多思維應用 巧追根溯源 妙變式拓展

摘要：借助一道三角函數最值題的剖析，從多思維應用入手進行“一題多解”，合理追根溯源進行“試題鏈接”，開拓數學思維進行“變式拓展”，引領并指導數學教學與解題研究.

關鍵詞：三角函數；最值；不等式；導數；幾何

中圖分類號：G632文獻標識碼：A文章編號：1008-0333（2024）25-0021-03

收稿日期：2024-06-05

作者簡介：張春梅（1981.1—），女，湖北人，碩士，中學一級教師，從事高中數學教學研究.[FQ）]

三角函數的最值問題是高考的重點和熱點之一.此類問題往往題設條件簡捷明了，切入思維方式多樣，問題突破點不盡相同，解題技巧與方法多變，是全面考查數學“四基”與數學能力的基本考點之一，備受關注.“一題多解”是克服學生思維定式的一種有效途徑，也是培養學生發散思維的一種有效方法［1］.本文對一類三角函數最值問題進行研究，多角度、多思維探究解題方法，進一步豐富學生的解題策略，幫助學生培養綜合分析問題的能力，形成良好的數學素養.

1問題呈現

在實際解題時，往往是合理回歸三角函數中最值（或取值范圍）問題的解題思維與技巧，可以采用不等式思維、導數思維以及幾何思維等來切入，合理選用相應的方法來轉化與求解，實現問題的突破與解決［2］.

2問題破解

2.1不等式思維

解后反思該方法也是通過兩次放縮來處理，綜合利用不等式的性質（a≤|a|）與均值不等式（abcd≤（a+b+c+d4）4）等，合理配湊吻合三角函數的平方關系來轉化是利用均值不等式放縮的關鍵.

2.2導數思維

解后反思導數法是解決函數的單調性與最值等相關問題中比較常用的一種技巧方法.通過相應函數的求導運算，結合導函數的正負取值判斷，進而確定相應的函數單調性，JzE0NxFSaY1lYirljLesmEzrNc/SfpF2PbrLl3xCv3A=就可以比較直接地確定相應函數的最值.

2.3幾何思維

解后反思根據所求三角函數代數式的結構特征，充分挖掘其實質，合理創設數學模型的解題意境.通過構建平面幾何圖形，抓住圖形的幾何特征與性質，利用數形結合也是解決一些三角函數問題的一種“巧技妙法”，開拓數學思維與解題技巧.

3考題鏈接

4變式拓展

5結束語

解決涉及三角函數關系式的最值（或取值范圍）問題，往往基于三角函數的本質與內涵，從基本概念、基本性質以及基本公式等入手，合理尋找問題的切入點，借助其他相關的知識加以分析與求解.這是解決此類涉及三角函數關系式的最值（或取值范圍）問題的“通性通法”，也是命題的基本基石，要加以合理把握［3］.

波利亞曾說過，掌握數學就是意味著善于解題.

這就要求學習者在實際解題中，要樹立正確的解題觀，認真分析仔細探究，從不同思維方式的切入進行“一題多思”，從不同技巧方法的應用進行“一題多解”，從不同應用層面進行“一題多變”，養成良好的數學品質與思維習慣，培養數學核心素養.

參考文獻：

［1］于先金，唐鵬久.由一道高考三角最值題引發的探究[J].河北理科教學研究，2023（02）：59-61.

［2］ 施華.一個三角最值題的多種解法[J].中學數學研究，2022（02）：53.

［3］ 吳迪.一道高考三角最值題的解與變[J].數理天地（高中版），2019（03）：46-47.

［責任編輯：李璟］