初中數學一次函數實際應用的不同題型

【摘要】一次函數是初中數學學習過程中最先接觸的函數內容，新課標要求學生不僅要掌握一次函數的定義、解析式和具體圖象，還要理解一次函數在實際生活中的應用.事實上，一次函數體現在生活中的各方面，如最常見的利潤最大化問題、行程用時問題以及分配最優解問題.學習并掌握實際應用問題，不僅能更好地理解一次函數，還能提高學生的綜合素養和解決問題的能力.一次函數是初中數學函數的基礎，掌握理解一次函數才能更順利地學習后續比較復雜的內容.求解一次函數的實際應用問題，主要可以分為分類分配方案、最大利潤方案、行程問題，本文借助例題對三類實際問題進行分析，總結相關思路和步驟，幫助學生學習和解題.

【關鍵詞】一次函數；初中數學；解題技巧

1 分配方案問題

分配方案問題是指已知總數，要求不同類型的物品或方案選擇達到最優化，如常見的車輛選擇分配問題、購買不同類型的物品個數方案分配問題.這些分配方案問題首先要知道每個方案的花費或滿足的人數，根據等價關系式列出一次函數的解析式，進而求解得到具體答案.

例1 為迎接“班級晚會”，某班級準備購買AB兩種型號的彩燈，買2個A型彩燈和1個B型彩燈共需100元，且B型彩燈比A型彩燈貴10元．

（1）每個A型彩燈和B型彩燈各多少元？

（2）需購買AB兩種型號的彩燈共30個，其中A型彩燈不超過16個，求購買彩燈的總費用w（元）與A型垃圾箱a（個）之間的函數關系式，并說明總費用至少要多少元？

分析 解答第二問的一次函數解析式必須知道分配類型A和B的單價數，進而根據總費用=方案個數×方案單價的等式列出具體關系等式，從而得到具體一次函數解析式，分析函數增減趨勢和最小值.

解 （1）每個A型彩燈30元，每個B型彩燈40元.

（2）①w=30a+4030－a=－10a+1200，

因為－10＜0，

所以w隨a的增大而減小，

因為a≤16，

所以當a=16時，

w最小=－10×16+1200=1040，

所以總費用至少要1040元.

2 最大利潤問題

利潤最大化問題一般涉及進價、售價、進貨數量和售出數量，在這里等價關系式對應利潤=售價-進價，若要求利潤的最大值，需要對其中未知量做出假設，列出具體表達式，進而解答問題.

例2 某商場準備購進AB兩類服裝進行銷售，A類服裝每件進價160元，售價220元；B類服裝每件進價120元，售價160元．現計劃購進兩類服裝共100件，其中A類服裝不少于60件．設購進A類服裝x件，兩類服裝全部售完，商場獲利y元．

（1）求y與x之間的函數關系式；

（2）若購進100件服裝的總費用不超過15000元，則最大利潤為多少元？

分析 求總費用應遵循單價×件數=費用的等式關系列式，借助第一問假設的變量，結合問題要求列式，可得到一次函數與一元一次不等式的綜合式子，解答可求得具體值.

解 （1）由題意可得，設購進A類服裝x件，

則購進B類服裝100－x件，

所以y=220－160x+160－120×100－x=20x+4000，

（2）由題意可得

x≥60160x+120100－x≤15000，

解 不等式組可得60≤x≤75，

因為y=20x+4000中，k=20＞0，

所以y隨x的增大而增大，

所以當x=75時，y最大，

最大值為5500（元）.

3 行程問題

行程問題是和時間、路程和速度有關系的實際問題，其中時間一般是未知變量，會給出已知速度，此時路程和時間對應等式關系：路程=時間×速度，列出一次函數解析式，結合其他問題要求列出方程或不等式，解答即可得到答案.

例3 如圖1所示，學校在小亮家和圖書館之間，小亮步行從家出發經過學校勻速前往圖書館．圖2是小亮步行時離學校的路程y（米）與行走時間x的關系圖.

（1）小亮步行的速度為米/分，a=分；

（2）求線段所表示的y與x之間的函數表達式；

（3）經過多少分時，小亮距離學校100米.

分析 首先根據已知圖象求出步行速度，其次分析走完學校和圖書館兩段路程需要的總時間.由于學校處于家和圖書館的中間位置，變量y與x的關系式涉及線段BC表示的一次函數解析式，將具體點坐標代入一次函數解析式求出斜率和截距，即可得到具體表達式和最終值.

解 （1）由圖象可知，小亮離學校150米，學校離圖書館300米，

小亮從家到學校用時6min，

所以小亮的步行速度為25（米/分），

從學校到圖書館用時12（分鐘），

所以a=12（分）.

（2）設線段BC表示的函數表達式為y=kx+bk≠0，

把6，0、18，300代入表達式可得

6k+b=018k+b=300，

解不等式組得k=25b=－150，

所以線段BC所表示的函數表達式為y=25x－150.

（3）設經過x分鐘時，小亮距離學校100米，

①小亮到達學校前，小亮距離學校100米，

25x+100=150，

解得x=2，

②當小亮到達學校后，小亮距離學校100米，

25x－100=150，

解得x=10，

所以經過2分鐘或10分鐘后，小亮距離學校100米.

4 結語

上述三類題型都是常見的實際生活問題，也是和一次函數聯系緊密的實際應用問題.掌握一次函數的實際應用題，首先要熟悉一次函數解析式、點坐標和圖象，還需要理解實際問題中包含的等價關系，假設自變量與應變量，按照關系等式列式，繼而做出進一步的解答.

參考文獻：

[1]劉耀鵬．一次函數結合題型的歸類解析[J]．數理化學習，2019（01）：24-25.

[2]朱雨辰.一次函數應用題的類型及其解法[J].語數外學習（初中版），2021（06）：21-23.