聚焦深度學習，凸顯高階思維

【摘要】本文對2022年新高考數學I卷第7題、全國甲卷理第12題比較大小問題從考查內容、情景設置、命題導向、素養考核、能力考查等角度進行評析，結合教學實踐對今后的數學課堂教學及高三復習提出建議，以期做到精準備考.

【關鍵詞】深度學習；高中數學；解題技巧

1 引言

新高考數學試題秉承著以“一核、四層、四翼”的高考評價體系為依托，聚焦主干知識，突出考查關鍵能力，注重基礎性、綜合性、應用性和創新性，彰顯核心素養的命題導向，強調數學本質和問題解決的通性通法，優化問題情境，增強試題靈活性、開放性，引導減少死記硬背和“機械刷題”現象，使不同層次學生有不同層次區分，充分發揮高考命題的科學選拔功能和全面育人導向作用，對今后的數學教學及高三復習備考都有很好的指導意義.

2 試題呈現

（2022年新高考數學Ⅰ卷第7題）設a=0.1e0.1，b=19，c=－ln0.9，則（ ）

（A）c>b>a. （B）a>b>c.

（C）b>a>c. （D）b>c>a.

該題可謂小巧玲瓏，貌似簡單實則注重推理與運算，其思維含量高，充分體現能力立意.筆者以此題為例，談談自己對相關問題的認識與理解.

3 試題評析

3.1 注重關鍵能力，突出理性思維，導向教學

本題選取學生熟悉的指數值、對數值、分式值為素材，考查比較函數值的大小，為學生搭建問題平臺.本題解法多樣，為考生綜合應用所學數學知識創造了條件，使不同思維水平的考生都得到充分展示，試題考查內容重點突出，不但體現了新課程標準的基本理念，也體現了對知識的考查側重于理解和應用的要求，很好地達到了考查目的與選拔功能[1].

3.2 淡化命題形式，關注能力立意，鼓勵發散思維

試題形式簡單、常規，都是學生日常練過的題目類型，也是新高考卷、歷年全國卷考查考點，比如：

（2021年全國Ⅰ卷理第12題）設a=2ln1.01，b=ln1.02，c=1.04－1，則（ ）

（A）a<b<c. （B）b<c<a.

（C）b<a<c. （D）c<a<b.

（2020年全國3卷理第12題）已知55<84，134<85，a=log53，b=log85，c=log138，則（ ）

（A）a<b<c. （B）b<a<c.

（C）b<c<a. （D）c<a<b.

試題重點考查了數學學科基礎知識，通過比較大小的考查，恰恰體現了考生數學學習的薄弱環節，也揭示了教師在數學教學中容易忽略的盲區，貌似都是考生比較熟悉的“類型”，給人一種錯覺.試題要求學生根據具體問題情境，主動地進行思考，發現新問題、找到新規律、得出新結論，體現了研究性學習、深度學習的理念.鼓勵學生多角度、多方位分析和思考問題.以2022年新高考Ⅰ卷第7題為例進行分析.

思路1 設f（x）=（1－x）ex，當x∈（0，1）時，f′（x）=－xex<0，故f（x）在（0，1）上單調遞減，且f（1）=0，f（0）=1，則有f（0.1）=0.9e0.1<1，所以0.1e0.1<19，即a<b.

設h（x）=ln（x+1）－x，x∈（0，1），可證得ln（x+1）<x，令x=19，即證c<b.

設g（x）=xex+ln（1－x），g′（x）=（x+1）ex－11－x=（1－x2）ex－11－x，令h（x）=（1－x2）ex－1，可證h（x）在（0，0.1）上單調遞增，g′（x）>0，g（x）在（0，0.1）上單調遞增，即g（0.1）>g（0）=0，即c<a，所以c<a<b.

評注 采用化歸思想，將未知“陌生面孔”轉變為“熟悉面容”，即比較兩個數（代數式）的大小常采用通性通法——作差法和作商法.

思路2 不妨設a=xex，b=x1－x，c=－ln（1－x），f（x）=lna－lnb=x+ln（1－x） f′（x）=－x1－x<0則f（x）=lna－lnb=x+ln（1－x）在（0，0.1］單調遞減，f（x）<f（0）=0，即a<b；g（x）=a－c=xex+ln（1－x）（0<x≤0.1），同思路1，即g′（x）=（1+x）（1－x）ex－11－x>0，即c<a.

評注 通過觀察分析a、c與b結構特征，轉化相同結構形式，引進變量，建構函數模型，借助函數在某區間內單調性進行比較，從而得出對應函數值的大小關系.

思路3 易知：ex≥x+1，則ab=9e0.110=0.9e－0.1=1－0.1e－0.1<1，即a<b.由f（0.1）=0.1e0.1+ln（1－0.1）=a－c可構造函數f（x）=xex+ln（1－x），x∈（0，0.1），

f′（x）=（x+1）ex－11－x≥（x+1）2－11－x=－x（x2+x－1）1－x>0，f（x）在（0，0.1）上單調遞增，則f（x）>f（0）=0，故c<a，易知：ln（x+1）<x，x>0，可令c=ln109=ln1+19<19，即證c<b.

思路4 利用lnx<12x－1x（x>1）與ex<11－x（x<1）則有1+0.1<e0.1<11－0.1=109a<b.

因為a>0.11，c=ln（1+19）<12×109－910=19180<0.11<a，故c<a<b.

思路5 先證：xex>x（x+1），則有a=0.1e0.1=110e110>110×1110=11100=0.11.

再證lnx<12x－1x（x>1），則有c=ln109≤12×109－910=19180，則有a>c.

最后由ex<11－x（0<x<1），推得xex<x1－x（0<x<1），當x=0.1，則有0.1e0.1<19，綜上可有：c<a<b.

