在幾何畫卷中尋覓隱藏的完美

【摘要】 圓是初中幾何的一個重要圖形.與圓有關(guān)的問題中，“隱圓”問題是一個難點(diǎn)問題.題中往往不會直接出現(xiàn)圓，而是給出與圓有關(guān)的條件，需要學(xué)生結(jié)合條件構(gòu)造輔助圓，再利用圓的性質(zhì)求解.“隱圓”問題常與最值問題等結(jié)合，綜合性強(qiáng).本文探討三類常見的“隱圓”問題，以幫助學(xué)生克服難點(diǎn)，感受數(shù)學(xué)之美.

【關(guān)鍵詞】隱圓；初中數(shù)學(xué)；解題技巧

類型1 定點(diǎn)定長

例1 如圖1所示，矩形ABCD中，AB=6cm，BC=8cm，M、N兩點(diǎn)分別是AB、BC邊的中點(diǎn)，若線段MN繞點(diǎn)M逆時針旋轉(zhuǎn)得到線段MN′，連接DN′，則DN′長度的最小值是cm.

解 因?yàn)樗倪呅蜛BCD是矩形，

所以∠ABC=90°.

因?yàn)镸、N兩點(diǎn)分別是AB、BC邊的中點(diǎn)，

所以BM=12AB=3cm，BN=12BC=4cm.

在Rt△BMN中，

MN=BM2+BN2=5cm.

如圖2所示，以點(diǎn)M為圓心，5cm的長為半徑作圓M，連接DM交圓M于點(diǎn)P.

因?yàn)榫€段MN繞點(diǎn)M逆時針旋轉(zhuǎn)得到線段MN′，點(diǎn)N′始終在圓M上.

當(dāng)點(diǎn)N′與點(diǎn)P重合時，DN′有最小值，

即DN′=DP=DM－MP.

在Rt△ADM中，

DM=AD2+AM2=73cm.

因?yàn)镸P=5cm，

所以DP=（73－5）cm，

則（DN′）min=73－5.

評注 動點(diǎn)到定點(diǎn)距離相等的點(diǎn)在以定點(diǎn)為圓心，定長為半徑的圓上.通常用定點(diǎn)定長模型解決線段長的最值問題.對于一點(diǎn)定長問題常涉及旋轉(zhuǎn)或折疊；而對于三點(diǎn)定長問題，一般一點(diǎn)到不在同一直線上的三點(diǎn)的距離相等.

類型2 定弦定角

例2 如圖3所示，在矩形ABCD中，AD=5，AB=33，點(diǎn)E在AB上，

AEEB=12，在矩形內(nèi)找一點(diǎn)P，使得 ∠BPE=60°，則線段PD的最小值為（ ）

（A）27－2. （B）213－4.

（C）4. （D）23.

解 如圖4所示，在BE上方作△OEB，

使得OE=OB，∠EOB=120°.

連接OB，OD，過點(diǎn)O作OQ⊥BE于點(diǎn)Q，OJ⊥AD于點(diǎn)J.

因?yàn)椤螧PE=60°=12∠EOB，

所以點(diǎn)P在以圓O為圓心，OE的長為半徑的圓上，

所以當(dāng)點(diǎn)P落在線段OD上時，DP的值最小.

因?yàn)樗倪呅蜛BCD是矩形，

所以∠A=90°.

因?yàn)锳B=33，AEEB=12，

所以BE=23.

因?yàn)镺E=OB，∠EOB=120°，OQ⊥EB，

所以EQ=BQ=3.

則∠EOQ=∠BOQ=60°，

所以O(shè)Q=1，OE=2.

因?yàn)镺J⊥AD，OQ⊥AB，

所以∠A=∠AJO=∠AQO=90°.

所以四邊形AQOJ是矩形，

所以AJ=OQ=1，JO=AQ=23.

因?yàn)锳D=5，

所以DJ=AD－AJ=4，

則OD=JD2+OJ2=27.

所以（PD）min=OD－OP=27－2.

評注 出現(xiàn)定角以及定線段時，考慮使用定弦定角模型.弦的中垂線必然經(jīng)過圓心，再結(jié)合定角的大小，利用圓周角和圓心角之間的關(guān)系，通過幾何變換即可得到問題的答案.

類型3 四點(diǎn)共圓

例3 如圖5所示，已知在△ABC中，AB=AC=6，∠B=30°，E為BC上的一點(diǎn)，BE=2EC，DE=DC，∠ADC=60°，則AD的長為.

解 如圖6所示，連接AE，過點(diǎn)A作AH⊥BC于點(diǎn)H.

在Rt△ABH中，AB=AC=6，∠B=30°，

所以∠ACB=∠B=30°，

AH=12AB=3.

利用勾股定理可得BH=33.

因?yàn)锳B=AC，AH⊥BC，

所以CH=BH=33.

則BC=63，CE=13BC=23，

所以HE=CH－CE=3.

在Rt△AHE中，由勾股定理可得

AE=AH2+HE2=23，

所以AE=CE.

則∠CAE=∠ACB=30°，

所以∠AEC=120°，∠AEB=60°.

因?yàn)椤螦DC=60°，

所以∠ADC+∠AEC=180°，則A、D、C、E四點(diǎn)共圓.

所以∠ADE=∠ACE=30°，

則∠CDE=∠ADC－∠ADE=30°.

因?yàn)镈E=DC，

所以∠DEC=75°，

則∠AED=120°－75°=45°.

過點(diǎn)A作AM⊥DE于點(diǎn)M，

則AM=22AE=6.

在Rt△AMD中，∠ADM=30°，

所以AD=2AM=26.

評注 在四邊形中，若同一條線段所對的兩個角相等或者對角互補(bǔ)，則構(gòu)成的四邊形的四個頂點(diǎn)在同一個圓上.

結(jié)語

以隱圓為背景的解題探索，實(shí)際上是對幾何深度和廣度的細(xì)致挖掘.隱圓作為一種幾何元素，其特性在解題過程中常常起到關(guān)鍵作用.通過對隱圓性質(zhì)的掌握和應(yīng)用，我們能夠?qū)?fù)雜的幾何問題簡化為一系列清晰明了的幾何關(guān)系，進(jìn)而順利找到解決方案.在這個過程中不僅加深了對幾何知識的理解，更鍛煉了邏輯思維和空間想象能力.