跨學科視域下數學留白創造式教學的內涵與策略*

摘 要：跨學科背景下，數學教學應鼓勵學生多角度發散性提出問題、分析問題和解決問題，指向學生創新意識的培養。研究結合數學教育中跨學科學習的學科意蘊，分析留白創造式教學的內涵。基于內涵分析，思考留白創造式教學的深化策略：以數學學科邏輯為基礎，創設跨學科情境，在情境設計處留白，凸顯學科性;整合教材中的閱讀材料，在“問題—對話”處留白與布白;設計結構不良問題，在解決問題（方法運用）處留白;融合階段性評價和過程性評價，在評價任務設計處留白，關注教學評一致性，以培育學生的創新意識為目標指向。

關 鍵 詞：跨學科教學;創新意識;留白創造式教學;高中教學;探究式教學

引用格式：李亞瓊，寧連華，黃賢明.跨學科視域下數學留白創造式教學的內涵與策略[J].教學與管理，2024（27）：83-87.

《普通高中數學課程標準（2017年版2020年修訂）》（以下簡稱2020課標）中提到：高中數學課程以學生發展為本，落實立德樹人根本任務，培育科學精神和創新意識，從而提升學科核心素養[1]。《義務教育數學課程標準（2022年版）》（以下簡稱2022課標）提出：創新意識是數學核心素養之一，創新意識主要指主動嘗試從日常生活、自然現象或科學情境中發現和提出有意義的數學問題……勇于探索開放性的、非常規的實際問題與數學問題[2]。這里，“創新”是一種意識，表現為主動去探索、發現的心理傾向，一種積極的態度[3]。如何培養學生的創新意識，是數學教育研究的重要課題。

跨學科教學日益受到教育界的關注，2022課標要求各個學科開展不低于百分之十課時的跨學科學習，跨學科研究的價值不言而喻。本研究基于跨學科的學科意蘊，思考留白創造式教學的內涵、關鍵及深化策略，指向學生創新意識的培養。

一、數學教育中跨學科學習的學科意蘊

伴隨著學科的分化，學科間呈現出一定的滲透性，其界限慢慢模糊并朝著綜合化方向發展，跨學科的現象便應運而生。1926年，哥倫比亞大學心理學家伍德沃思（Woodworth）公開使用“跨學科”（interdisciplinary）一詞。1986年，聯合國教科文組織召開首次跨學科會議，“跨學科”作為一種思維方式在教育領域得到重視。2005年，美國發布《促進跨學科研究》報告，對跨學科概念、本質、評估等問題進行了分析[4]。自此，“跨學科”概念得到不斷的豐富與發展。2022課標中“跨學科”的出現，也凸顯數學教育對跨學科研究的積極回應，于是對數學教育中跨學科內涵的思考顯得尤為重要。

1.數學知識觀是跨學科的邏輯基礎

從知識整合的視角提出跨學科學習是學習者創造性地聯結多個學科知識，并基于學科本質進行多維整合的過程[5]。數學問題的探究中，教師應引導學生從發現與創造的視角看待數學知識，學生僅為數學知識的學習者和接受者，也是數學知識的發現者和創造者[6]。結合數學教育的特點，數學知識觀強調數學知識科學性與人文性、建構性與開放性。所以，數學學習需要借助跨學科體驗和探究去促進對數學知識的理解，需要從學生學習知識的心理特征入手，揣摩學生理解知識的認知過程。數智時代下的數學知識觀，需要凸顯數學的人文和科學的特點、數學知識的發現性與發明性特點及數學知識的開放性和模糊性等不確定特征，借助跨學科載體，引導學生形成跨學科思維和創新意識。

2.跨學科學習中的數學學科立場

跨學科學習是整合兩種或者兩種以上學科特點、學習方式或思維方式以解決問題，過程中借助學科融合、學科整合助推學科間相互影響。所以，跨學科不是解構原學科，而是借助學科間的相互借鑒與整合，促進本學科知識的深度理解。海蒂（Heidi）等人認為，跨學科必須要有扎實的學科導向[7]。跨學科學習需要基于學科視角，將知識置于不同情境下，同時又要借助其他學科對本學科進行批判性反思，從而得到對本學科知識的解構和建構。