同樣，針對a與b大小比較可采用方式一（取倒數，再放縮）：1a=10e0.1=10e－0.1>10×（－0.1+1）=9=1b，所以a<b.方式二（取對數，再放縮）：0.1e0.1<19e110<109110<ln1091－910<ln109，所以a<b.

評注 利用兩個經典不等式解決問題，降低了思考問題的難度，優化了推理和運算過程．適度放縮與靈活變形取值，方法較巧妙，需要學生對相關知識的積累和領悟運用.新高考試題的特點，既重視試題的基礎性、通性通法，又注意到試題的梯度和區分[2].

4 教學思考

4.1 教學回歸數學本質，注重數學知識的生成過程

數學課堂教學要揭示新授知識與學過的知識的內在聯系，這需要教學進度和節奏的“慢”過程.課堂中留足時間讓學生理解弄透概念和命題的形成過程，提煉相關的數學思想方法，通過消化、吸收，經歷“做數學、說數學”的再創造過程.在問題情境中，引導學生用數學的眼光發現、找出其中蘊含的數學關系，用數學語言予以表達，并運用數學思維進行分析.教師可以在新知問題關鍵點、理解困頓、求解出錯、思維轉折等時段進行追問，增加學生對新知理解的梯度、廣度、深度，鼓勵學生合理質疑和深度學習，培養高階思維.

4.2 強化“四基”訓練，優化單元教學設計

新課標倡導以學生為主體，教師要換位思考，多從學生的角度看問題，預設學生可能出現的認知沖突與思維障礙，重視學生的思考角度與分析脈絡，形成知識體系.可以嘗試引導學生進行“出聲思維”，比如“說數學”，指個體用口頭表達自己對數學問題的具體認識、理解，解決數學問題的思路、思想和方法以及數學學習情感、體會等的數學學習活動，它包括“說知識”“說過程”“說異見”和“說體會”.優化單元教學設計促進學生深度學習，盡可能多地讓學生參與到課堂中來，最大限度挖掘思維潛力，同時要重視題型歸類、辨析、變式、總結，引導一題多解、一題多變、多題一解，通過歸納提升、變式訓練、反思感悟，提高學生的解題能力[3].

4.3 重視新高考命題研究，精準把握備考方向

首先，要高度關注“依據”——《普通高中數學課程標準（2017年版2020年修訂）》和《中國高考評價體系》及高考權威部門發布的新政策.聚焦對主干知識、方法、思想的理解和應用，壓實通性通法掌握，淡化解題技巧，融入考試“技巧”，注重開放性問題和探究性問題.

其次，要研究透徹“材料”——高考真題.歷年高考真題是命題專家集體智慧的結晶，是寶貴的備考資料.研究高考真題高頻考點、必考點分布的規律，把握“變化中的不變性”，梳理命題考查方式與特點，多角度研究試題解法、考查方向、問題情境的設計.能從教、學、考、評四個角度來思考命題：如何選材、剪材，如何命題，如何答題，如何分析試卷，以達“操千曲而后曉聲，觀千劍而后識器”.

再次，要編排適宜的“數學問題”——精選、精練與精講.根據學生學情，以“四翼”為命題維度，調整日常的測驗、考試命題維度.精選設計：知板塊專題（第一輪復習常用）；通性通法專題（重點突破）；關鍵能力提升專題；針對性專題等.

最后，要教會學生“算法”和“算理”——提高學生的算力.在教學中，引導學生對與數學運算有關的算法和算理內容的溫習，促使學生對相關知識內容算法和算理的理解與掌握，糾正學生以往運算過程中存

在的錯誤；要重視具體運算過程的示范、引領，規范演算書寫過程；反思總結計算經驗，優化計算方法，使數學運算學習從技能習得走向思維發展.

4.4 夯實數學閱讀能力，培育良好答題習慣

數學知識的學習和問題的解決都起源于數學閱讀.任子朝等人認為數學閱讀是文字、數據等材料中獲取信息的心理活動過程，不僅包括數學文字語言、符號語言、圖象的理解、記憶、認知等過程，還包括對材料的邏輯結構進行分析、綜合、歸納、推理想象等一系列思維過程，是區別于一般閱讀的復雜的智力活動.在解題策略方面，教會學生學會審題，能夠對文字、符號、圖形進行轉換，提升學生的數學閱讀能力.突出通性通法的優點，促進通性通法的內化.教學上多使用最自然的問題解決辦法（雖然不一定是最優的方法），提高自我分析問題能力.因此，在復習備考中，要提高學生數學語言的規范性，數學表述的邏輯性和清晰性.這也要求教師在課堂教學中以規范書寫進行示范，課下進行面批面改針對性輔導，防范“學而不會、會而不對、對而不全、全而不快、快而不美”現象發生.

【本文系2023年度廣州市教育科學規劃課題《基于深度學習的高中數學課堂單元教學設計與實踐研究（課題編號：202215129）》研究成果；廣東省教育科學規劃2023年度中小學教師教育科研能力提升計劃項目《“說數學”促進高中學生克服數學語言障礙的實踐探究》（課題批準號：2023ZQJK001）研究成果；2023年度廣州市教育科學規劃課題《基于深度學習的高中“說數學”應用于新授課的實踐探究（名師專項）》（課題編號：202317074）研究成果】

參考文獻：

[1]中華人民共和國教育部.普通高中數學課程標準（2017年版2020年修訂）[M].北京：人民教育出版社，2020.

[2]教育部考試中心.中國高考評價體系[M].北京：人民教育出版社，2019.

[3]鐘進均，朱維宗.從默會知識例析“說數學”[J].中學數學研究，2009（9）：7-8.