利用“函數(shù)觀點”巧解數(shù)列題

【摘要】結(jié)合三則典例，利用二次函數(shù)、三次函數(shù)、超越函數(shù)觀點，巧解數(shù)列題，以幫助學(xué)生積累解題經(jīng)驗，逐步提升解題技能，發(fā)展學(xué)生核心素養(yǎng).

【關(guān)鍵詞】函數(shù)；高中數(shù)學(xué)；解題技巧

處理某些數(shù)列問題時，可以靈活運用“函數(shù)觀點”，將具體的數(shù)列問題先轉(zhuǎn)化為相關(guān)函數(shù)問題，再從函數(shù)本身具有的特性出發(fā)分析、解決目標(biāo)問題，往往可順利獲解.

1 類型1 利用二次函數(shù)觀點，巧解數(shù)列題

一般地，遇到數(shù)列的通項是關(guān)于“n”的二次函數(shù)，或處理有關(guān)等差數(shù)列問題時，往往可靈活利用二次函數(shù)觀點加以求解.

1.1 利用二次函數(shù)的解析表達(dá)式，求解比值問題

例1 已知兩個等差數(shù)列an和bn的前n項和分別是Sn和Tn，且滿足SnTn=n2n+1，則a5b3= .

分析 依據(jù)題意，

可設(shè)Sn=kn2，Tn=kn（2n+1），k≠0，

則因為a5=S5－S4=25k－16k=9k，

b3=T3－T2=21k－10k=11k，

所以a5b3=9k11k=911.

評注 本題極易這樣錯解：設(shè)Sn=kn，Tn=k（2n+1），k≠0，則因為a5=S5－S4=5k－4k=k，b3=T3－T2=7k－5k=2k，所以a5b3=k2k=12.錯因探究——根據(jù)等差數(shù)列的求和公式Sn=na1+n（n－1）2d=12dn2+a1－d2n，可知：若an是等差數(shù)列，則其前n項和必為二次函數(shù)的形式，且常數(shù)項為零，可記作Sn=An2+Bn，其中A，B都是常數(shù)，且公差d=2A，據(jù)此即知本題“設(shè)”法有講究，必須關(guān)注.

1.2 利用二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，求解最值問題

例2 已知數(shù)列an中，a1=25，4an+1=4an－7，若其前n項和為Sn，求Sn的最大值.

分析 由4an+1=4an－7，知數(shù)列an為等差數(shù)列，公差d=－74，所以可得

Sn=25n+n（n－1）2×－74

=－78n2+2078n

=－78n－207142+78×207142.

因為函數(shù)f（x）=－78x－207142+78×207142的圖象開口向下，對稱軸為x=20714，且20714=

14+1114，點（15，S15）比點（14，S14）更靠近對稱軸，所以當(dāng)n=15時，Sn取得最大值.

故所求Sn的最大值為S15=15×25+15×142×－74=7654．

評注 由于等差數(shù)列是一類特殊的函數(shù)，其定義域為正整數(shù)集（或其非空

子集），所以借助二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)分析等差數(shù)列的前項和的

最值時，不僅要關(guān)注二次函數(shù)圖象的最高點或最低點的橫坐標(biāo)是否

為正整數(shù)，而且要關(guān)注二次函數(shù)圖象的對稱性的靈活運用.進(jìn)一步分

析，易知當(dāng)?shù)炔顢?shù)列的前項和取得最大值或最小值時，對應(yīng)的取值

不一定唯一，可能一個也可能兩個.

2 類型2 利用三次函數(shù)觀點，巧解數(shù)列題

一般地，若目標(biāo)式是關(guān)于“n”的三次函數(shù)，那么求解該目標(biāo)式的最值時，可靈活利用三次函數(shù)觀點（需要求導(dǎo)，分析并運用函數(shù)的單調(diào)性）加以求解.

例3 等差數(shù)列an的前n項和為Sn，已知S10=0，S15=25，求nSn的最小值.

分析 易得a1=－3，公差d=23，

所以nSn=n－3n+n（n－1）2×23=13n3－103n2.

構(gòu)造函數(shù)f（x）=13x3－103x2，x>0，

則f′（x）=x2－203x，

所以易知當(dāng)x∈0，203時，f′（x）<0；

當(dāng)x∈203，+∞時，f′（x）>0.

于是，函數(shù)f（x）在0，203上單調(diào)遞減，在203，+∞上單調(diào)遞增.

從而，當(dāng)x=203時，函數(shù)f（x）取得最小值.

又注意到6<203<7，且f（6）=－48>f（7）=－49，故所求nSn的最小值為－49.

評注 由于數(shù)列是特殊的函數(shù)，所以結(jié)合解題目標(biāo)很容易想到——本題求得nSn的表達(dá)式之后，可通過構(gòu)造函數(shù)，利用函數(shù)的單調(diào)性靈活解題.

3 類型3 利用超越函數(shù)觀點，巧解數(shù)列題

一般地，遇到數(shù)列的通項是關(guān)于“n”的超越函數(shù)，那么求解該數(shù)列中的最值項時，可靈活利用超越函數(shù)觀點（需要在適當(dāng)變形的基礎(chǔ)上靈活求導(dǎo)，分析并運用函數(shù)的單調(diào)性）加以求解.

例4 已知數(shù)列an的通項公式為an=nn（規(guī)定：11=1），n∈N*，則此數(shù)列中最大項的值為．

解析 注意到an=nn=n1n，n∈N*，所以可通過構(gòu)造函數(shù)，活用函數(shù)的單調(diào)性求解.

設(shè)函數(shù)f（x）=x1x（x>0），則借助對數(shù)恒等式轉(zhuǎn)化得f（x）=elnxx，所以利用復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則可求得f′（x）=1－lnxx2·elnxx，又elnxx>0恒成立，于是易知：當(dāng)x∈（0，e）時，f′（x）>0，f（x）單調(diào)遞增；當(dāng)x∈（e，+∞）時，f′（x）<0，f（x）單調(diào)遞減. 由此可得x=e為該函數(shù)的極大值點也是最大值點，又n∈N*，所以此數(shù)列中最大項為maxa2，a3.

又由a2=2=68，a3=33=69，得a2<a3.故此數(shù)列中最大項的值為33．

評注 當(dāng)數(shù)列的通項公式所對應(yīng)的函數(shù)的單調(diào)性復(fù)雜而較難判定時，需要借助導(dǎo)數(shù)來判定．本題中函數(shù)f（x）=x1x的求導(dǎo)公式未知，只不過知道（xa）′=axa－1（a為常數(shù)），ax=axlna（a>0且a≠1），于是需要先對函數(shù)解析式做適當(dāng)變形，再求導(dǎo)．

4 結(jié)語

綜上，在解題中多關(guān)注“函數(shù)觀點”的靈活運用，往往有助于幫助我們巧妙分析、解決相關(guān)數(shù)列問題，從而不斷積累解題經(jīng)驗，逐步提升解題技能.

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