函數(shù)單調(diào)性在高中數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用

【摘要】函數(shù)單調(diào)性是函數(shù)的重要性質(zhì)之一，也是解決比較大小問題和求方程的解的重要方法之一.本文從函數(shù)單調(diào)性的定義入手，通過具體例子解釋這些問題的解題方法以及選擇這些方法的依據(jù)，從而總結(jié)函數(shù)單調(diào)性的解題方法.函數(shù)單調(diào)性不僅是已學(xué)過的函數(shù)的概念的深度理解，還是后面研究其他函數(shù)的有力工具，在高中數(shù)學(xué)中起著重要的作用.

【關(guān)鍵詞】函數(shù)單調(diào)性;高中數(shù)學(xué);解題技巧

函數(shù)的單調(diào)性是處理數(shù)學(xué)問題必不可少的工具，廣泛應(yīng)用于各類問題中.新課改理念對學(xué)生掌握函數(shù)單調(diào)性提出了明確要求，但由于函數(shù)單調(diào)性本身具有一定復(fù)雜性，這給學(xué)生們的學(xué)習(xí)帶來了巨大挑戰(zhàn)，學(xué)生面對函數(shù)單調(diào)性問題時不能靈活處理并恰當(dāng)選擇解題方法，此類現(xiàn)象值得我們思考.

1 單調(diào)性在求極值、最值中的應(yīng)用

一般地，若函數(shù)f（x）在點x0的某領(lǐng)域U（x0）內(nèi)對一切x∈U（x0），有f（x0）>f（x），則稱函數(shù)f（x）在點x0處取得極大值，x0是極大值點.函數(shù)f（x）在點x0的某領(lǐng)域U（x0）內(nèi)對一切x∈U（x0），有f（x0）<f（x），則稱函數(shù)f（x）在點x0處取得極小值，x0是極小值點.與此同時，極大值與極小值統(tǒng)稱為極值.

例1 設(shè)a為實數(shù)，函數(shù)f（x）=x3－x2－x+a.

（1）求f（x）的極值；

（2）通過分析，得出a的具體取值范圍對應(yīng)曲線y=f（x）與x軸僅有一個交點．

解 （1）f′（x）=3x2－2x－1，

如果f′（x）=0，

那么x=－13，x=1．

當(dāng)x數(shù)值不斷變化時，f′（x），f（x）的值也隨之變化，具體如表1所示.

通過前面的分析計算，f（x）的極大值可以表示為f－13=527+a，極小值可以表示為f（a）=a－1．

（2）根據(jù)函數(shù)f（x）=x3－x2－x+a= （x－1）2（x+1）+a－1可以得知，當(dāng)我們?nèi)〉米銐虼蟮恼龜?shù)時，f（x）>0，當(dāng)我們?nèi)〉米銐蛐〉呢摂?shù)時，f（x）<0，在此情形下，曲線y=f（x）與x軸存在并且只有一個交點.其次，結(jié)合f（x）的單調(diào)性質(zhì)：當(dāng)f（x）的極大值527+a<0，即a∈－∞，－527時，它的極小值也小于0，因此曲線y=f（x）與x軸的交點有且只有一個，其交點在（1，+∞）上.當(dāng)f（x）的極小值a－1>0，即a∈（1，+∞）時，該函數(shù)的極大值必然大于0，由此可以得出，曲線y=f（x）與x軸也僅有一個交點，這個交點必然在－∞，－13上，最終得出，當(dāng)a∈－∞，－527∪（1，+∞）時，曲線y=f（x）與x軸有且只有一個交點．

2 單調(diào)性在不等式中的應(yīng)用

設(shè)函數(shù)y=f（x）在定義區(qū)間I上連續(xù)，在I內(nèi)可導(dǎo)，如果在定義區(qū)間I內(nèi)f′（x）>0，那么函數(shù)y=f（x）在I上單調(diào)遞增；如果在定義區(qū)間I內(nèi)f′（x）<0，那么函數(shù)y=f（x）在I上單調(diào)遞減．

結(jié)論1 設(shè)R（x）=f（x）－g（x）在區(qū)間（a，b）內(nèi)可導(dǎo)且滿足如下條件：

（1）R′（x）>0，R（a）=0時，則有f（x）>g（x）；

（2）R′（x）<0，R（a）=0時，則有f（x）<g（x）．

結(jié)論2 設(shè)R（x）=f（x）－g（x）在區(qū)間（a，b）內(nèi)可導(dǎo)R″（x）>0且R（a）=R′（a）=0，則有f（x）>g（x）．

結(jié)論3 設(shè)R（x）=f（x）－g（x）在區(qū)間（a，b）內(nèi)可導(dǎo)R″（x）<0且R（a）=R′（a）=0，則有f（x）<g（x）．

結(jié)論4 設(shè)R（x）=f（x）－g（x）在區(qū)間（a，b）內(nèi)可導(dǎo)，且R″（x）<0，R′（a）>0，R′（b）<0，R（a）=R（b）=0，則有f（x）>g（x）．

例2 求證：ln（x+1）<x．

證明 令f（x）=ln（x+1）－x，函數(shù)f（x）的定義域是（－1，+∞）．

f′（x）=11+x－1．

令f′（x）=0，

解得x=0．

當(dāng)－1<x<0時，f′（x）>0，

當(dāng)x>0時，f′（x）<0，

又f（0）=0，

故當(dāng)且僅當(dāng)x=0時，f（x）取得最大值，最大值是0，

所以f（x）=ln（x+1）－x<f（0）=0，

即ln（x+1）<x．

例3 當(dāng)x>0 時，證明不等式sinx+cosx>1+x－x2成立．

證明 令R（x）=sinx+cosx－1－x+x2，

則有R′（x）=cosx－sinx－1+2x，

R″（x）=－sinx－cosx+2=1－sinx+1－cosx>0，

所以R′（x）>R′（0）=0，即R′（x）>0，

所以R（x）為單調(diào)遞增函數(shù)，R（x）>R（0）=0，

即sinx+cosx>1+x－x2．

3 單調(diào)性在求方程解問題中的應(yīng)用

利用函數(shù)的單調(diào)性的圖象特點，將求某一函數(shù)解的問題轉(zhuǎn)化為求兩函數(shù)的交點問題．

例4 求解：x+2－26－x+2=0．

解 令f（x）=x+2－26－x+2（－2≤x≤6），

因為f（x）為在［－2，6］上的單調(diào)遞增連續(xù)函數(shù)，且有f（－2）·f（6）<0，即在［－2，6］上僅有一個根．

又把x=2代入時有f（2）=0，即原方程只有一個根x=2．

4 結(jié)語

在高中數(shù)學(xué)函數(shù)知識教學(xué)中，函數(shù)單調(diào)性與其他題目有著密切聯(lián)系，比如，證明不等式、求方程的解.這不僅是高中數(shù)學(xué)函數(shù)學(xué)習(xí)中的重點，也是高中考試內(nèi)容中的難點.本文不僅對單調(diào)性的概念進行多角度理解，還對在解決數(shù)學(xué)問題中的應(yīng)用進行了分類歸納，更深入列舉了函數(shù)單調(diào)性在解決高中數(shù)學(xué)問題中的應(yīng)用.對于學(xué)習(xí)者來說，閱讀本文不僅能系統(tǒng)地掌握單調(diào)性的基礎(chǔ)概念和相關(guān)理論，還能了解單調(diào)性在各類問題中方法的選擇.

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