）2.

解析 連接CO并延長，交圓O于點D，連接AD，

可得∠ADC=∠ABC=45°，

因為CD是圓O的直徑，

所以∠CAD=90°，

所以AD=AC=2.

在Rt△ACD中，∠CAD=90°，

由勾股定理可得CD2=AC2+AD2，

所以CD=（2）2+（2）2=2，

所以圓O的半徑為1.

5 結語

綜上所述，圓作為初中數(shù)學的重要知識點，本文總結了中考中圓常見的幾類命題方法，分別為基礎計算、位置關系、動點、內接多邊形、內切圓、外接圓等.在日常學習中，學生要重視對各問題的思考，積極總結解題方法，以期在解題中，快速解答問題.

參考文獻：

[1]阿班.初中數(shù)學中關于“圓”的解題策略[J].數(shù)理天地（初中版），2022（16）：15-17.

[2]劉芳娣.初中數(shù)學解題中有關圓的解題方法[J].數(shù)理天地（初中版），2023（21）：16-17.