對一道2024屆T8聯考題的解法探究與拓展

摘要：直線與圓錐曲線的綜合題一直是近幾年高考及模考的重點和熱點問題，其內容豐富，涵蓋了代數、幾何等模塊的眾多知識，還涉及許多解題技巧，能考查考生綜合應用數學知識分析問題和解決問題的能力.

關鍵詞：圓錐曲線；直線斜率；圓的切線

中圖分類號：G632文獻標識碼：A文章編號：1008-0333（2024）25-0017-04

收稿日期：2024-06-05

作者簡介：賀鳳梅（1979—），女，湖北省隨州人，本科，中學一級教師，從事中學數學教學研究.

圓錐曲線的切線的斜率求解問題逐漸成為高考及?？嫉某？碱}型，通常把直線、圓及圓錐曲線等知識融合在一起，注重數學思想方法的考查，尤其是對函數思想、數形結合思想、化歸與轉化的思想等的考查[1]，符合課程標準中“對數學能力的考查要以數學基礎知識、數學思想和方法為基礎”的要求.下面以2024屆T8聯考圓錐曲線解答題為例進行分析與探究，以饗讀者.

1試題呈現

2總體分析

本題是2024屆高三第一次學業質量評價數學試題（即T8聯考）第20題，是直線與圓錐曲線的綜合題.此題以橢圓為載體，第（1）問是求橢圓方程，根據題目所給信息以及a，b，c之間的關系，列出等式即可求出，屬于基礎題.第（2）問常規方法易求，設直線AC的斜截式方程，與橢圓聯立，結合根與系數的關系、點到直線的距離公式以及三角形面積公式聯合求解即可.不過筆者通過計算與求解發現，除了參考答案中的常規解法外，還可以以AB為底邊，點C到AB的距離為高轉化求解.因為直線AC與圓相切，也可以借助切點寫出切線方程，再利用兩種轉化策略求解.另外，還可以將問題進行進一步拓展和推廣，得到一般結論.以下具體分析與探討，期待能對大家有所啟發.

3試題解答

評注 此解法是以切點坐標設出直線AC的方程，與橢圓方程聯立，處理方法與解法1異曲同工，讀者朋友們自行閱讀與領會.

評注此解法是結合了解法3設直線AC的方法，面積的轉化和求解與解法2如出一轍.只要我們善于研究與探討，一定會發現各種解法之間的關聯性，從而拓寬解題思路，提升解題能力.

4拓展與推廣

以上的探討與解答只是對此道題的分析，如果就此止步，未免可惜.根據題目數據的設置，結合圖象發現，圓的半徑是橢圓的短軸長，由此猜想，△ABC面積是否與橢圓中的a，b，c以及直線AC的斜率k有內在聯系呢？于是嘗試將問題一般化，進行推廣.

評注此法采用的是解法1的求解方法，得出了△ABC的面積與橢圓中的a，b，c以及直線AC的斜率k的關系.據此，試題就有了研究與應用的價值，大家可以依托數據關系給出相關的變式題了，感興趣的同仁們不妨一試！

5試題鏈接

評注直線與圓錐曲線試題中涉及求直線斜率與方程的題在歷年高考與?？碱}中均有體現，需要引起大家的重視.

6結束語

直線與圓錐曲線的綜合題在高考與?？贾芯詨狠S題出現，主要涉及位置關系的判定、弦長問題、面積問題、定點定值問題、最值問題、直線的斜率問題等.解答這部分試題，需要較強的運算求解能力和識別圖形的能力，常常需要快速準確地進行“數”與“形”的語言轉換與運算，運算過程中注重思維的嚴密性，以保證結果的完整性.突出考查了數形結合、轉化與化歸的數學思想，對分析問題和解決問題的能力要求都很高[2].

參考文獻：［1］

劉雄杰.圓錐曲線的切線斜率研究[J].中學數學，2021（21）：46-47，53.

[2] 劉志浩.圓錐曲線問題的幾何思考[J].課程教學研究，2013（11）：132.

［責任編輯：李璟］