函數(shù)思想在高中數(shù)學(xué)解題訓(xùn)練中的妙用

【摘要】函數(shù)思想在高中數(shù)學(xué)解題訓(xùn)練中具有廣泛的應(yīng)用，可以幫助學(xué)生更好地理解和解決問題.通過函數(shù)思想可以解決集合問題、方程問題、數(shù)列問題、不等式問題等數(shù)學(xué)問題，能夠提高學(xué)生的問題解決能力和思維的靈活性.

【關(guān)鍵詞】函數(shù)思想；高中數(shù)學(xué)；解題技巧

在高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，函數(shù)是一個(gè)重要的概念和工具，不僅是數(shù)學(xué)理論的基礎(chǔ)，也是解決實(shí)際問題的強(qiáng)大工具[1].函數(shù)思想可以幫助學(xué)生將抽象的數(shù)學(xué)概念與實(shí)際問題相聯(lián)系，更好地理解和解決各種數(shù)學(xué)問題.

1 運(yùn)用函數(shù)思想解決集合問題

在解決集合問題時(shí)，可以將集合看作一個(gè)函數(shù)的定義域，然后通過分析函數(shù)的性質(zhì)和圖像來解決集合的交、并、差等問題[2].

例1 若集合A=x，yy－1x－2=1，B=x，yy=x2－2x+1，求A∩B.

解析 對于集合A，由y－1x－2=1，

得到y(tǒng)－1=x－2，

即y=x－1x≠2，

A表示直線y=x－1x≠2上的點(diǎn)，

對于集合B，y=x2－2x+1，B表示y=x2－2x+1上的點(diǎn)，

由y=x－1y=x2－2x+1，

得到x－1=x2－2x+1，

解得x2－3x+2=0，

即x－1x－2=0，

求得x1=1，x2=2（舍去），

y=x－1=0，

最終得到A∩B=1，0.

2 運(yùn)用函數(shù)思想解決方程問題

在解決方程問題時(shí)，可以將方程看作函數(shù)的零點(diǎn)問題.通過建立函數(shù)模型，將方程轉(zhuǎn)化為函數(shù)的形式，然后利用函數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行分析和求解[3].

例2 解方程x+82021+x2021+2x+8=0.

解析 方程中的2x+8=x+x+8，

所以方程轉(zhuǎn)化為x+82021+x+8+x2021+x=0，

設(shè)f（t）=t2021+t，

方程轉(zhuǎn)化為f（x+8）+f（x）=0，

所以f（x+8）=－f（x），

f（t）=t2021+t為奇函數(shù)，且為增函數(shù)，

所以f（x+8）=f（－x），

x+8=－x，求得x=－4，

所以方程x+82021+x2021+2x+8=0的解為x=－4.

3 運(yùn)用函數(shù)思想解決數(shù)列問題

在解決數(shù)列問題時(shí)，可以將數(shù)列看作函數(shù)的值域.通過建立數(shù)列的通項(xiàng)公式，將數(shù)列轉(zhuǎn)化為函數(shù)的形式，然后利用函數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行分析和求解[4].

例3 Sn是等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和，4S3=S2+S6，a2=2，數(shù)列bn滿足bn=an1an，當(dāng)bn最大時(shí)，求n的值.

解析 等差數(shù)列an的前幾項(xiàng)和為

Sn=na1+nn－12d，

由4S3=S2+S6得到

43a1+3×22d=2a1+2×12d+6a1+6×52d，

即12a1+12d=8a1+16d，

得到a1=d，

又因?yàn)閍2=2，即a1+d=2，

所以a1=d=1，

所以an=n，

所以bn=an1an=n1n，

所以lnbn=lnn1n=lnnn，

設(shè)f（x）=lnxxx>0，

則f′（x）=1－lnxx2，

當(dāng)0<x<e時(shí)，f′（x）>0，f（x）單調(diào)遞增，

當(dāng)x>e時(shí)，f′（x）<0，f（x）單調(diào)遞減，

所以f（x）max=f（e），

由題意可知n為正整數(shù).

因?yàn)?<e<3，

所以當(dāng)n=2時(shí)，lnnn=ln22；

當(dāng)n=3時(shí)，lnnn=ln33，

因?yàn)閘n22－ln33=3ln2－2ln36=ln8－ln96<0，

所以ln22<ln33，

所以n=3時(shí)，bn取得最大值.

4 運(yùn)用函數(shù)思想解決不等式問題

在解決不等式問題時(shí)，可以通過建立函數(shù)模型，將其轉(zhuǎn)化為函數(shù)形式，然后利用函數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行分析和求解.將不等式問題看作函數(shù)的取值范圍問題.

例4 已知不等式kx2+kx+6x2+x+2>2，對任意x∈R恒成立，求k的取值范圍.

解析 首先對不等式的分母x2+x+2進(jìn)行正負(fù)判斷，

x2+x+2=x+122+74>0，

將不等式轉(zhuǎn)化為kx2+kx+6>2x2+2x+4，

進(jìn)而得到k－2x2+k－2x+2>0，

①當(dāng)k－2=0時(shí)，即k=2，上式2>0，結(jié)論顯然成立.

②當(dāng)k－2≠0時(shí)，即k≠2，

令y=k－2x2+k－2x+2，

因?yàn)閷θ我鈞∈R，k－2x2+k－2x+2>0恒成立，所以該函數(shù)同時(shí)滿足

k－2>0，Δ=k－22－4×k－2×2<0，

解得2<k<10，

結(jié)合①和②，得到k的取值范圍為2，10.

5 結(jié)語

通過運(yùn)用函數(shù)思想，學(xué)生可以更好地理解和解決各種數(shù)學(xué)問題，培養(yǎng)邏輯思維能力，提高解決問題的能力和思維的靈活性，為今后的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)打下良好基礎(chǔ).

參考文獻(xiàn)：

[1]朱琳.構(gòu)造函數(shù)法在高中數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用策略[J].數(shù)理天地（高中版），2023（17）：30-31.

[2]馮有勝.函數(shù)思想在高中數(shù)學(xué)解題中的有效應(yīng)用[J].數(shù)理天地（高中版），2023（17）：44-46.

[3]張麗英.函數(shù)思想在高中數(shù)學(xué)解題教學(xué)中的應(yīng)用策略[J].數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)與研究，2023（18）：111-113.

[4]朱坤密.基于函數(shù)思想的高中數(shù)學(xué)解題探究[J].數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)與研究，2023（18）：108-110.