二元一次方程組在工程問題中的應用探討

【摘要】本文主要探討二元一次方程組在工程問題中的應用，通過具體案例分析，展示如何利用二元一次方程組解決工程中的實際問題，供讀者參考．

【關鍵詞】初中數(shù)學；二元一次方程組；工程問題

在工程問題中，常常會遇到一些需要求解的問題，這些問題往往需要使用數(shù)學工具進行求解．二元一次方程組作為一種基本的數(shù)學工具，在工程問題中具有廣泛的應用．本文將通過具體案例，分析二元一次方程組在工程問題中的應用．

1 生產(chǎn)效益問題

例1 某市有一家商店需要裝修，若A、B兩個裝修工程隊同時進行裝修，預計8天可以完成任務，需付給兩工程隊的總費用為3520元；若先讓A工程隊單獨裝修6天，然后讓B工程隊單獨裝修12天可以完成任務，需付給兩工程隊的總費用為3480元，問：

（1）A、B兩個裝修工程隊單獨裝修1天，商店應各付他們費用多少元？

（2）已知A工程隊單獨裝修需要12天，B工程隊單獨裝修需要24天，裝修完成之后，商店每天就可盈利200元，那么，如何安排裝修最有利于商店經(jīng)營呢？通過計算闡述理由．

解析 （1）設A工程隊單獨裝修一天應付工資x元，B工程隊單獨裝修一天應付工資y元，

依題意得：8x+8y=35206x+12y=3480，

解得x=300y=140，

所以A工程隊單獨裝修一天應付工資300元，B工程隊單獨裝修一天應付工資140元．

（2）A工程隊單獨裝修：300×12+200×12=6000（元），

B工程隊單獨裝修：140×24+200×24=8160（元），

A、B兩個裝修工程隊裝修：（300+140）×8+200×8=5120（元）.

因為5120<6000<8160，

所以由A、B兩個裝修工程隊同時裝修有利于商店經(jīng)營．

2 貨物運輸?shù)某杀締栴}

例2 為實現(xiàn)“鄉(xiāng)村振興”戰(zhàn)略目標，某鄉(xiāng)鎮(zhèn)制定了“以產(chǎn)業(yè)帶動發(fā)展”的策略，開發(fā)出了某新型農(nóng)產(chǎn)品，計劃租用A，B兩種型號的貨車將該農(nóng)產(chǎn)品運往外地銷售，已知用一輛A型車和2輛B型車載滿該農(nóng)產(chǎn)品一次可運11噸；用2輛A型車和一輛B型車載滿該農(nóng)產(chǎn)品一次可運10噸．現(xiàn)有該農(nóng)產(chǎn)品31噸，計劃一次運完，且每輛車都滿載．

（1）一輛A型貨車和一輛B型貨車滿載時一次分別運該農(nóng)產(chǎn)品多少噸？

（2）若一輛A型貨車需租金100元/次，一輛B型貨車需租金120元/次，請問有幾種租車方案？哪種最省錢？

解析 （1）設一輛A型貨車載滿該農(nóng)產(chǎn)品一次可運送x噸，一輛B型貨車載滿該農(nóng)產(chǎn)品一次可運送y噸，

由題意可得：x+2y=112x+y=10，

解得：x=3y=4，

所以一輛A型貨車載滿該農(nóng)產(chǎn)品一次可運送3噸，一輛B型貨車載滿該農(nóng)產(chǎn)品一次可運送4噸．

（2）設租用A型貨車a輛，B型貨車b輛，

由題意可得：3a+4b=31，

所以a=31－4b3，

又因為a，b均為非負整數(shù)，

所以a=9b=1，或a=5b=4，或a=1b=7，

所以該物流公司共有3種租車方案，

方案1：租用9輛A型車，1輛B型車；

方案2：租用5輛A型車，4輛B型車；

方案3：租用1輛A型車，7輛B型車，

所以方案1的費用：9×100+1×120=1020元，

方案2的費用：5×100+4×120=980元，

方案3的費用：1×100+7×120=940元，

因為1020＞980＞940，所以方案3最省錢．

3 工期問題

例3 為打造某地區(qū)的風景帶，需要將一段長400米的河道進行美化治理，計劃由甲，乙兩組先后接力完成任務，一共用時20天．已知甲組每天治理24米，乙組每天治理16米，結合題意，小李和小王兩名同學分別列出了不太完整的方程組：

小李：a+b=①24a+16b=②

小王：x+y=③x24+y16=④

（1）根據(jù)小李和小王兩名同學所列出的方程組，請分別指出這些未知數(shù)所表示的含義．

甲：未知數(shù)a，b分別表示．

乙：未知數(shù)x，y分別表示．

（2）補全小李和小王兩名同學所列的方程組．

（3）若甲組完成計劃河道治理任務后，乙組接到通知需提前5天完成剩余的治理任務，問乙組現(xiàn)在每天需治理多少米河道？

解析 （1）根據(jù)小李所列方程：

a+b=①24a+16b=②，

分析可知a表示甲組的工作時間，b表示乙組的工作時間；

根據(jù)小王所

列方程：x+y=③x24+y16=④，

分析可知x表示甲組的工作量，y表示乙組的工作量．

（2）設甲組的工作時間為a天，乙組的工作時間為b天，

因為計劃由甲，乙兩組先后接力完成，共用時20天，河道總長為400米，

所以a+b=2024a+16b=400，

設甲組的工作量為x米，乙組的工作量為y米，

因為甲，乙兩組的工作總量為400米，甲，乙兩組的工作時間為20天，

所以x+y=400x24+y16=20．

（3）設甲組的工作時間為a天，乙組的工作時間為b天，

因為原計劃由甲，乙兩組先后接力完成，共用時20天，河道總長為400米，

所以a+b=20①24a+16b=400②，

解得：a=10b=10，

因為甲組完成計劃河道治理任務，

所以甲組完成的任務為10×24=240（米），

因為河道治理總任務為400（米）

所以剩下的任務為400－240=160（米），

因為乙組接到通知需提前5天完成剩余的治理任務，

所以乙組現(xiàn)在每天需治理的任務為160米5天=32（米/天）．

4 結語

二元一次方程組在工程問題中具有廣泛的應用，可以幫助企業(yè)解決實際工程問題，提高企業(yè)的效率和效益．同時，這種工具也有助于提高工程師的數(shù)學素養(yǎng)和解決問題的能力．