素養指向的數學解題思維及表達

【摘要】高中數學課程標準倡導教師在數學課程教學中著力發展學生的核心素養，同時學生通過數學課程的學習應能夠獲得“四基”“四能”.本文將數學課標的貫徹實施作為研究背景，以湘教版高中數學必修一第五章“三角函數”章節內容為基礎，通過例舉與三角函數相關試題和解析的方式從數學基本思想和解決問題的能力兩個方面探索高中數學解題教學策略，旨在提升解題教學實效，推動課標落實.

【關鍵詞】高中數學；核心素養；解題技巧

“四基”中的“基本思想”主要包括抽象思想、推理思想和建模思想，與“核心素養”中的數學抽象素養、邏輯推理素養以及數學建模素養息息相關；而“四能”中的“解決問題的能力”主要體現在學生應用所學知識通過想象、運算、數據分析解決實際問題的能力，與“核心素養”中的直觀想象素養、數學運算素養以及數據分析素養息息相關.所以，核心素養視域下的高中數學解題教學，教師應重視挖掘“四基四能”與“核心素養”之間的聯系，選擇既有利于發展學生“四基四能”，又有利于培養學生核心素養的數學習題，輔以解題教學引導提升解題教學實效.

1 核心素養與基本思想

基本思想，是高中數學四基的關鍵內容之一，其中抽象、推理和建模三大數學思想的下位涵蓋了眾多的數學思維，如抽象思想的下位包含集合思維、符號思維、數形結合思維等；推理思想的下位包含分類思維、轉化思維、歸納思維、類比思維、演繹思維等；建模思想的下位包含量化思維、簡化思維、函數思維等.所以，在解題教學實踐中，教師可以將三大數學思想下位的數學思維作為切入點，選擇能夠訓練學生數學思維的習題，使學生在解題過程中實現某一數學思維的進步，從而幫助學生獲得學科“基本思想”，發展學科“核心素養”.

1.1 數形結合思維

例1 下列命題正確的是（ ）

（A）第一象限的角一定不是負角.

（B）第二象限的角一定會比第一象限的角大.

（C）手表的時針走過了2個小時，所以時針轉過的角度為60°.

（D）如果α=5rad，那么α為第四象限的角.

解析 本題主要考查學生對三角函數章“角的概念的推廣”一課象限角和任意角概念的掌握.對于選項（A）可以隨機舉出一個第一象限的負角，如-359°，所以（A）選項錯誤；對于選項（B）可以隨機舉出一個第二象限角，如135°，再列舉一個第一象限角，如361°，顯然361°＞135°，所以選項（B）錯誤；對于選項（C）鐘表時針轉過的角屬于負角，所以選項（C）錯誤；對于選項（D），因為1rad ≈ 57.3°，所以5rad ≈ 5×57.3°=286.5°，為第四象限角，故（D）選項正確.

在抽象類數學問題解決中，數形結合思維屬于最為基本的一種抽象思想，學生的數形結合思維水平在一定程度上影響著學生的數學抽象能力.

1.2 分類思維

例2 [多選]已知xx≠kπ2，k∈Z，則函數y=sinxsinx+cosxcosx－2sinxcosxsinxcosx的值可能是（ ）

（A）0. （B）-4. （C）4. （D）2.

解析 本題主要考查學生對三角函數章任意三角函數的定義”一課內容的掌握.由題干信息可知，因為xx≠kπ2，k∈Z，所以sinx≠0，cosx≠0.基于四個象限分類討論x在四個象限時的y值.

如果x在第一象限，則有sinx>0，cosx>0，sinxcosx>0，那么y=sinxsinx+cosxcosx－2sinxcosxsinxcosx=1+1－2=0；

如果x在第二象限，則有sinx>0，cosx<0，sinxcosx<0，那么y=sinxsinx+cosxcosx－2sinxcosxsinxcosx=1－1+2=2；

如果x在第三象限，則有sinx<0，cosx<0，sinxcosx>0，那么y=sinxsinx+cosxcosx－2sinxcosxsinxcosx=－1－1－2=－4；

如果x在第四象限，則有sinx<0，cosx>0，sinxcosx<0，那么y=sinxsinx+cosxcosx－2sinxcosxsinxcosx=－1++2=2.

通過分類討論可以確定函數的值域y∈0，2，-4，故選擇（A）（B）（D）三個選項.

在三角函數問題的解題中，分類思維是學生最為常用的一種數學推理思想，學生分類思維水平決定著學生在面對一道數學題時是否能夠快速找到解題方法，完成解題任務.從而提升學生的解題效率，發展學生邏輯推理素養.

2 核心素養與解決問題的能力

例3 已知函數f（x）=2sin2x－π6+1.

（1）求函數f（x）的單調遞增區間；

（2）若f（x）=0，x∈－π2，π，求x的值.

解析 本題主要考查學生對三角函數章“函數y=Asinωx+φ的圖象與性質”一課內容的掌握.

（1）令－π2+2kπ≤2x－π6≤π2+2kπ，k∈Z，

則－π6+kπ≤x≤π3+kπ，k∈Z，

則可以得出函數f（x）的單調遞增區間為

－π6+kπ，π3+kπ，k∈Z.

（2）由f（x）=0可以得到2sin2x－π6+1=0，

則有sin2x－π6=－12，

因為x∈－π2，π，

所以可以得出2x－π6∈－7π6，11π6，

則可以得出2x－π6=－5π6，

或2x－π6=－π6，或2x－π6=－7π6，

解得x=0或x=－π3或x=2π3.

學生在解題過程中，能夠清晰地表達解題步驟、清晰地呈現解題思路象征著學生擁有良好的數學運算素養和解決問題的能力.

3 結語

綜上所述，本文基于高中數學課程標準的貫徹實施，立足“四基四能”與學科核心素養培養，分別從核心素養與基本思想、核心素養與解決問題的能力兩個維度概括了高中數學解題教學策略.通過本文上述的理論研究得以明確，核心素養與“四基四能”之間存在著緊密的聯系，教師可以將解題教學作為載體，在養成學生基本思想、提高學生解決問題能力的過程中發展學生的數學抽象素養、邏輯推理素養以及數學運算素養.

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