跨學科視域下的數學學習，應是基于學科特點尋找不同學科思維的融合方式，在學科間交疊的范圍內設計“情境—問題”;設計真實問題情境，消弱學科間的剛性邊界，關注知識聯結和遷移運用，實現數學和其他學科間的統整，旨向培養學生的問題解決能力;在數學學科知識主導其他學科知識輔助下，形成教育合力，豐富學生的學習資源，拓展學生的學科視野，關注跨學科思維的培養。

3.學科素養和創新意識是跨學科的育人指向

素養導向下的數學課程聚焦數學知識及數學本質的理解，指向批判性思維和創新意識的培養。因此，需要基于學生的學習進階及差異化更新理解數學教學，加強數學與現實世界以及其它學科的聯系，在數學學習結果之外能更多地注重數學思考的過程，從而更好地發展學生的學科素養，真正做到將“創新意識體現在數學教與學的過程之中”[8]。學生基于已掌握的學科知識結構，逐漸逼近學科本質，在進行跨學科問題解決時，才有可能實現本學科知識與跨學科知識的融合及知識的遷移，此時跨學科學習才會發生。基于學科立場的跨學科學習能夠產生深層次的學習效果，從而指向培養學科素養和創新意識。

二、跨學科視域下數學留白創造式教學的內涵與關鍵

跨學科視域下，留白創造式教學在發展學生創新意識的道路上發揮著獨特的作用與價值。研究性教學、探究式教學及留白創造式教學都指向學生創新意識及創造能力的培養。

1.從研究性教學、探究式教學到留白創造式教學

關于創新意識和創造能力培養的問題一直是基礎教育關注的熱點。數學教學中，學生在教師指導下，以類似科學研究的方式獲取知識和應用知識的學習過程，便是研究性學習。研究性學習重視學習的過程性，其成果不一定是有“形”的、量化的（蘊含開放性、留白式），強調“創造”不僅僅是行為、能力和方法，更是一種意識、態度和觀念[9]。數學教學中，需要借助數學體驗和數學探究去理解數學知識，需要從學生學習知識的心理特征入手，揣摩學生理解知識的認知過程[10]。因此，數學探究式教學更重視學生自主探究與建構知識。教師通過創設一種包容的、支持性的“學習文化”來呵護學生的自主性，教師通過鼓勵學生質疑以及親自參與討論來引發認知沖突從而促使知識內化，基于認知經驗將學生的知識建構與觀念一致起來[11]。所以研究性教學和探究式教學都強調學生的過程參與式體驗，蘊含開放式的學習觀和知識建構觀。

汪曉勤教授基于數學史上的留白與創新進行研究[12]，以數學史為視角對“留白創造式”教學進行探索[13]。汪教授提及，課堂常見的留白形式有陳述之白、方法之白、論證之白、發現之白、問題之白、超越之白[14]。荷蘭數學教育家弗賴登塔爾（H.Freudenthal）在《作為教育任務的數學》中指出，數學學習的過程是“再創造”的過程[15]，其強調學生在教師留白之后進行補白的過程。課堂教學中的留白，是指教師基于學生的學習進階及教學目標，在教學過程中有意識地留出恰當的時間和空間，引發學生理解并運用、發現、創造知識的一種教學理念與教學策略。

所以，留白創造式教學是基于學生的學習進階及育人目標，為學生學習留下充分的思維空間與探究機會，基于學生的認知起點引發認知沖突，使得學生主動參與體驗，發現問題、提出問題、解決問題的過程[16]。基于此，留白創造式教學更需要關注學生的學習進階，考慮學生學習的差異化，這本身是對數學學習的一種超越。留白創造式教學蘊含數學學習的進階性，指向學生創造意識的培養。由此，從研究性教學、探究式教學到留白創造式教學均有共同的價值指向，即關注學生的學習進階及認知起點，遵循數學知識的內部邏輯，引導學生主動參與數學探究的教學方式，最終指向學生創新意識及創造能力的培養。

