本質理解助運算能力提升

小學數學教學中，簡便計算貫穿各個學段，涉及整數、小數、分數等的運算，涵蓋加、減、乘、除等基本運算類型，要求學生靈活運用運算律、運算性質和運算順序相關知識簡便地解決計算問題，提高計算效率，發展運算能力。教師一方面要在日常教學中滲透簡便計算方法，加強學生數感培養；另一方面要依托簡便計算專題教學，通過運算模型的有意義建構、運算律運用的對比辨析等教學策略，深化學生對簡便計算本質的理解，提升學生簡便計算的技巧，提高學生計算的速度和準確性，為學生以后的數學學習打下堅實的基礎。如何更好地實施簡便計算教學呢？本期，我們精選三篇文章，從典型課例教學和估算教學兩個視角進行闡釋。

《乘法分配律》是北師大版數學四年級《運算律》單元的內容。運算律是運算體系中最具普遍意義的規律，是運算的基本性質，是運算推理的依據。如何更好地教學這節課，幫助學生構建乘法分配律的運算模型，理解乘法分配律的本質，增強簡算意識，提升運算能力？

一、分析教材理思路

北師大版小學數學教材中有關運算律的內容大致可以分為三個學習階段。第一階段也就是第一學段，要求學生結合生活實例感知運算律，在解決簡單實際問題和計算題的過程中憑借直覺運用運算律。這個階段不涉及概念學習，是自然滲透、自覺運用的階段。第二階段要求學生系統地學習5種運算律，重點是理解運算律的意義，并運用運算律進行簡便運算，達到感知算式的等值變形、提升運算能力的目標，相關內容集中在四年級上冊教材中。《運算律》單元的學習就屬于第二階段。第三階段在五年級下學期至六年級上學期，學生主要學習運算律在小數和分數中的應用，學會運用運算律使小數和分數的混合運算變得簡便，從而提升運算能力。

基于以上分析，我們可以發現本單元是學生第一次系統地學習運算律及其應用，具有承上啟下的作用。一方面，教材在本單元之前多次滲透運算律和簡便計算的一些方法，學生已經積累了一定的經驗。另一方面，本單元的教學要為學生后續在小數、分數運算中應用運算律進行簡便計算打下基礎。

二、把握學情明重點

對乘法分配律，學生已有認知基礎。二年級上學期學習乘法口訣時，學生用4×7+2×7推算6×7的結果，知道了“四七二十八”加上“二七十四”，就是“六七四十二”。三年級上學期學習長方形的周長時，學生用“長×2+寬×2”“（長+寬）×2”兩種方法計算長方形的周長。三年級上學期學習兩位數乘一位數時，學生借助點子圖分析18×4的計算過程，如把18拆分成10和8，先算10×4和8×4，再把兩部分的積相加，利用數形結合的方法感知乘法分配律。三年級下冊兩位數乘兩位數和四年級上冊三位數乘兩位數的學習，都滲透了乘法分配律。可見，學生學習《乘法分配律》之前已經有了一定的知識經驗，但這些知識經驗是碎片化的，并未經過梳理、總結而形成結構化的知識，所以本節課的重點之一是喚醒學生已有的知識經驗，引導他們在歸納、總結中建立結構化的知識體系。

通過學情調研，筆者發現，雖然學生在以前的學習中接觸過乘法分配律，但由于乘法分配律結構復雜、變式較多，再加上乘法分配律和已經學習的乘法結合律有相似之處，容易造成負面的遷移，導致本節課的學習對學生來說有一定的難度。

“乘法的意義”是乘法分配律的核心與本質，是學生認識并建立乘法分配律模型的基礎。要想讓學生真正理解乘法分配律，教學就不能停留在不完全歸納和機械模仿的層次，而要引導學生從乘法的意義深入理解乘法分配律，對乘法分配律運算模型形成一般化的認識。這樣教學，學生才能在面對眾多變式問題時識別原型，并靈活運用乘法分配律解決問題。

三、設計教學悟模型

1.課前游戲，激發興趣

課前，筆者組織學生4人一組玩擲骰子游戲，并提供如下學習單，讓學生邊玩游戲邊記錄自己的發現。

課前游戲學習單

規則：任意擲骰子，先用骰子上面的點數乘8，再用骰子下面的點數乘8，最后把所得的積相加。連續擲10次，將結果記錄在下表中。

我的發現：

自主游戲后，學生驚奇地發現：按照游戲規則不管擲多少次，計算結果都是56。筆者引導：“這其中隱藏著什么數學奧秘呢？我們通過這節課的學習來揭秘。”

2.多元表征，建立模型

數學課程標準對《運算律》單元的教學，提出“要通過實際問題和具體計算，引導學生用歸納的方法探索運算律、用字母表示運算律，感知運算律是確定算理和算法的重要依據，形成初步的代數思維”等要求。基于此，筆者創設買衣服的情境，引導學生結合點子圖、長方形面積模型等，逐步經歷乘法分配律的建模過程，進而剝去乘法分配律外在的“形”，深入理解乘法分配律內在的“魂”，即乘法的意義，強化學生的抽象能力、運算能力、符號意識和模型意識。

