圓錐曲線中與兩直線斜率的倒數之和有關的一個性質

摘要：從一道典型試題出發，經過深入探究得到圓錐曲線中與兩直線斜率的倒數之和有關的一個性質，主要解決了以下問題：已知定點P，去找定點Q，過點Q的動直線與圓錐曲線交于A，B兩點，則直線PA，PB的斜率的倒數之和是定值.

關鍵詞：圓錐曲線；斜率；倒數之和；定值

中圖分類號：G632文獻標識碼：A文章編號：1008-0333（2024）25-0064-05

收稿日期：2024-06-05

作者簡介：鄧啟龍，男，江西省遂川人，碩士，中學一級教師，從事中學數學教學研究.

在圓錐曲線的定點定值問題中，有一個熟知的結論，即過圓錐曲線E上的點P，作兩條斜率之和（積）為定值的直線分別與圓錐曲線E交于點A，B，則直線AB過定點（或有定向）[1].若點P不在圓錐曲線E上，過點P作兩條斜率的倒數之和為定值的直線分別與圓錐曲線E交于點A和點B（其中一個交點），則直線AB是否過定點（或有定向）？若點P不在圓錐曲線E上，是否存在定點Q，過點Q的動直線與圓錐曲線E交于A，B兩點，則直線PA，PB的斜率的倒數之和是定值？本文從一道典型試題出發，經過深入探究，得到一系列結論.

1試題呈現與解析

2已知定點P，去找定點Q

3結束語

圓錐曲線是非常重要的一類平面曲線，是平面解析幾何的重要內容，它集中體現了解析幾何的基本思想.圓錐曲線不僅具有獨特的形狀，還有很多有趣的性質.本文從一道典型試題出發，經過深入探究，得到圓錐曲線中與兩直線斜率的倒數之和有關的一個性質，主要解決了以下問題：已知定點P，去找定點Q，過點Q的動直線與圓錐曲線交于A，B兩點，則直線PA，PB的斜率的倒數之和是定值.

參考文獻：

［1］曹軍.圓錐曲線上的定點定值子弦的性質：圓錐曲線頂點定值子弦性質的推廣[J].中學數學研究（華南師范大學版），2013（19）：19-21.

[2] 梅向明.高等幾何[M].北京：高等教育出版社，2020.

［責任編輯：李璟］