2.跨學科視域下數學留白創造式教學的內涵

基于留白創造式教學的價值指向，梳理跨學科視域下留白創造式教學的內涵：以教學陌生化為前提;把握留白的“度”“時機性”和“開放性”。

（1）留白創造式教學的前提：教學陌生化

如何進行留白教學以至于能激發創造性，涵養出學生的創造意識，這其實對教師提出較高的要求。數字信息化時代，各種新教學方式的探索，首先需要考慮的是教師能否做到。懷特海（Alfred North Whitehead）在《教育的目的》中提及，教師要用充滿想象力的方式來進行知識教授[17]。充滿想象力的教學應指向培養學生的想象力和學習興趣，這便蘊含“留白”。教學不是以一種博學者的姿態對眼中一無所知者的恩賜[18]，充滿想象力的方式需要教師設計情境引導學生抽象出數學問題，當學生提出自己的想法時，教師也應重新思考自己原先的想法。教學中，教師與學生一起創造條件，讓創新意識涌現出來，對現實進行批判性干預[19]，此時教師需要擁有一種“陌生化”的信念。從教學論的角度來看，“陌生化”需要教師調整教學中的經驗思維、思維定式和認知局限等弊端，釋放審美疲勞，試圖激發學生的學習興趣[20]。數學教學的創造性不僅僅是引導學生發現已有知識，更體現在對已有的知識提出質疑，解構到再構的過程。

（2）留白教學的創造性體現在：“度”“時機性”和“開放性”

留白教學指向培養學生的創新意識和學科素養，其創造性應體現在：留白與布白的度的把握;留白與補白的時機性;留白教學情境設置的開放性。課堂教學中的留白與布白是指教師留給學生思考的空間和余地，這個需要把握留白的程度（深淺度），教師應在知識發展的關鍵點處進行留白。真正的發現創造是在接受前人的經驗基礎之上的[21]，學生的學習不可能是不著邊際的發現式學習，極端的“開放性學習”“自由式學習”并不能提高學習質量。留白蘊含引發學生主動地發現和揭秘，其通過巧妙地留白，期待學生去補白，同時也蘊涵新的留白。留白是設置沖突的過程，補白是走向和諧的過程，同時也暗藏新的留白，在沖突與和諧中，產生教學和學習價值，這便蘊含時機性。這個時機便是引導學生發現問題、提出問題、解決問題，從而建構知識的過程。這個時機應循著數學知識的學科邏輯和學生的學習進階去把握。教學中的留白蘊含一種關系性存在，其需要通過開放性創設真實情境，引出問題，為留白創造合適的“場域”，才可以不斷地激發學生的想象力和知識遷移能力。

3.跨學科視域下數學留白創造式教學的關鍵

跨學科視域下的留白教學需要關注，基于數學學科邏輯在跨學科情境設計處留白;在“問題—對話”處留白;在解決問題（方法運用）處留白;在評價任務設計處留白。

（1）在情境設計處留白

跨學科視域下，教師需要基于學生已有的學科或跨學科基礎，設置跨學科情境，在能產生學生疑惑處設置留白，學生需要基于疑惑進行數學抽象，從而提出問題，這一過程便蘊含思考和創新。教師創造機會為學生留下“情境與問題表達之白”。比如，從數學的學科視角來看，中國古代的“三分損益法”與畢氏的“五度相生律”有什么異同。在音樂與數學的學科交叉處設計問題情境，引導學生深度思考：為什么要用十二平均律來構成音階[22]。在恰當處引導學生用等比數列、連分數等知識來解釋，也可以結合數學、音樂知識做進一步的融合思考，讓學生借助音樂的情境加深對數學知識的再理解。據《史記·律書》中記載，中國古代對音階的確定比畢達哥拉斯要早至少幾百年。數學教學中，汲取跨學科思想素材，同時也可滲透數學傳統文化，以此不僅培養學生的創新意識，還可以形塑學生的文化自信。

（2）在“問題—對話”處留白

數學教學中，基于學生的數學認知特點，將學習主體因素和問題情境因素納入教學中設計對話和問題，教師通過提問（對話）引導學生經歷個體經驗，經歷“感官—表象—抽象”，產生沖突和疑惑，繼而提出問題、解決問題[23]。在問題導引下，經歷跨學科探究的感悟體驗。真正的思考，是基于學生的認知經驗[24]。根據留白探究的層次和程度，教師設計“問題—對話”的問題鏈及引導語，這是需要關注的。在“問題—對話”中引導學生產生疑惑，激發學生的認知沖突，從而發現問題、提出問題。所以，具有留白性的“問題—對話”是培養批判性思維和創新意識的載體。教師需要基于學生的差異去設計對話，引起學生的好奇心和求知欲，激發學生產生疑惑嘗試進行問題抽象，在解決問題的過程中探索知識，形成思考。“問題—對話”的作用是引導學生在情境（學習材料）和實踐之間建立某種一致性，從而促進學生理解，形成理性思維自覺。

