常量代換齊次化 整體思維構斜率

摘要：在求解直線與圓錐曲線位置關系問題時，如果借助整體思維，通過齊次化的思想方法就可以巧妙構造斜率，得到關于y/x的一元二次方程，從而將問題中涉及的兩條直線的斜率直接視為該一元二次方程的兩個根，然后根據韋達定理直接得到斜率之和與斜率之積的表達式．

關鍵詞：齊次化；圓錐曲線；斜率之和；斜率之積

中圖分類號：G632文獻標識碼：A文章編號：1008-0333（2024）25-0011-06

收稿日期：2024-06-05

作者簡介：朱賢良（1981—），男，安徽省樅陽人，本科，中學高級教師，從事中學數學教學研究.

對于涉及直線斜率之和為定值或斜率之積為定值的直線與圓錐曲線相交的解析幾何問題，其常規求解過程是先將直線方程與圓錐曲線方程聯立消元，得到一元二次方程后利用韋達定理得到兩根的關系，再與題設條件中的直線斜率之和或斜率之積相關聯，最后求出結果.在求解過程中，聯立消元得到的方程的正確性以及由韋達定理得到的式子的形式與題設條件之間的合理轉化是運算的關鍵［1］.這樣的“解題套路”的思路非常清晰，但其運算量較大，考生常常一步算錯，滿盤皆輸.能否找到一種計算量較小且容易獲得答案的方法，而且又能一般化？本文以近些年高考與模考中出現的此類解析幾何問題為例，探索齊次化方法的應用.

1一道高考試題和它的常規求解思路

2整體思維與斜率的巧妙構造

2.1“齊次化聯立”巧構斜率

2.2“平移齊次化”化解疑難

評注利用“平移齊次化”解題的關鍵有二：一是坐標系的平移，要注意平移前后的“變”與“不變”，特別是不能弄錯曲線在新坐標系中的方程；二是“齊次化聯立”，本題之所以將直線l′的方程設為mx′+ny′=1，就是考慮到接下來的常量代換，需要簡化運算過程，從而順利實現齊次化的目的．

3齊次化方法解決一類斜率之和（積）問題

如例1的求解過程，“齊次化”是一種通過構造關系式（等式或不等式）兩邊各項的次數相等，轉化為齊次式結構，從而實現解題的一種數學轉化方法．在求解圓錐曲線問題時，如果借助齊次化的思想方法，就可以由直線方程與圓錐曲線方程聯立得到關于y/x的一元二次方程，從而將題目中涉及的兩條直線的斜率直接視為該一元二次方程的兩個根，再根據韋達定理，即可直接得到斜率之和與斜率之積的表達式［2］.

4結束語

從以上四例的求解可以看出，齊次化方法充分體現了運用坐標法求解圓錐曲線綜合問題的整體構思.齊次化聯立能得到什么樣的結論？能解決什么樣的問題？平移齊次化又能達到什么樣的效果？平移后的“變”與“不變”怎樣來解釋平移前的問題？只有對齊次化方法有了整體的認知，才能將求解的思路形成一個整體構思，從而更好地領悟解析方法的本質，提升數學運算素養．

參考文獻：

［1］魏欣.齊次平移巧解一類圓錐曲線問題[J].中學數學研究（華南師范大學版），2018（21）：3-6.

[2] 項海圓，黃永明.巧用齊次化方法解圓錐曲線問題[J].中學數學教學參考，2021（07）：40-42.

［責任編輯：李璟］