首先，筆者出示如下三則材料，讓學生從中選擇一則材料，嘗試用兩種不同的方法解決問題，并要求學生先列綜合算式，再計算。

材料1 上衣每件50元，裙子每條40元，買8套衣服一共要多少元？

材料2 一共有多少個點子？

材料3 拼成的大長方形的面積是多少平方厘米？

交流中，一名學生說：“材料1的第一種解法是（50+40）×8=720元，即先算1套衣服的價格，再乘8，得到8套衣服的總價格；第二種解法是50×8+40×8=720元，即先算8件上衣的價格，再算8條裙子的價格，最后把它們合起來得到總價格。”三則材料都像這樣交流之后，筆者引導：“兩種方法解決的是同一個問題，計算結果也相同，可以用等號連接。”師生由此得到三組式子：（50+40）×8=50×8+40×8，（2+3）×7=2×7+3×7，（4+6）×3=4×3+6×3。

接著，筆者拋出關鍵問題：“如果不計算，你能證明這些式子左右兩邊相等嗎？”學生基于乘法的意義展開思考和交流。一名學生解釋：“（50+40）×8表示90個8，50×8+40×8表示50個8與40個8的和，兩者意義相同，所以（50+40）×8=50×8+40×8。”學生從等式左右兩邊表示的實際意義出發，順理成章地發現并理解了乘法分配律的本質。這是他們認識并建立乘法分配律模型的基礎。

然后，筆者組織學生照樣子寫幾個等式，并結合乘法的意義論述等式成立的算理。進一步地，筆者引導學生觀察這些式子的左邊和右邊在形式上有什么異同點。學生各抒己見：“左右兩邊的式子運算順序不同，左邊先算加法再算乘法，右邊先算乘法再算加法”；“左邊的式子有括號，右邊的式子沒有括號”；“左邊的式子是兩個數的和乘第三個數，右邊的式子是這兩個數分別乘第三個數，再把積相加”。學生從意義和形式兩個方面理解了乘法分配律。

最后，筆者提出新問題：“類似這樣的式子，我們能寫完嗎？”通過前面的仿寫環節，學生感知到這樣的式子永遠寫不完，從而體會到建立模型的必要性。筆者追問：“你能把這些式子中的規律表示出來嗎？”有的學生用語言描述：“兩個數的和乘第三個數，等于這兩個數分別乘第三個數，再把它們的積相加。”有的學生用圖形表示：（○+△）×□=○×□+△×□。還有的學生用字母表示：（a+b）×c=a×c+b×c。學生用不同的形式表示乘法分配律模型，加深了對乘法分配律的理解。

3.尋找關聯，融會貫通

數學課程標準在教學建議中指出：“要整體把握教學內容，注重教學內容的結構化。”此環節，筆者引導學生將乘法分配律與之前學習的乘法口訣、長方形周長公式、兩位數乘一位數的口算、兩位數乘兩位數的筆算等知識相關聯，形成結構化的知識體系。

筆者出示以下材料，引導學生用乘法分配律的知識解釋其中的道理。

學生發現乘法口訣、長方形周長公式、筆算乘法之間都是有聯系的，其中都隱含著乘法分配律模型，進一步體會到乘法分配律的本質是乘法的意義。

4.層級練習，深化運用

乘法分配律結構復雜、變式較多。練習環節，筆者逐步呈現緊扣難點和易錯點設計的練習，幫助學生鞏固所學內容，提高運算能力。

練習1：觀察以下兩個式子［①（4×2）×25=4×25+2×25；②99×37+37=（99+1）×37］，判斷哪個是對的。其中，第①小題意在幫助學生辨析乘法結合律和乘法分配律。學生借助“乘法的意義”回答“左邊是8個25，右邊是4個25加2個25即6個25，所以兩邊不相等”，輕松突破了難點，得出①錯。第②小題與標準的乘法分配律的形式不同，學生很容易出錯，筆者仍然引導學生從乘法的意義角度思考和解釋。學生發現，左邊是99個37加1個37，右邊是100個37，所以兩邊相等，得出②對。學生準確識別并靈活運用乘法分配律模型解決了問題。在此基礎上，筆者拋出問題：“如果老師想知道式子左右兩邊的結果，你能快速算出來嗎？”學生都選擇右邊的式子計算結果，即（99+1）×37=100×37=3700，進而發現右邊的式子“（99+1）×37”可以直接口算。這樣教學，學生體會到乘法分配律讓運算更簡便，從而增強了簡算意識。

練習2：回顧課前的擲骰子游戲，為什么不管擲多少次，結果一定是56呢？學生通過觀察與討論，發現骰子相對兩個面的點數之和都等于7，因此，按照游戲規則，不管擲多少次，結果一定是56。該習題呼應課前游戲，引導學生自主揭示了游戲奧秘。

練習3：這節課同學們的表現很棒，第一大組得到9朵花，第二大組得到6朵花，第三大組得到8朵花，每朵花計5分，總分數要用9×5+6×5+8×5計算，你會運用乘法分配律簡便地計算出結果嗎？如果要從總分數中減去4朵花的分數，即計算23×5-4×5等于多少，我們還能轉化運用乘法分配律來計算嗎？筆者抓住課堂生成性資源，使乘法分配律模型由兩個數拓展到三個數，由“乘加”拓展到“乘減”。

（作者單位：宜昌市長陽土家族自治縣賀家坪鎮長城中小學）