（3）在探究方法運用處留白

留白探究過程中，教師需要關注非預設的解決策略的出現，在教學可控范圍內，允許學生自由發揮對問題的解決策略的呈現，盡量避免“滑過現象”的發生。探究過程是一個動態發展的過程，其具有不確定性、開放性和延伸性，教師需要尊重探究過程的“自組織性”[25]。解決問題的方法也蘊含創新性，所以方法運用處留白也是留白創造式教學的重要形式。對于同一個問題，不同時空的數學家會采用不同的方法去論證或驗證。比如，勾股定理有多種證明方法，趙爽弦圖法、梯形證明法、歐幾里得證明法等，也可以利用Mamikon定理去證明。雖然知識（定理的內容）是客觀存在的，但對知識的再驗證（方法）具有創造性和研究價值。

（4）在評價任務設計處留白

基于教學評的一致性，評價任務的設計及評價方式的運用也應具有開放性。教學設計中，將評價任務以一個或多個開放性的問題呈現，以激起學生的認知沖突，“迫使”學生以研究者的姿態參與、猜測和探索，親身經歷數學發現的過程，這便是條件開放、結論不限定的“留白自由式”探究，這樣的過程便會培養學生的發散性思維、批判性思維、創造性思維等，當然，設計系統而又科學的具有探究價值的留白式評價任務是教學的關鍵。特別地，探究出什么樣的結論不是最重要的，學習者在一定程度上的過程參與體驗是留白式教學的創造性體現。

三、跨學科視域下數學留白創造式教學的深化策略

創新意識的培養關鍵在于提高學生應對真實情境下“實踐—感悟—反思”的過程，以跨學科為視角，鼓勵學生多角度發散性提出問題、解決問題，課堂留白是創新意識培養的良好載體。

1.創設跨學科情境，凸顯數學學科性

跨學科視域下，數學課程與教學不應囿于學科邊界，需要重視學科內部知識、外部情境或知識交叉融合。通過跨界整合知識，設置情境留白，實現學科思維上的融通，引導學生從多元視角分析問題。例如，以化學知識為背景設計情境，英國科學家克羅托、美國科學家斯莫利和柯爾于1985年發現了足球烯，足球烯的分子具有60個頂點，即碳60（C60），基于這樣的情境可以開放性提出一些可探

討的問題，可以基于數學方法解決相關化學問題;

化學學科中，常用pH表示溶液的酸堿性，而pH是

由c（H+）（即溶液中的H+的濃度）決定的，pH=7和pH=8的兩種溶液，它們的c（H+）有什么關系？以這樣的問題情境設置留白，引導學生思考：這個與什么知識有關？（對數，還有呢？）基于化學知識的理解抽象出數學問題，有助于培養學生的跨學科思維以及創新意識。

2.整合教材中的閱讀材料，預設留白與布白

中學數學教學中，要注意結合學生的認知規律慢慢滲透數學與其他學科之間的交叉，勇于打破傳統的學科限制，轉變學生的學習觀念，注意加強數學與其他學科的聯系，通過不同學科的相互作用形成知識的整合。教師可以整合教材中的閱讀材料，基于跨學科視角，預設留白與布白。

例如，北師大版選擇性必修第一冊高中數學教材中關于“圓錐曲線的光學性質”，材料中預設生活中拋物面的一些應用，如手電筒、探照燈等，基于此抽象出拋物面的光學性質：根據物理中光的鏡面反射性質提煉橢圓和雙曲線獨特的光學性質，由此思考圓錐曲線有一個共同的光學性質——焦點。結合物理學科的光學概念理解，加深對圓錐曲線的性質理解，由此繼續思考如何利用圓錐曲線的光學性質進行設計應用等。

