求函數解析式的方法分類例析

【摘要】函數解析式是函數的重要表達形式之一，求解函數解析式在數學學習和實際應用中具有重要意義．本文通過對比較復雜函數求解解析式的方法分類例析，系統地介紹常見的求解函數解析式的方法，并通過具體的例題展示這些方法的應用，旨在幫助讀者更好地理解和掌握求函數解析式的技巧，提升初中學生的學科核心素養．

【關鍵詞】初中數學；函數解析式；解題方法

函數作為初中數學中的重要概念，在各個領域都有著廣泛的應用．而函數解析式則是描述函數關系的一種精確方式，準確地求出函數解析式對于解決函數相關問題至關重要．不同類型的函數可能需要采用不同的方法來求解解析式，因此掌握多種求函數解析式的方法是學好函數的關鍵．

1 根據對稱性求解函數解析式

例1 規定：如果兩個函數的圖象關于y軸對稱，那么稱這兩個函數互為“Y函數”．已知函數y=k4x2+k－1x+k－3，則它的“Y函數”解析式為 ．

解析 設函數y=k4x2+k－1x+k－3的圖象上的一點為x，y，

則關于y軸對稱的點為－x，y，

將點－x，y代入

y=k4x2+k－1x+k－3，

得y=k4x2－k－1x+k－3．

點評 本題考查了運用對稱性求解新函數的解析式，設原圖象上的一點為x，y，兩個函數的圖象關于y軸對稱，得到互為“Y函數”的另一函數上一點坐標為－x，y，代入函數解析式即可求解．

2 借助已知函數求解其他函數的解析式

例2 如圖1所示，在平面直角坐標系xOy中，直線y=－x+4與反比例函數y=kxx>0的圖象相交于點A1，a和點B3，b兩點．

（1）求反比例函數的解析式；

（2）根據圖象回答：當x取何值時，一次函數的值大于反比例函數的值？

解析 （1）將點A1，a代入y=－x+4，

得a=－1+4=3，

所以點A1，3，

將點A1，3代入y=kx中，

得3=k1，

所以k=3，

所以反比例函數的解析式為y=3x．

（2）根據圖1可得，當1<x<3時，一次函數圖象在反比例函數圖象的上方，即一次函數的值大于反比例函數的值．

點評 本題考查了一次函數與反比例函數的交點問題．在求反比例函數的解析式時，借助了一次函數的解析式和它們的交點．第（1）問中，先把點A1，a代入直線y=－x+4，求出a的值，故可得出A點坐標，再把A點坐標代入反比例函數y=kx，求出k的值即可得出所求結果．

3 運用待定系數法等綜合方法求函數解析式

例3 如圖2所示，拋物線y=x2－4與x軸有兩個交點A，B，其中B在A的右側，C為拋物線的頂點，經過點A的直線y=x+m與y軸相交于點D．

（1）根據題中條件求AD的長；

（2）將該拋物線沿直線AD方向平移，得到一條頂點為C′的新拋物線，若點C′在反比例函數y=－3x（x>0）的圖象上．求新拋物線對應的函數表達式．

解析 （1）由x2－4=0，

得x1=－2，x2=2，

因為點B位于點A的右側，

所以A－2，0，

而y=x+m過點A，

所以－2+m=0，解得m=2，

所以直線AD的解析式為y=x+2，

所以點D的坐標為0，2，

所以AD=OA2+OD2=22；

（2）設新拋物線對應的函數表達式為：y=（x－a）2+n，

所以C′a，n，

因為CC′平行于直線AD，且經過C0，－4，

所以直線CC′的解析式為：y=x－4，

因為點C′在反比例函數y=－3x（x>0）的圖象上，

所以n=－3an=a－4，

解得a=3n=－1或a=1n=－3，

所以新拋物線對應的函數表達式為：

y=（x－3）2－1或y=（x－1）2－3，

所以新拋物線對應的函數表達式為：

y=x2－6x+8或y=x2－2x－2．

點評 本題主要考查了二次函數圖象及其圖象上點的坐標特征、反比例函數圖象及其圖象上點的坐標特征、二次函數圖象的平移、運用待定系數法求一次函數和二次函數解析式、勾股定理、解一元二次方程等知識，熟練掌握方程思想的應用是解題的關鍵．本題第（1）問中，根據二次函數解析式求出點A的坐標，然后求出直線AD的解析式y=x+2，進而得到點D的坐標，最后根據勾股定理計算即可；本題第（2）問中，設新拋物線對應的函數表達式為：y=（x－a）2+n可得C′a，n，根據題意求出直線CC′的解析式，然后把點C′a，n分別代入直線CC′的解析式和反比例函數y=－3x的解析式中計算即可．

4 結語

求函數解析式是函數學習中的重要內容，需要根據具體問題選擇合適的方法．在實際應用中，往往需要綜合運用多種方法來求解．通過不斷的練習和總結，能夠提高求解函數解析式的能力，為進一步學習和解決函數相關問題打下堅實的基礎．

參考文獻：

[1]陶千春.求解反比例函數解析式的方法例析[J].數理天地（初中版），2022（12）：4-5.

[2]張榮富.二次函數解析式求解方法初探[J].課程教育研究，2020（13）：163-164.