在人教B版高中數學選擇性必修第二冊中，關于“人工智能中的貝葉斯公式”的拓展閱讀引導學生認識到人工智能作為交叉學科，融合了信息技術、數學、哲學、生物學等領域的知識，特別地，數學在其中起到很重要的作用，比如，貝葉斯公式就被廣泛運用于人工智能的分類算法中。貝葉斯公式是如何被運用的？在垃圾郵件過濾、圖像識別等人工智能應用場景中，貝葉斯公式也能發揮重要作用，還有條件概率的知識在語音識別、機器學習中也是不可缺少的。學生在此處充滿期待，也對數學知識產生敬畏和興趣，這樣的留白會激起學生感受數學知識的興趣。

3.設計結構不良問題，在探究關鍵處留白

弗萊雷認為尊重學生當前的知識，是要把這一尊重延伸到產生這些經驗知識的文化背景中，因為正是這種文化造就了不同的個體[26]。留白的作用是引導學生在問題和實踐之間建立某種聯系，從而促進學生理解，形成理性思維自覺。所以，教師需要基于學生的差異去設計留白，引起學生的好奇心和求知欲，激發學生產生疑惑嘗試進行問題抽象，在解決問題的過程中探索知識形成思考，其中結構不良問題，便是一個很好的載體。

例如，在生物學中，人有單眼皮與雙眼皮之分，這是由對應的基因決定的。顯性基因記為B，隱性基因記為b，其總是成對出現（如BB，Bb，bB，bb）。人的卷舌與平舌同人的單雙眼一樣，也是由遺傳父母的基因決定的，查找相關資料并提出問題，請你的同伴一起來回答。原問題也預設學生會出現求概率，若學生寫出樣本空間為{BB，Bb，bb}，此時需要引導學生思考：有的學生寫出的樣本空間為{BB，Bb，bB，bb}，也有學生寫出的樣本空間為{BB，Bb，bb}，哪個更合適？因為古典概型的前提是“基本事件是等可能的”，而這樣的留白會引發認知沖突，在學生思考關鍵處設計留白，有助于學生深度學習，形成對數學知識隱藏信息的理解，有助于知識的遷移和學科素養的形成。

4.設計評價任務，關注“教—學—評”一致

2020課標關注學生“四基”的落實和“四能”的培養，以促進學生學科素養的形成和發展。所以跨學科視域下，數學教學應基于學生的學習進程，關注評價的調節作用，優化結果評價、滲透過程評價、融合增值評價，以形成“教—學”“教—評”“學—評”的閉環。

例如在學習二項式定理時，可以設計通過查閱資料或網絡查找有關數學史材料，了解賈憲用“楊輝三角”進行高次開方的方法，并給出實例進行說明，將有關材料整理成小論文，然后與其他同學進行交流。在借助美術學科進行跨界融合時，利用建筑外形中的懸鏈線，可以引導有能力的學生運用微積分推導懸鏈線的數學表達式，從而關注相關知識的變式與推廣。這些過程可以拓展學生的學習眼界，培養學生的數學思考和跨學科學習能力。基于數學學科邏輯，以拓展學生的學習視角為階段性目標。基于階段性評價和留白式評價以培育學生的創新意識為最終指向，這些留白式評價任務貫穿數學教學中，能促進教學評的一致性。

當然，數字信息化時代，也需要借助信息技術助推留白教學的創造性實現，找準信息技術與教學內容的切入點，設計探究性的學習活動，體現數學學習的本質。例如技術賦能在跨學科融合中也具有重要的價值，學生使用高級計算語言可進行算法開發、數學建模、仿真等，應用數據可視化進行通用的圖象處理功能，學生運用軟件作圖，可以沉浸于文化的滲透及獲得個性化體驗，從動態和體驗的視角促進學生跨學科思維和創造性思維的發展。

總之，跨學科視域下的留白創造式教學不僅強調知識建構，更強調學科素養與創新意識的相融共生;不僅關注跨學科領域的融合，更關注跨學科思維方式的養成。其尊重學生的思想自由，提升師生的生命智慧[27]。跨學科視域下，對留白創造式教學的再思考，有助于探索課堂創新教學模式，有助于挖掘學生潛能，指向培養學生的高階思維能力。

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[作者：李亞瓊（1983-），女，安徽巢湖人，江蘇第二師范學院數學科學學院，副教授，碩士生導師，博士;寧連華（1966-），男，江蘇豐縣人，南京師范大學數學科學學院，教授，博士生導師;黃賢明（1999-），男，江蘇蘇州人，蘇州高新區景山實驗初級中學校，中學二級教師。]

【責任編輯 王澤華】